1、第一次討論會2021.10.26加速器中心物理組付泓瑾（研究生）導師 王九慶 中短期學研計劃概述 1.掌握自旋共振退極化的機制、束流能量與Tousheck壽命的關系 2.嘗試利用自旋共振退極化的原理實現對BEPC-束流能量實現更高精度的測量 國外相關研究案例 1.利用自旋共振去極化對勞倫斯伯克利的ALS的束流能量的測量的相對精度可達 的數量級 2.對英國Diamond Light Source的能量穩定性的跟蹤測量，發現相對能量偏差達到510410 自旋動力學中的運動方程介紹1.Thomas-BMT進動方程 在經典模型里， 自旋在外磁場中進動方程可以簡單寫成 顯然這個方程沒有考慮相對效應，也不

2、滿足相對論協變性， 自旋在外磁場中的進動可以用Thomas方程來描述, 它滿足相對論協變性。 21()()2dSeaaFSUS F Udmcc三維形式的Thoma進動方程(后面都用高斯制) 在實驗室參考系L中，粒子在外場中受到洛倫茲力為: 考慮相對論效應后得到速度的運動方程 在粒子所在的本征參考系C和相對于粒子瞬時靜止的慣性參考系I中，利用洛倫茲變換，磁場可以表示為 ()d peBEd tCBBEB 注意到粒子所在的本征參考系C較相對于粒子瞬時靜止的慣性系I在還做轉動，按經典力學觀點，慣性系I中的自旋變化與非慣性系C的自旋變化存在如下關系 為本征參考系C或瞬時相對靜止慣性系I中的本征時間間隔，

3、與實驗室系的時間間隔dt滿足 為非慣性系C較慣性I轉過的無窮小角度矢量()Idsdsdsddddd/ddt 在實驗室參考系L中，經過dt的時間，初始時刻舊的粒子本征參考系，舊速度矢量 相對于新速度矢量 ，有一個夾角d, 但是在運動的慣性參考系I中，相對論效應使得兩個方向矢量轉得都比在實驗室參考系L中快倍，因而有 在令反常磁矩部分a=（g-2)/2，前面各式帶入可得到， vdvdddtddt (1)dddd v四維協變形式的Thomas進動方程 約定四維閔氏空間的度量張量為 首先需要構造一個滿足洛倫茲協變的四維矢量，利用四維速度 ，可以定義四維自旋矢量為 ，易知其與四維速度的內積為0，因而符合要

4、求。 同時在瞬時相對靜止參考系I中, 1000010000100001g0dSdSdd 利用電磁場張量可進一步化簡自旋進動方程 再利用帶電粒子四維動力學方程 消去方程右邊四維速度的一階導數，留下速度項，合并系數 可得 2313212313210000EEEBBEFEBBEBBdUeFUdmc2211()()2dSgedUFSUS F UUSdmcccd21()()2dSeaaFSUS F Udmcc 評述 Thomas-BMT方程給出了在相對論運動下經典自旋矢量的動力學演化規律，指出了自旋進動中的自旋-軌道耦合是純粹的運動學效應。 可以利用縱向自旋極化的改變速率測定電子的反常磁矩部分a。 前面

5、的Thomas-BMT是以時間為自變量，但在加速器物理中更習慣用弧長s或方位角作為自變量2.準經典近似的自旋進動模型經典理論中自旋就是個普通矢量，但在量子理論中自旋等物理量用算符來表示，其運動規律滿足量子力學要求。我們討論的是也只是自旋等算符的平均值。在某些情況下，我們可以把量子理論中中的算符替換成相應的量子平均值，這樣所有的量子平均值就可以對應為經典物理量，盡管我們仍然利用了某些量子理論要求的關系。也就是說，如果滿足 ，而且 ，就可以認為近似有 |A( )()f AfA 在量子力學中，有如下的恩費斯特定理 自旋在外磁場中進動的哈密頓量可以表示為 哈密頓算符與自旋矢量算符的對易關系可以表示為

6、所以自旋的恩費斯特定理可表示成（設進動與自旋無關，只取決于坐標和動量） 使用準經典近似可以得到 1 ,dAAA Hdtti2eHBgB ssm ( , )d sx psdt 3.Froissart-Stora公式 Froissart、Stora基于準經典模型描繪出了一種簡單情況下的非輻射極化的動力學圖像。 這里用二分量旋量表示自旋 ，束流極化視為大量粒子自旋的量子統計平均 在薛定諤繪景中，自旋進動的哈密頓量可以寫作 旋量態矢的運動方程 現在假定外場在水平和縱向上擾動，那么進動矢量和哈密頓量較無微擾時多出一個微擾項Ps12HW 將上式和泡利矩陣帶入，旋量態矢的運動方程寫為 忽略束流的能散，且認為

7、無擾動的自旋諧波數隨方位角線性增加 注意到不同下的哈密頓量之間相互對易，將薛定諤繪景中的態矢變換到相互作用繪景中，得到 利用公式 運動方程可以可寫為11 , , , , , , .2!3!AAe BeBA BA A BA A A B 現在假定只有外場的傅里葉級數形式中的一項對粒子哈密頓量產生擾動，引起的去極化共振是窄寬度的且分得很開的，粒子一次只經歷一個共振。 假定初始時(遙遠的過去)垂直方向的極化度為1， 自旋共振的驅動項僅含一個諧振項且輻角線性增加： 設方位角的起點對應于剛好穿過共振的點的方位角， 運動方程可以具體寫成 又有二分量旋量 ， 利用態矢的歸一性知 ， 到此可導出Froissar

8、t-Stora公式 I2*22idied 討論1.如果 ， ，因而自旋出現一定程度的退極化，一般條件是共振強度很弱或者粒子快速穿越共振。2.如果滿足絕熱條件 ， ，這就是自旋翻轉，一般條件是共振強度很強或者粒子緩慢穿越共振。因為比起減弱共振，加強共振容易實現得多，常利用強射頻kicker磁場來實現自旋的翻轉。現代的自旋翻轉的效率已經非常高了感謝老師和同學的傾聽！main references：1. J.D.Jackson，Classical Electrodynamics，2004，Beijing,China，higer education press2. I.P.S Martin,M.Apollonio,R.T.Fielder,G.Rehm, ENERGY MEASUEMENTS WITH RESONANT SPIN DEPOLARISATION AT DIAMOND, 2011,Spain，Proceedings of IPAC20113. C.Steier, J.Byrd, energy calibration of the electron beam of the ALS using reasonant depolarisation,2000, Vienna,Austria