1、經濟數學基礎例題大全（考試必備）（一）單項選擇題1函數的定義域是（D ） AB CD 且2若函數的定義域是（0，1，則函數的定義域是( C )A B C D3設，則=（A） A B C D 4下列函數中為奇函數的是（C） A B C D5下列結論中，（C）是正確的 A基本初等函數都是單調函數 B偶函數的圖形關于坐標原點對稱 C奇函數的圖形關于坐標原點對稱 D周期函數都是有界函數 6. 已知，當（A ）時，為無窮小量.A. B. C. D. 7函數 在x = 0處連續，則k = (C)A-2 B-1 C1 D2 8. 曲線y = sinx在點(0, 0)處的切線方程為（A ）A. y = x B

2、. y = 2x C. y = x D. y = -x 9若函數，則=（ B ） A B- C D- 10若，則（ D ） A B C D 11下列函數在指定區間上單調增加的是（ B ） Asinx Be x Cx 2 D3 - x 12. 設需求量q對價格p的函數為，則需求彈性為Ep=（ B ）A B C D（二）填空題1函數的定義域是 答案：-5，2）2若函數，則答案：3設，則函數的圖形關于對稱答案： y軸 4. . 答案：1 5已知，當 時，為無窮小量 答案：6. 函數的間斷點是.答案： 7曲線在點處的切線斜率是答案：8已知，則= 答案：09需求量q對價格的函數為，則需求彈性為答案： （

3、三）計算題1 解 = = = 2 解 = =22 = 4 3 解 4； 解 5 解 = =0+ 1 = 1 6已知，求 解 (x)= = 7已知，求；解 因為 所以 = 8已知y =，求dy 解 因為 = = 所以 9設，求 解：因為 所以 10由方程確定是的隱函數，求.解 對方程兩邊同時求導，得 =.11設函數由方程確定，求 解：方程兩邊對x求導，得 當時， 所以，12由方程確定是的隱函數，求 解 在方程等號兩邊對x求導，得 故 （四）應用題 1某廠生產一批產品，其固定成本為2000元，每生產一噸產品的成本為60元，對這種產品的市場需求規律為（為需求量，為價格）試求： （1）成本函數，收入函

4、數； （2）產量為多少噸時利潤最大？解 （1）成本函數= 60+2000 因為 ，即， 所以 收入函數=()= （2）因為利潤函數=- =-(60+2000) = 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定義域內的唯一駐點 所以，= 200是利潤函數的最大值點，即當產量為200噸時利潤最大2某廠生產某種產品q件時的總成本函數為C(q) = 20+4q+0.01q2（元），單位銷售價格為p = 14-0.01q（元/件），問產量為多少時可使利潤達到最大？最大利潤是多少. 解 由已知利潤函數 則，令，解出唯一駐點 因為利潤函數存

5、在著最大值，所以當產量為250件時可使利潤達到最大， 且最大利潤為 （元） 3已知某廠生產件產品的成本為（萬元）問：要使平均成本最少，應生產多少件產品？ 解 （1） 因為 = = 令=0，即，得=50，=-50（舍去）， =50是在其定義域內的唯一駐點所以，=50是的最小值點，即要使平均成本最少，應生產50件產品1函數的定義域是（ ）（答案：B） A B C D2、若函數，則=（ ）。（答案：A） A0 B C D 3下列函數中，（ ）是的原函數。（答案：D） A B C D 4設A為m×n矩陣，B為s×t矩陣,且有意義，則C是（ ）矩陣。（答案：D） Am×t

6、Bt×m Cn×s Ds×n 5用消元法解線性方程組 得到的解為（ ）。（答案：C）A B C D二、填空題：（3×5分）6已知生產某種產品的成本函數為C(q)=80+2q，則當產量q=50單位時，該產品的平均成本為 。（答案：3.6）7函數 的間斷點是= 。(答案：x1=1，x2=2)8= 。 (答案：2)9矩陣的秩為 。（答案：2）10若線性方程組 有非0解，則= 。（答案：=-1）三、微積分計算題（10×2分）11設，求。解：12。解：四、 代數計算題（15×2分）13設矩陣A=。解：I+A=（I+A I）=14設齊次線性方程組

7、 ，問取何值時方程組有非0解,并求一般解。解：A= 故當=5時方程組有非0解，一般解為五、 應用題（8分）15已知某產品的邊際成本為(元/件)，固定成本為0，邊際收益，求：（1）；產量為多少時利潤最大？（2）在最大利潤產量的基礎上再生產50件，利潤將會發生什么變化？解：（1）邊際利潤令，得唯一駐點q=500（件），故當產量為500件時利潤最大。 （2）當產量由500件增加至550件時 ，利潤改變量為即利潤將減少25元。線性代數綜合練習及參考答案一、單項選擇題1設A為矩陣，B為矩陣，則下列運算中（ A ）可以進行. AAB BABT CA+B DBAT 2設為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（

8、B ）A. B. C. D. 3設為同階可逆方陣，則下列說法正確的是（ D ）A. 若AB = I，則必有A = I或B = I B.C. 秩秩秩 D. 4設均為n階方陣，在下列情況下能推出A是單位矩陣的是（ D ） A B C D5設是可逆矩陣，且，則（C ）.A. B. C. D. 6設，是單位矩陣，則（ D ） A B C D7設下面矩陣A, B, C能進行乘法運算，那么（ B ）成立.AAB = AC，A ¹ 0，則B = C BAB = AC，A可逆，則B = C CA可逆，則AB = BA DAB = 0，則有A = 0，或B = 08設是階可逆矩陣，是不為0的常數，則（

9、 C） A. B. C. D. 9設，則r(A) =（ D ） A4 B3 C2 D1 10設線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數為（ A ） A1 B2 C3 D4 11線性方程組 解的情況是（ A ）A. 無解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有無窮多解 12若線性方程組的增廣矩陣為，則當（A）時線性方程組無解A B0 C1 D213 線性方程組只有零解，則（ B ）.A. 有唯一解 B. 可能無解 C. 有無窮多解 D. 無解14設線性方程組AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則該線性方程組（ B ） A有唯一解 B無

10、解 C有非零解 D有無窮多解15設線性方程組有唯一解，則相應的齊次方程組（ C ） A無解 B有非零解 C只有零解 D解不能確定二、填空題1兩個矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是 與是同階矩陣 .2計算矩陣乘積=43若矩陣A = ，B = ，則ATB=4設為矩陣，為矩陣，若AB與BA都可進行運算，則有關系式 答： 5設，當 0 時，是對稱矩陣.6當 時，矩陣可逆.7設為兩個已知矩陣，且可逆，則方程的解 。8設為階可逆矩陣，則(A)= n 9若矩陣A =，則r(A) = 2 10若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則線性方程組AX = b無解11若線性方程組有非零解，則-112設齊次線

11、性方程組，且秩(A) = r < n，則其一般解中的自由未知量的個數等于 n-r 13齊次線性方程組的系數矩陣為則此方程組的一般解為 .答: (其中是自由未知量)14線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為則當 -1 時，方程組有無窮多解.15若線性方程組有唯一解，則只有0解 . 三、計算題 1設矩陣，求2設矩陣 ，計算 3設矩陣A =，求 4設矩陣A =，求逆矩陣 5設矩陣 A =，B =，計算(AB)-1 6設矩陣 A =，B =，計算(BA)-1 7解矩陣方程8解矩陣方程. 9設線性方程組討論當a，b為何值時，方程組無解，有唯一解，有無窮多解. 10設線性方程組 ，求其系數矩陣和增廣

12、矩陣的秩，并判斷其解的情況. 11求下列線性方程組的一般解： 12求下列線性方程組的一般解： 13設齊次線性方程組問l取何值時方程組有非零解，并求一般解. 14當取何值時，線性方程組 有解？并求一般解.15已知線性方程組的增廣矩陣經初等行變換化為問取何值時，方程組有解？當方程組有解時，求方程組的一般解. 四、證明題1試證：設A，B，AB均為n階對稱矩陣，則AB =BA2試證：設是n階矩陣，若= 0，則3已知矩陣 ，且，試證是可逆矩陣，并求. 4. 設階矩陣滿足，證明是對稱矩陣.5設A，B均為n階對稱矩陣，則ABBA也是對稱矩陣 三、計算題1解 因為 = =所以 = 2解：= = = 3解 因為

13、 (A I )= 所以 A-1 = 4解 因為(A I ) = 所以 A-1= 5解 因為AB = (AB I ) = 所以 (AB)-1= 6解 因為BA= (BA I )= 所以 (BA)-1= 7解 因為 即 所以，X = 8解：因為 即 所以，X = 9解 因為 所以當且時，方程組無解； 當時，方程組有唯一解； 當且時，方程組有無窮多解. 10解 因為 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因為r(A) ¹ r()，所以方程組無解. 11解 因為系數矩陣 所以一般解為 （其中，是自由未知量） 12解 因為增廣矩陣 所以一般解為 （其中是自由未知量） 13解 因為系數矩陣

14、 A = 所以當l = 5時，方程組有非零解. 且一般解為 （其中是自由未知量） 14解 因為增廣矩陣 所以當=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為： 是自由未知量 15解：當=3時，方程組有解. 當=3時， 一般解為， 其中, 為自由未知量. 四、證明題 1證 因為AT = A，BT = B，(AB)T = AB 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 2證 因為 = = 所以 3. 證 因為，且，即，得，所以是可逆矩陣，且.4. 證 因為 =所以是對稱矩陣.5證 因為 ，且 所以 ABBA是對稱矩陣 積分學部分綜合練習及參考答案一、單項選擇題1在切線斜率為2x的積分曲線族中

15、，通過點（1, 4）的曲線為（ A ） Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 Cy = 2x + 2 Dy = 4x 2. 若= 2，則k =（ A ） A1 B-1 C0 D 3下列等式不成立的是（ D ） A B C D 4若，則=（D ）.A. B. C. D. 5. （ B ） A B C D 6. 若，則f (x) =（ C ） A B- C D- 7. 若是的一個原函數，則下列等式成立的是( B ) A BC D 8下列定積分中積分值為0的是（ A ） A B C D 9下列無窮積分中收斂的是（ C ） A B C D10設(q)=100-4q ，若銷售量由10單位減少到

16、5單位，則收入R的改變量是（ B ） A-550 B-350 C350 D以上都不對 11下列微分方程中，（ D ）是線性微分方程 AB C D 12微分方程的階是（C ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 1二、填空題1 2函數f (x) = sin2x的原函數是3若，則.4若，則= .5. 67無窮積分是（判別其斂散性）8設邊際收入函數為(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，則平均收入函數為 9. 是 階微分方程.10微分方程的通解是二、填空題答案1. 2. -cos2x + c (c 是任意常數) 3. 4. 5. 0 6. 0 7. 收斂的 8. 2 + 9. 2 10.

17、三、計算題 23 45 67 8 9 10求微分方程滿足初始條件的特解11求微分方程滿足初始條件的特解12求微分方程滿足 的特解. 13求微分方程的通解14求微分方程的通解.15求微分方程的通解 16求微分方程的通解 三、計算題 解 = = 2解 =3解 = xcos(1-x) - = xcos(1-x) + sin(1-x) + c 4解 = = 5解 = = 6解 = =12 7解 = 8解 =-=9解法一 = =1 解法二 令，則 = 10解 因為 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解為 11解 將原方程分離變量 兩端積分得 lnlny = lnC sinx 通解為 y = eC sinx

18、 12解：移項，分離變量，得 兩邊求積分，得 通解為： 由，得，c = 1 所以，滿足初始條件的特解為： 13解 將方程分離變量： 等式兩端積分得 將初始條件代入，得 ，c = 所以，特解為： 14. 解 將原方程化為：，它是一階線性微分方程， ，用公式 15解 在微分方程中，由通解公式 = = 16解：因為，由通解公式得 = = = 四、應用題 1投產某產品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=2x + 40(萬元/百臺). 試求產量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產量為多少時，可使平均成本達到最低. 2已知某產品的邊際成本(x)=2（元/件），固定成本為0，邊際收益(x)=12-0.

19、02x，問產量為多少時利潤最大？在最大利潤產量的基礎上再生產50件，利潤將會發生什么變化？ 3生產某產品的邊際成本為(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為(x)=100-2x（萬元/百臺），其中x為產量，問產量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產量再生產2百臺，利潤有什么變化？ 4已知某產品的邊際成本為(萬元/百臺)，x為產量(百臺)，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本. 5設生產某產品的總成本函數為 (萬元)，其中x為產量，單位：百噸銷售x百噸時的邊際收入為（萬元/百噸），求： (1) 利潤最大時的產量；(2) 在利潤最大時的產量的基礎上再生產1百噸，利潤會發生什么變化？四、應用題1解

20、當產量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為 = 100（萬元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均成本達到最小的值. 所以產量為6百臺時可使平均成本達到最小. 2解 因為邊際利潤 =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一駐點，而該問題確實存在最大值. 所以，當產量為500件時，利潤最大. 當產量由500件增加至550件時，利潤改變量為 =500 - 525 = - 25 （元）即利潤將減少25元. 3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 2x) 8x =100 10x 令(x)=0, 得

21、x = 10（百臺）又x = 10是L(x)的唯一駐點，該問題確實存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值點，即當產量為10（百臺）時，利潤最大. 又 即從利潤最大時的產量再生產2百臺，利潤將減少20萬元. 4解：因為總成本函數為 = 當x = 0時，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函數為 令 ， 解得x = 3 (百臺)該題確實存在使平均成本最低的產量. 所以當x = 3時，平均成本最低. 最底平均成本為 (萬元/百臺) 5解：(1) 因為邊際成本為 ，邊際利潤 = 14 2x 令，得x = 7 由該題實際意義可知，x = 7為利潤函數L(x)的極大值點，也是

22、最大值點. 因此，當產量為7百噸時利潤最大. (2) 當產量由7百噸增加至8百噸時，利潤改變量為 =112 64 98 + 49 = - 1 （萬元）即利潤將減少1萬元. 注意：經濟數學基礎綜合練習及模擬試題（含答案）一、單項選擇題1若函數，則( A )A-2 B-1 C-1.5 D1.52下列函數中為偶函數的是（ D ） A B C D3函數的連續區間是（ A ） A B C D4曲線在點（0, 1）處的切線斜率為（ B ） A B C D 5設，則=（ C ） A B C D6下列積分值為0的是（ C ） A B C D7設，是單位矩陣，則（ A ）A B C D8. 設為同階方陣，則下列

23、命題正確的是（ B ）.A.若，則必有或 B.若，則必有,C.若秩,秩，則秩D. 9. 當條件（ D ）成立時，元線性方程組有解A. B. C. D. 10設線性方程組有惟一解，則相應的齊次方程組（ B ）A無解 B只有0解 C有非0解 D解不能確定二、填空題1函數的定義域是 . 應該填寫：2如果函數對任意x1, x2，當x1 < x2時，有 ，則稱是單調減少的.應該填寫：3已知，當 時，為無窮小量 應該填寫：4過曲線上的一點（0，1）的切線方程為 應該填寫：5若，則= . 應該填寫：6= 應該填寫：7設，當 時，是對稱矩陣. 應該填寫：08. 設均為n階矩陣，其中可逆，則矩陣方程的解應

24、該填寫：9設齊次線性方程組，且 = r < n，則其一般解中的自由未知量的個數等于 應該填寫：n r10線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為則當= 時，方程組有無窮多解. 應該填寫：-1 三、計算題1設，求. 解：因為 = 所以 = = 0 2設，求 解：因為 所以 3 解：= = 4 解：= = 5設矩陣 ，計算解：因為 = = = 且 =所以 =2 6設矩陣，求 解：因為 即 所以 7求線性方程組的一般解 解：因為系數矩陣 所以一般解為 （其中，是自由未知量） 8當取何值時，線性方程組 有解？并求一般解解 因為增廣矩陣 所以，當=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為： 是自由未知

25、量四、應用題1某廠每天生產某種產品件的成本函數為（元）.為使平均成本最低，每天產量應為多少？此時，每件產品平均成本為多少？ 解：因為 = （） = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）. =140是在其定義域內的唯一駐點，且該問題確實存在最小值. 所以=140是平均成本函數的最小值點，即為使平均成本最低，每天產量應為140件. 此時的平均成本為 =176 （元/件） 2已知某產品的銷售價格（單位：元件）是銷量（單位：件）的函數，而總成本為（單位：元），假設生產的產品全部售出，求產量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？ 解：由已知條件可得收入函數 利潤函數 求導得 令得，它是唯一的極

26、大值點，因此是最大值點 此時最大利潤為 即產量為300件時利潤最大最大利潤是43500元 3生產某產品的邊際成本為 (萬元/百臺)，邊際收入為 （萬元/百臺），其中x為產量，若固定成本為10萬元，問（1）產量為多少時，利潤最大？（2）從利潤最大時的產量再生產2百臺，利潤有什么變化？解 （1）邊際利潤 令 ，得 （百臺）又是的唯一駐點，根據問題的實際意義可知存在最大值，故是的最大值點，即當產量為10（百臺）時，利潤最大。（2）利潤的變化 即從利潤最大時的產量再生產2百臺，利潤將減少20萬元。 1若函數，則( A ) A-2 B-1 C-1.5 D1.5 2曲線在點（0, 1）處的切線斜率為（ B

27、 ） A B C D 3下列積分值為0的是（ C ） A BC D 4設，是單位矩陣，則（ A ） A B C D 5. 當條件（ D ）成立時，元線性方程組有解A. B. C. D. 二、填空題（每小題3分，共15分）6如果函數對任意x1, x2，當x1 < x2時，有 ，則稱是單調減少的. 7已知，當 時，為無窮小量 8若，則= .9. 設均為n階矩陣，其中可逆，則矩陣方程的解10設齊次線性方程組，且 = r < n，則其一般解中的自由未知量的個數等于 6. 7. 8. 9. 10n r 三、微積分計算題（每小題10分，共20分）11設，求. 12 11解：因為 = 所以 = = 0 12解：= = 四、線性代數計算題（每小題15分，共30分） 13設矩