1、2010 考研數學二真題及答案一、選擇題1.的無窮間斷點的個數為函數222111)(xxxxxfa0 b1 c2 d3 詳解：222111)(xxxxxf有間斷點1,0 x202001111) 1)(1()1()(limlimlimxxxxxxxxfxxx，111, 1112020limlimxxxxxx所以0 x為第一類間斷點221121)(lim1xfx，所以1x為連續點21111)1)(1()1()(limlimxxxxxxfxx，所以1x為無窮間斷點。所以選擇 b。2.設21, yy是一階線性非齊次微分方程)()(xqyxpy的兩個特解， 若常數,使21yy是該方程的解，21yy是該方

2、程對應的齊次方程的解，則a21,21b21,21c31,32d32,32詳解：因21uyy是0)(yxpy的解，故0)()2121uyyxpuyy（所以0)()(2211uyyuyxpy而由已知qyxpyqyxpy2211)(,)(所以0)()(xqu又21uyy是非齊次)()(xqyxpy的解；故)()()(2121xquyyxpuyy所以)()()(xqxqu所以21u。3.aaxayxy相切，則與曲線曲線)0(ln2a4e b3e c2e de 詳解：因2xy與)0(lnaxay相切，故212axxax在2xy上，2ax時，2ln212lnaaaay在)0(lnaxay上，2ax時，2l

3、naay2ln21aaeaeaaaaa2212ln2ln22所以選擇 c 4.設,m n為正整數 ,則反常積分210ln (1)mnxdxx的收斂性a 僅與m取值有關b 僅與n取值有關c 與,m n取值都有關d 與,m n取值都無關詳 解 ：dxxxmdxxxmdxxxmnnn12122102102)1 (ln)1(ln)1 (ln， 其 中dxxxmn2102)1(ln在0 x是瑕點，由無界函數的反常積分的審斂法知：其斂散性與 n有關， 而dxxxmn1212)1(ln在1x是瑕點， 由于0)1(ln) 1(21limnxxxmx，其 中是 可 以 任 意 小 的 正 數 ， 所 以 由 極

4、 限 審 斂 法 知 對 任 意 m ， 都 有dxxxmn1212)1(ln收斂，與 m無關。故選 b。5.設函數( , )zz x y由方程(,)0y zfxx確定,其中f為可微函數 ,且20,f則zzxyxy= axbzcxdz詳解：221222211)()(fxzfxyfxfxzfxyfffyzzx，212111ffxfxfffyzzyzfzfffyffzfyyzyxzx22212216.(4)2211lim()()nnxijnninj= a12001(1)(1)xdxdyxyb1001(1)(1)xdxdyxyc11001(1)(1)dxdyxyd112001(1)(1)dxdyxy

5、詳解：ninjxninjxnjnninnjninn11221122)(1)1 ()(limlimdyyxdxnjninninjx102102112)1)(1 (1)(11111lim7.設向量組線性表示，：，可由向量組si21r21ii,:，下列命題正確的是：a 若向量組 i 線性無關，則srb 若向量組 i 線性相關，則 rs c 若向量組 ii 線性無關，則srd 若向量組 ii 線性相關，則 rs 詳解：由于向量組i 能由向量組 ii 線性表示，所以)()(iirir，即srrsr),(),(11若向量組 i 線性無關，則rrr),(1，所以srrsr),(),(11，即sr，選（a）

6、。8.設a為 4 階 對稱 矩 陣 ,且20,aa若a的 秩 為 3,則a相 似 于a1110b1110c1110d1110詳解： 設為 a 的特征值，由于, 02aa所以02， 即0) 1(，這樣 a 的特征值為 -1 或 0。由于 a 為實對稱矩陣，故a 可相似對角化，即a，, 3)()(rar因此，0111，即0111a。二填空題9.3階 常 系 數 線 性 齊 次 微 分 方 程022yyyy的 通 解y=_ 詳解：022yyyy，對應方程為, 022230)2()2(2，0) 1)(2(2，2，i所以通解為xcxcecxsincos322110.曲線1223xxy的漸近線方程為 _

7、詳解：21222limxxxx，0122221223323limlimxxxxxxxxx，所以xy211.函數_)0(0)21ln()(nynxxy階導數處的在詳解：由麥克勞林展開有：,!21)1(1nnnnxnfxn!02nfnnn，!120nfnn12._0的弧長為時，對數螺線當er詳解：x0，er。1220022ededee13.已知一個長方形的長l 以 2cm/s的速率增加，寬 w 以 3cm/s的速率增加，則當 l=12cm,w=5cm 時， 它的對角線增加的速率為_ 詳解：設,tywtxl由題意知，在0tt時刻120tx，50ty，且3, 200tytx，又tytxts22，所以t

8、ytxtytytxtxts22所以351235212220202000tytxtytytxtxts14.設 a， b 為 3 階矩陣，且_,2,2,311bababa則詳解：由于abbabebbaa1111，所以11111bbaabbaaba因為,2b所以2111bb，因此32123111bbaaba。三解答題15.的單調區間與極值。求函數2212)()(xtdtetxxf16.(1)比較10lnln(1)nttdt與10ln(1,2,)ntt dt n的大小,說明理由 . (2)記10ln ln(1)(1,2,),nnuttdt n求極限lim.nxu17.設函數y=f(x)由參數方程。求函

9、數，已知，階導數，且具有所確定，其中)(,)1(436)1(25)1 (2)()1(),(,2222ttdxydtttyttx18.一個高為 l 的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a,短軸為 2b 的橢圓。現將貯油罐平放，當油罐中油面高度為b23時，計算油的質量。（長度單位為 m，質量單位為 kg，油的密度為3/mkg）19. 0,.05124),(222222ubyxayxbayuyxuxuyxfu下簡化的值，使等式在變換確定且滿足等式具有二階連續偏導數，設函數20.40 ,sec0),(d,2cos1sin22rrdrdrrid其中計算二重積分21.設函數f(x) 在閉區間 0,1上連續，在開

10、區間(0,1)內可導，且f(0)=0,f(1)=31,證明：存在.)()(),1 ,21(),21,0(22ff使得22. 的通解。求方程組、）求（個不同的解。存在已知線性方程組設baxabaxaba)2(.12.11,110101123.設0431410aaa，正交矩陣 q 使得aqqt為對角矩陣，若q 的第一列為t)1 ,2,1 (61，求 a、q. 答案：bacd bdad 9.xcxcecxsincos322110.y=2x 11.)!1(2nn12.) 1(2 e13.3cm/s 14. 3 三解答題15. .1,0,2)(,)(),()(2222221112xdtexxfdtted

11、texxfxfxtxtxt所以駐點為由于的定義域解：列表討論如下：x ) 1 ,(-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+) )(xf- 0 + 0 - 0 + )(xf極小極大極小).1 (21)0(,0)1(101-101-)(1102edtteffxft極大值為）；極小值為，）及（，（），單調遞減區間為，）及（，的單調增加區間為（因此，16. 0lim,0lnlim)1(111lnln.ln)1ln(ln0)1()2(.ln)1ln(ln,ln)1ln(ln,)1ln(,10)1(10102101010101010nnnnnnnnnnnnnnudtttndttntdttdtttd

12、tttdtttudtttdtttttttttt從而知由因此，當解：17 .).123)(,0,25) 1(.23)(3)().1(3)(, 0, 6)().3)(1 ()1 (3),1 (3t11),().1 (3)(t11)()143)1 (4)()()1(,)143)1 (4)()()1 ()22()22()(2)()22(,22)(3222322111111113223222ttttccttdtttttttctucttcdteteutuututttttttttdxydtttttttttdxydttdxdytdttdtt（于是知由于是知由有設從而，（故（由題設18 解：.)4332()43

13、621()ss(),436()2cos1(2cossin12s,cos,sin,12ss.21ss.121606022202222112222ablplpababablpabdttabtdttabtdtbdytbydybyaxabbyaxb于是油的質量為則設，則軸上方陰影部分的面積是位于記為下半橢圓面積，則記橢圓所圍成的圖形。圖中陰影部分為油面與油罐底面橢圓方程為如下圖建立坐標系，則y 19 解：.2,5252,2,5252,22,08)(12105252,22,252,5220412504125.0)4125(8)(1210)4125.2,2,222222222222222222222222

14、2bababababaabbababababbaaubbubaabuaaubuabuaxuubuayuuuuxuuuxu或故，舍去由，解得由題意，令（，得將以上各式代入原等式20. .1631cos3131,sin.)1(131)1 (31)1 (1211sincos1sin20)4(10232010232222022102222222tdtitxdxxdxyxyxdyxdxdxdyyxydrdrrrixxdd則設由題設知，21. .)()(0)(21)(21)0() 1().1 ,21(,)(21)211)()21() 1(),21, 0(.)(21)021)()0()21( 1 ,2121, 0. 0)1 (, 0)0(31)()(2222223ffffffffffffffffxxfxf即二式相加，得：值定理，有上分別應用拉格朗日中和在，由題意知證：設函數22. 為任意常數。其中的通解為所以時，當有解，（變換的增廣矩陣施以初等行時，對當舍去。所以時，因為當。或于是的一個非零解，故是個不同的解，則的為設kkxbaxbaabaxbaababaxbaxbararaaxbax,10101321,021230000101012, 1)2(.222123000010101