1、第三章正態分布與醫學參考值范圍第一節正態分布正態分布正態分布 正態分布正態分布（normal distributionnormal distribution）也叫高斯分布（）也叫高斯分布（Gaussian distributionGaussian distribution），是最常見、最重要的一種連），是最常見、最重要的一種連續型分布續型分布 一、正態分布的數學形式和正態曲線下面積的規律一、正態分布的數學形式和正態曲線下面積的規律 二二、正態分布的、正態分布的特征特征 三三、標準正態分布、標準正態分布 頻數分布圖頻數分布逐漸接近正態分布示意圖頻數分布逐漸接近正態分布示意圖（一）、（一）、正態分

2、布的概率密度函數正態分布的概率密度函數）正態曲線（就是為橫坐標，繪制的曲線為縱坐標，以）稱為概率密度函數（為總體標準差的總體均數，為為底的自然對數指數是以，curve normal)(functiondensity y probabilit)(),(72818. 2exp14159. 3,2)(exp21)(222XXfXfXNXXXXf正態分布的概率分布函數正態分布的概率分布函數（二）、正態曲線（二）、正態曲線（ normal curve ） 正態曲線的定義 正態曲線是一條高峰位于中央，兩側逐漸下降并完全對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交的鐘形曲線正態分布的特征 正態分布是單峰分布，曲線以均數為

3、中心，左右完全對稱，正態曲線以X軸為漸近線，曲線兩端無線接近X軸，但不相交； 正態曲線在均數處取得該概率密度函數的最大值，X越遠離均數，f(X)值越小，在x=處有拐點，表現為鐘形曲線； X取值范圍理論上沒有邊界，應為：-+ ，X離離越遠，函數f(X)值越接近0，但不會等于0。正態分布的特征 正態分布有兩個參數， 決定曲線在橫軸上的位置，增大，曲線沿橫軸向右移；反之， 減小，曲線沿橫軸向左移； 決定曲線的形狀，當 恒定時，越大，數據越分散，曲線越“矮胖”；反之，越小，數據越集中，曲線越“瘦高”； 習慣上用N（ ，2）；表示均數為 、標準差為的正態分布；正態分布的特殊形式： 標準正態分布N（0 ，

4、1）；正態分布的特征正態曲線下的面積分布有一定的規律： 1.曲線下的面積即為概率，可以通過式3-2求得。 2.曲線下的總面積為1或100%，以為中心左右兩側面積各占50%，越靠近處，曲線下面積越大，兩邊逐漸減少，超過一定范圍以外的面積（概率）可以忽略。 3.所有正態曲線，在左右的任意個標準差范圍內面積相同。正態分布曲線下面積規律圖圖2-+-1.96+1.96-2.58+2.5868.27%95.00%99.00%96. 196. 196. 196. 1xsxxsx或 )1 , 0(2N)8 . 0 , 1(2N)2 . 1 , 1 (2N正態分布數列中的每個個體加上一個不為零的常數K后，均數的

5、變化 均數改變為原均數+K()iinxxKxKK xnn標準差的變化 標準差不變，等于原數列的標準差snxxnkxkxSiin11)()(22正態分布數列中的每個個體乘以一個不為零或一的常數K后，均數的變化 均數改變為原均數 K()iinxxKxKK xnn標準差的變化 標準差改變，等于原數列標準差的K倍ksnxxknkxkxSiin11)()(22 三三 標準正態分布標準正態分布標準正態分布標準正態分布 (standard normal distribution)的兩個參數為：的兩個參數為：=0,=1 記為記為 N(0,12) 任意一個服從任意一個服從N（，2）分布的隨機變量）分布的隨機變量

6、X經過經過標準化變換，也叫標準化變換，也叫z變換（變換（u變換），均可轉換為變換），均可轉換為=0,=1的標準正態分布。的標準正態分布。 sxxzxz或標準正態分布的概率密度函數標準正態分布的概率密度函數)(21)(22zezz標準正態分布的分布函數標準正態分布的分布函數 經常會用到正態分布曲線下一定范圍的面積占總面積的百分數，用以估計落在該范圍內的頻數占總頻數的百分比。 可通過對式（3-1）積分求得，表示從-到x或z的面積F(x)或（z）(總面積為1)。見圖3-5。)(21)(22zdzezzzdXeXFXX)2()(2221)( 曲線下面積曲線下面積0.00.10.20.30.40.5-4

7、-3-2-101234Xf(X)u-附表1（P213）就是根據標準正態分布的分布函數制定的標準正態曲線下的面積特點 附表1 為標準正態分布曲線下的面積，表上所查到的面積為從-到z的面積； 假設橫軸上曲線下的面積為1，即100 曲線下,橫軸上對稱于0的面積相等 實際工作中經常要用的面積分布規律有以下三點，68.27%，95%，99%的面積公式見表1和下圖。標準正態分布曲線下面積規律標準正態分布曲線下面積規律0-11-1.961.96-2.582.5868.27%95.00%99.00%正態曲線下的面積特點 ，已知時，進行標準正態變換再查表 ，未知時，用樣本均數 和樣本標準差s代替總體參數進行標準

8、正態變換后再查表 95%，99%的面積公式見表1x xx正態分布曲線下面積規律的推導正態分布曲線下面積規律的推導雙側雙側95%的面積的公式的面積的公式96. 196. 1sxxx或96. 196. 1u正態分布曲線下面積規律圖圖2-+-1.96+1.96-2.58+2.5868.27%95.00%99.00%96. 196. 196. 196. 1xsxxsx或表表1 正態分布曲線下面積規律正態分布曲線下面積規律標準正態分布標準正態分布 正態分布正態分布 面積或概率面積或概率 -11 68.27% -1.961.96 1.96 95.00% -2.582.58 2.58 99.00% szxz

9、或計算正態曲線下面積實例計算正態曲線下面積實例例例1 試估計該地正常女子血清甘油三脂在1.10 mmol/L以下者占正常女子血清甘油三脂總人數的百分比。 將X=1.10代入標準正態變量變換公式，得： 14. 029. 014. 110. 1zLmmolsLmmolx/298. 0,/14. 1計算正態曲線下面積實例計算正態曲線下面積實例 查附表1，在表的左側找到0.1，在表的上方找到0.04，兩者的相交處為0.4443=44.43%。 即該地正常女子血清甘油三脂在1.10mmol/L以下者，估計占總人數的44.43%。例3-1和3-2見P22。實例圖示實例圖示0.00.30.60.91.21.

10、51.800.511.52X44.43 概率密度函數與累積分布函數概率密度函數與累積分布函數三、 正態分布的應用 一種最常見、最重要的連續分布 很多正常人的生理、生化指標的理論分布 數理統計中發展得最為完善的一種分布 很多統計推斷都是在正態分布條件下進行 很多非正態分布的資料，當觀察例數足夠多時，可以用正態分布作為它的極限分布 有時，也將非正態分布資料轉化為正態分布來處理正態分布的應用 深入統計描述和推斷的基礎 計算參考值范圍的基礎 計算可信區間的基礎 進行假設檢驗的基礎 質量控制圖 二項分布、Poisson分布的正態分布近似第二節醫學參考值范圍 由于存在個體變異，來自正常人群的由于存在個體變

11、異，來自正常人群的生理、生化指標在不同個體之間存在生理、生化指標在不同個體之間存在著差異，即使是同一個個體，某些指著差異，即使是同一個個體，某些指標也會因時間、空間的改變而有一定標也會因時間、空間的改變而有一定程度的波動。程度的波動。 因此，很有必要制定一個正常人群的因此，很有必要制定一個正常人群的參考值范圍以判斷某個個體某項指標參考值范圍以判斷某個個體某項指標正常與否。正常與否。一、醫學參考值范圍的概念 又稱參考值范圍又稱參考值范圍(reference range)(reference range)，是指是指“正常正常”人的人的解剖，解剖，生理、生生理、生化化等等數據數據大多數個體值大多數個

12、體值的波動范圍。的波動范圍。 常用常用9595的參考值范圍的參考值范圍The Purpose of the Reference RangeJudge the index value of someone is normal or not? 因為參考值范圍覆蓋了絕大多數個體，所以因為參考值范圍覆蓋了絕大多數個體，所以 如果某個個體的測量值超出此范圍，我們可以如果某個個體的測量值超出此范圍，我們可以據此推斷他的這項指標存在著異常。據此推斷他的這項指標存在著異常。基于臨床實踐，從個體角度，作為臨床上判定正基于臨床實踐，從個體角度，作為臨床上判定正常與異常的參考標準常與異常的參考標準基于預防醫學實踐，

13、從人群角度，可用來評價兒基于預防醫學實踐，從人群角度，可用來評價兒童的發育水平童的發育水平正常人的手指血流正常人的手指血流呈呈黃藍黃藍色色 （perfusion unitperfusion unit約約215215）參參考值：考值：PU150PU150手指手指潰爛潰爛之病人血流之病人血流呈紫灰呈紫灰藍藍色色（PUPU約約為為1919）Index abnormalsick or unhealthiness? Help us to judge whether someone is sick . ?姚明：2.26米，身高高于正常 人參考值范圍的上限，屬于身高指標異常 。但是他很健康，并 沒有相關的疾

14、病。Two、How to Make Reference Range First stepSampling from Normal Population確定同質的參照總體The choice of sample 首先，正常人不是指完全健康的首先，正常人不是指完全健康的人，而是指人，而是指符合特定健康水平的符合特定健康水平的人。在使用或指定臨床參考值范人。在使用或指定臨床參考值范圍時，圍時，“正常人正常人”是指是指相對于我相對于我們所研究的指標正常的人，即排們所研究的指標正常的人，即排除了除了對研究指標有對研究指標有影響的疾病或影響的疾病或有關有關因素的因素的同質人群同質人群。例如：例如：制定血清

15、谷丙轉氨酶的參考值范圍，你認為正常人的條件是什么呢？無肝腎心腦肌肉等疾病無肝腎心腦肌肉等疾病近期未服用對肝臟有損傷的藥物如氯丙嗪，異煙近期未服用對肝臟有損傷的藥物如氯丙嗪，異煙肼等肼等檢測前未作劇烈運動檢測前未作劇烈運動例如：如果我們想制定某市成人居民中血鉛例如：如果我們想制定某市成人居民中血鉛的參考值范圍，我們規定凡是滿足下列條的參考值范圍，我們規定凡是滿足下列條件的個體均可進入我們的研究：件的個體均可進入我們的研究：1: adult people wuho have stayed in the city for more than one year 2 : without obvious

16、liver or kidney diseases 3 : without the history of obvious lead contact or lead-related occupationSecond stepSelect enough sample選擇足夠例數的參照樣本選擇足夠例數的參照樣本The choice of sample 隨機選取樣本 Random 樣本含量（n）Sample size: the bigger the better, but in common sense the sample should involve at least 100 individuals

17、.Third stepMinimize Measure Error 控制檢測誤差Minimize Measure Error Standardize 標準化 統一測量方法 統一儀器 統一試劑 統一精密度 統一操作熟練度 Fourth stepGrouping or not? 分組的原則：如果組間差異有統計學意義，而且分組具有實際意義，則一定應分組。 例如：如果我們想制定身高的參考值范圍，不僅應考慮性別，年齡的差異，而且還應將地區之間的差異考慮在內。 For example, we we want to make a reference range of height. Not only gen

18、der, age, but also geographic factors should be considered. 嬰兒身體發育的參考值嬰兒身體發育的參考值( (均值均值) )男孩男孩女孩女孩頭圍頭圍(cm)體重體重kgkg身長身長cmcm頭圍頭圍(cm)cm)體重體重(kg)kg) 身長身長(cm)(cm)第一周第一周34.0034.003.003.0050.050.034.034.03.003.0050.050.0第一個月第一個月35.8135.813.823.8253.153.135.0835.083.643.6451.951.9第二個月第二個月 37.70 37.70 5.005.

19、0056.256.236.7036.704.604.6054.954.9第三個月第三個月39.5039.505.835.8359.659.638.2038.205.205.2057.757.7第四個月第四個月40.6040.606.436.4361.861.839.6039.606.056.0560.960.9第五個月第五個月41.7041.707.017.0164.264.240.7040.706.586.5863.163.1第六個月第六個月42.7342.737.687.6866.466.441.3841.386.926.9264.564.5第七個月第七個月43.2943.298.048.

20、0468.168.142.2242.227.497.4967.167.1第八個月第八個月43.8543.858.378.3769.969.942.7542.757.697.6968.168.1第九個月第九個月44.3544.358.778.7771.371.343.2343.238.058.0569.869.8第十個月第十個月44.9544.959.039.0372.972.943.6643.668.368.3670.870.8第十一個月第十一個月45.4845.489.279.2773.773.743.8643.868.538.5372.172.1Fifth stepA One-Side R

21、ange or A Two-Sides Range One side or two sides? 決定選用單側范圍還是雙側范圍要根據我們的科研設計、積累的經驗及指標的實際用途而定。 The choice of a one- or two-sides range is determined by your scientific research design or your experience. 如果某個指標（如身高）過高和過低均為異常，我們就應該制定它的雙側范圍，即找到正常人群的上限和下限。 If an index is thought to be abnormal when it is t

22、oo high or too low, we must find the lower and upper limits of normal population, that means two sides range. 血清蛋白電泳掃描結果血清蛋白電泳掃描結果 正常參考值范圍：正常參考值范圍： Alb(Alb(白蛋白):57%-68%:57%-68% 1 : 11 : 1.0%-5.7%0%-5.7% 2 : 4.9%-11.2%2 : 4.9%-11.2% : 7.0%-13%: 7.0%-13% : 9.8%-18.2%: 9.8%-18.2%雙白蛋白血癥先天性白蛋白缺陷癥Two-side

23、s rangeThese indexes include: height, weight, blood pressure,pulse, hb, et al.但是如果這個指標僅在過高或過低但是如果這個指標僅在過高或過低時異常，那我們就應找到正常人群時異常，那我們就應找到正常人群的上限或下限，即制定單側范圍。的上限或下限，即制定單側范圍。But if an index is abnormal only when it is too high (or too low), we then should make a one-side range with upper (lower )limit.One

24、 side range(one)Take blood lead （血鉛）（血鉛）for example, it is abnormal only when it is too high .The content of mercury(發汞發汞) in the hair is the same kind.One side range(another) Vital capacity（肺活量） is another kind of one-side range.It is abnormal only when it is too low, so we must find the lower limi

25、t of normal populationSixth step Choose an Appropriate Confidence (%) Level選擇適當的百分數范圍Determining the confidence level 原則：根據科學常規，選擇合適的百分界限，最常用的范圍為95。當然，我們也可以根據特定的研究目的做適當的調整。 Principal: According scientific regulations, choose an appropriate confidence level. 95% is used most frequently. It also can b

26、e adjusted according to your specific aim.Determining the confidence level 如果我們想降低漏診率(the rate of missed diagnosis)，也就是希望發現更多的病人，我們可以通過縮窄正常人群的范圍，從具有較高的測量值的個體中找到潛在的病人，所以可以選擇一個比較低的百分界值，90% 或 80%都可以95%, normal value5%,abnormal value(latent patient)90%, normal value10%,abnormal value(latent patient)Dete

27、rmining the confidence level 另一方面，如果我們希望降低誤診率（the rate of misdiagnosis），也就是希望診斷更精確，我們應該擴大參考值的范圍。這樣，具有更高的測量值的個體患相關疾病的概率就增加了，降低了誤診的概率。所以我們可以選擇一個更高的百分界限，如99。95%, normal value5%,abnormal value(latent patient)99%, normal value1%,abnormal value(latent patient)Seventh stepDecide the Distribution Type 正態性檢驗

28、是決定這個資料是否滿足正態分布的金標準。但是正態性檢驗必須通過統計軟件在計算機上運算才可以實現。 我們可以通過經驗公式大致判斷資料的分布類型：正常人的各種生理、生化、解剖值數據分布比較均勻，而且算術平均數是標準差的3倍以上。算術平均數和中位數比較接近，中位數和算術平均數的比值在（0.95-1.05）之間。Last step Choose a Best Method to Compute It 計算方法：正態分布法、對數正態分布法和百分位數法。 選擇何種方法依據我們的資料的類型，由第6步決定。 計算方法如下，以95參考值范圍為例正態分布法sx96. 11.64xs1.64xs對數正態分布法1lglglg (1.96)xxxs1lglglg (1.64)xxxs1lglglg (1.64)xxxs百分位數法 應用條件 : 偏態分布資料 計算公式：95參考值范圍： 雙側界值：P 2.5 P 97.