1、學科教師輔導講義學員編號：學員姓名：年級：高二輔導科目：數學課時數：學科教師：3教學內容1二項式定理：(a b) nCn0anCn1an 1bCnr an r brCnn bn (n N ) ，2基本概念：二項式展開式：右邊的多項式叫做(ab)n 的二項展開式。二項式系數 : 展開式中各項的系數C nr(r 0,1,2, , n) .項數：共 (r 1)項，是關于 a 與 b 的齊次多項式通項：展開式中的第r 1項 C nr a n r b r叫做二項式展開式的通項。用Tr 1Cnr an r br表示。3注意關鍵點：項數：展開式中總共有( n1) 項。順序：注意正確選擇 a , b , 其順

2、序不能更改。( a b)n 與 (ba)n 是不同的。指數： a 的指數從 n 逐項減到 0 ，是降冪排列。b 的指數從0 逐項減到 n ，是升冪排列。各項的次數和等于n .系數： 注意正確區分二項式系數與項的系數，二項式系數依次是 Cn0 ,Cn1 ,Cn2 ,Cnr ,Cnn. 項的系數是 a 與 b 的系數（包括二項式系數） 。4常用的結論：令 a 1,bx,(1x)nCn0Cn1 xCn2 x2Cnr xrCnn xn (nN )令 a 1, bx,(1 x)nCn0Cn1 x Cn2 x2Cnr xr( 1)n Cnn xn (n N )5性質：二項式系數的對稱性：與首末兩端“對距離

3、”的兩個二項式系數相等，即Cn0Cnn ，··· CnkCnk 1二項式系數和：令 ab1, 則二項式系數的和為Cn0Cn1Cn2CnrCnn2n ，變形式 Cn1Cn2CnrCnn2n1 。奇數項的二項式系數和=偶數項的二項式系數和：在二項式定理中，令a1,b1，則 Cn0Cn1Cn2Cn3(1)n Cnn(11)n0 ，從而得到： Cn0C n2C n4Cn2rCn1C n3C n2r112n2n 12奇數項的系數和與偶數項的系數和：(a x)nC n0a n x0Cn1an 1x Cn2 an 2 x2C nn a0 xna0a1x1a2 x2an xn(

4、x a)nC n0a0 xnCn1ax n 1C n2 a2 xn 2C nn an x0an xna2 x2a1x1a0令 x1, 則 a0a1a2a3an(a 1)n令 x1,則 a0a1a2a3an(a 1)n得 , a0a2a4an(a1)n( a 1)n (奇數項的系數和)2得 , a1a3a5an( a1)n( a 1)n(偶數項的系數和)2n二項式系數的最大項：如果二項式的冪指數n 是偶數時，則中間一項的二項式系數Cn2 取得最大值。n1n 1如果二項式的冪指數n 是奇數時，則中間兩項的二項式系數Cn2 , Cn2 同時取得最大值。系數的最大項：求(abx) n 展開式中最大的項

5、，一般采用待定系數法。設展開式中各項系數分別為 A1, A2, An 1 ，設第 rAr 1Arr 來。1 項系數最大，應有Ar，從而解出Ar 12專題一題型一：二項式定理的逆用；例： Cn1Cn2 6 Cn3 62Cnn 6n 1.解： (16)nCn0Cn16Cn262Cn363Cnn 6n 與已知的有一些差距，Cn1Cn2 6 C n3 62Cnn 6n 11 (C n1 6 Cn2 62Cnn 6n )1 (Cn061 (1 6) n 11 (7 n 1)Cn16Cn262C nn6n1)666練： Cn13Cn29Cn33n 1Cnn.解：設 SnCn13Cn29Cn33n 1 Cn

6、n ，則3SnCn1 3Cn2 32Cn3 33Cnn 3nCn0Cn1 3 Cn2 32Cn333Cnn 3n 1 (1 3)n 1Sn(13) n 14n133題型二：利用通項公式求xn 的系數；例：在二項式 ( 413x2 ) n 的展開式中倒數第3 項的系數為 45，求含有 x3 的項的系數？x解：由條件知 Cnn245 ，即 Cn245，n2n900 ，解得 n9(舍去)或n10 ，由C10r (x12C10r x10r2 r10r2 rTr 14 )10r ( x3 ) r43 ，由題意3, 解得 r 6 ，43則含有 x3的項是第7項T61C106 x3210 x3, 系數為 2

7、10 。練：求 ( x21 ) 9 展開式中 x9 的系數？2x解： Tr 1C9r ( x2 )9 r (1 ) rC9r x18 2r ( 1 )r x rC9r (1)r x18 3r，令 18 3r9 , 則 r 32x22故 x9 的系數為 C93 (1 )321。22題型三：利用通項公式求常數項；例：求二項式 ( x21)10 的展開式中的常數項？2x解：r2 10 r1 rr1 r20 5 r2050，得 r 8 ，所以8 1 845Tr 1C10 (x )(2x )C10 (2) x2，令rT9 C10( )25622練：求二項式 (2 x1) 6 的展開式中的常數項？2x解：

8、 Tr 1C6r (2 x) 6r (1)r ( 1) r(1)r C 6r 26 r ( 1)rx62r，令 62r0 ，得 r3 ，所以 T4( 1)3 C63202x2練：若 ( x21 )n 的二項展開式中第5 項為常數項，則n_.x解： T5 Cn4 (x2 )n 4 ( 1 )4Cn4 x2 n 12 ，令 2n12 0 ，得 n 6 .x題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數項；例：求二項式 (x3x)9 展開式中的有理項？1127r27 r解： Tr 1 C9r ( x 2 )9 r ( x 3 )r( 1)r C9r x 6，令Z ,( 0 r 9 ) 得 r3或 r9 ，

9、6所以當 r3時， 27r4 ， T4 ( 1)3 C93x484x4 ，6當 r9 時， 27 r3 ， T10 ( 1)3 C99 x3x3 。6題型五：奇數項的二項式系數和=偶數項的二項式系數和；例：若 (x21) n 展開式中偶數項系數和為256 ，求n .3x2解：設 (x21) n 展開式中各項系數依次設為a0 , a1,an ,3x2令 x1 , 則有 a0a1an0, ， 令 x1, 則有 a0a1a2a3( 1)n an 2n , 將 - 得： 2(a1a3 a5)2n ,a1a3 a52n 1 ,有題意得，2n 125628 ，n9 。練：若 (31512 )n 的展開式中

10、，所有的奇數項的系數和為1024 ，求它的中間項。xx解： Cn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3Cn2 r 12n1 ，2n11024 ，解得 n 11Cn5 ( 3 1 )6 ( 512 )561所以中間兩個項分別為 n6, n7， T51462 x4 ， T6 1 462 x 15xx題型六：最大系數，最大項；例：已知 ( 12x)n ，若展開式中第5 項，第 6 項與第 7 項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大項2的系數是多少？解： Cn4Cn62Cn5 ,n221n980, 解出 n 7或 n14 ，當 n7 時，展開式中二項式系數最大的項是T4和T5T4的系數C73(

11、 1 )4 2335 , ， T5的系數C74( 1 )3 2470, 當 n 14 時，展開式中二項式系數最大222的項是 T8 ，T8的系數C147 ( 1 )7 273432 。2練：在 (ab)2 n 的展開式中，二項式系數最大的項是多少？解：二項式的冪指數是偶數2n ，則中間一項的二項式系數最大，即T2 nTn1 ，也就是第 n 1項。21練：在 ( x1 )n 的展開式中，只有第5 項的二項式最大，則展開式中的常數項是多少？23 x解：只有第5 項的二項式最大，則n15 ，即 n8 , 所以展開式中常數項為第七項等于C86 (1)2722練：寫出在 (ab)7 的展開式中，系數最大

12、的項？系數最小的項？解：因為二項式的冪指數7 是奇數，所以中間兩項( 第4,5項 ) 的二項式系數相等，且同時取得最大值，從而有T4C73a4b3 的系數最小， T5C74 a3 b4 系數最大。練：若展開式前三項的二項式系數和等于79，求 (12x) n 的展開式中系數最大的項？2解：由 Cn0Cn1C n279, 解出 n12 , 假設 Tr 1 項最大，(12x)12(1)12 (14x)1222Ar 1ArC12r 4rC12r 1 4r 1r10.4 ，又0 r12 ，r10 ，展開式中系數最，化簡得到 9.4Ar 1Ar 2C12r 4rC12r 1 4r 1大的項為 T11,有

13、T11(1)12 C1210 410 x1016896 x102練：在 (12 x)10 的展開式中系數最大的項是多少？解：假設 T項最大，T1C r2rxrr 1r10Ar1ArC10r 2rC10r 1 2r12(11r )r，化簡得到 6.3k7.3 ，又0 r10 ，解得Ar1Ar2C10r 2rC10r 1 2r1 ,r12(10r )r7 ，展開式中系數最大的項為TC 727x715360x7 .810題型七：含有三項變兩項；例：求當 ( x23x 2) 5 的展開式中 x 的一次項的系數？解法： ( x23x2)5( x22) 3x5 ， TC r ( x22)5r (3x)r

14、，當且僅當 r1時， T的展開式中才有 xr 15r 1的一次項，此時Tr 1T2C51 (x22)4 3x，所以 x 得一次項為 C51C44 243x它的系數為 C51C44 243240。解法： ( x23x2) 5( x1) 5 ( x2)5(C50 x5C51x4C55 )(C50 x5C51x4 2C55 25 )故展開式中含x 的項為 C54 xC55 25C54 x24240x ，故展開式中x 的系數為 240.練：求式子 ( x12) 3 的常數項？x解： ( x12) 3(x1 ) 6 ，設第 r1Tr 1 C 6r (1)r x6r(1)662r項為常數項，則( 1 )r

15、C6r x，得xxx62r0 , r3,T3 1( 1)3 C6320 .題型八：兩個二項式相乘；例： 求(12 x)3 (1 x) 4 展開式中 x2的系數 .解： (12x) 3的展開式的通項是 C3m(2 x) mC3m2m xm,(1 x)4的展開式的通項是 C4n(x)nC4n1nxn ,其中 m 0,1,2,3, n0,1,2,3,4,令mn 2,則 m0且 n 2, m1且n 1, m2且n0,因此 (12x)3 (1 x)4的展開式中 x2的系數等于 C3020 C42 (1)2C3121C41( 1)1 C32 22C40( 1)06 .練： 求(13 x)6 (11)10

16、展開式中的常數項 .4 xx )6 (1 1mn4m 3n解：(1 3)10 展開式的通項為 C6m x 3C10n x 4C6mC10nx124 x其中m 0,1,2,6, n0,1,2,當且僅當4m3n,即 m0,或 m3,或 m6,10,n0,n4,n8,時得展開式中的常數項為 C60C100C63C104C66 C1084246 .練： 已知 (1 x x2 )( x13 )n的展開式中沒有常數項, n N * 且 2n8, 則 n_.x解： (x13 ) n 展開式的通項為 C nrxnr x 3rC nrxn 4 r , 通項分別與前面的三項相乘可得xCnr xn 4 r ,C n

17、r xn4 r1,C nrxn 4 r2,展開式中不含常數項 ,2n8n 4r且n 4r1且n4r2，即 n4,8且n3,7且n 2,6, n 5.題型九：奇數項的系數和與偶數項的系數和；例： 在( x2) 2006的二項展開式中 , 含x的奇次冪的項之和為 S,當 x2時, S_.解： 設( x2) 2006=a0a1x1 a2x2a3 x3a2006 x2006 -( x2) 2006 =a0a1 x1a2 x2a3x3a2006x2006 - 得 2(a1xa3 x3a5 x5a2005x2005 )( x2) 2006(x2) 2006(x2) 2006 展開式的奇次冪項之和為S( x

18、)1 ( x2) 2006( x2) 2006 232006當 x2時,S(2)12)2006(22)2006223008( 2222題型十：賦值法；例：設二項式(3 3 x1 ) n 的展開式的各項系數的和為p ，所有二項式系數的和為s , 若xps272 , 則 n 等于多少？解：若 (3 3x1)na0 a1 xa2 x2an xn ，有 Pa0 a1an ， SC n0Cnn2n ，x令 x1 得 P4n ，又 ps 272 , 即 4n2n272(2n17)(2n 16)0 解得 2n16或2n17(舍去 ) ，n4.n練：若13 xx的展開式中各項系數之和為64 ，則展開式的常數項

19、為多少？n解：令 x1，則 3x1的展開式中各項系數之和為2n64 ，所以 n6，則展開式的常數項為xC63 (3x )3(1 )3540.x練： 若(12x)2009a0a1x1a2 x2a3x3a2009 x2009( xa1a2a2009的值為R), 則22220092解： 令 x1 ,可得 a0a1a2a20090,a1a2a2009a022222200922222009在令 x0可得 a01,因而 a1a2a20091.22222009練： 若( x2)5a5x5a4 x4a3x3a2 x2a1x1a0 ,則a1a2a3 a4a5_.解： 令x0得a032,令x1得a0a1 a2 a

20、3 a4a51,a1a2a3a4a531.題型十一：整除性；例：證明： 32n28n9( nN*)能被 64 整除證： 32 n 28n99n 18n9(81)n 18n9Cn0 1 8n 1Cn1 1 8nCnn 1182Cnn 181Cnn 118n 9Cn01 8n1Cn11 8nCnn11 828(n1)1 8n9Cn01 8n 1Cn11 8nCnn11 82由于各項均能被64 整除32 n28n9(nN * )能被 64整除1、(x 1) 11 展開式中x 的偶次項系數之和是1、設 f(x)=(x-1)11,偶次項系數之和是f (1)f ( 1)( 2)11 / 2102422、

21、Cn03C1n32 Cn23n Cnn2、2、4n3、(3 51) 20 的展開式中的有理項是展開式的第項53、3,9,15,214、(2x-1)5 展開式中各項系數絕對值之和是4、(2x-1) 5 展開式中各項系數系數絕對值之和實為(2x+1) 5 展開式系數之和，故令x=1，則所求和為 355、求 (1+x+x 2)(1-x)10 展開式中 x4 的系數5、(1xx 2 )(1x )10(1x3 )(1x )9 , 要得到含 x4 的項，必須第一個因式中的1 與 (1-x) 9 展開式中的項 C94 ( x)4作積，第一個因式中的x3 與 (1-x)9 展開式中的項 C19 (x ) 作積，故 x4 的系數是 C19C941356、求 (1+x)+(1+x)2+, +(1+x) 10 展開式中 x3 的系數6、 (1x )(1x)2（110(1x )1(1x)10 ( x 1)11( x1)3實為這分子中的4x）1(1 x)=x，原式中 xx ，則所求系數為 C1177、若 f ( x)(1x ) m(1x) n ( mnN