1、    轉動系問題淺析    戴正宇解決物理問題時，常常需要用到變換參考系以簡化問題。但是，在選擇轉動參考系時常常容易出錯。 本文則從轉動系的坐標變換出發，推導出各個量在轉動參考系中的變換式，厘清整個思路，并指出其中容易出現問題的地方。1 轉動系中的坐標變換以及導數變換首先，簡單起見，考慮二維轉動系，角速度垂直于該平面，并假設兩個參考系原點重合，且在t=0時刻兩坐標軸重合。某一時刻兩坐標系的位形如下圖。根據幾何關系可以導出，同一矢量在兩個系中的坐標滿足如下坐標變換：由此，我們得到了矢量導數的坐標變換式。是轉動效果的體現。習慣上取t=0（亦即在觀測時矢量在

2、兩個系中有相同的分量），則。（2）式就變為很多教材上講述的“絕對導數和相對導數的關系”。2 轉動系中的線速度，線加速度的變換在上一節我們已經得到矢量導數在兩個坐標系之間的變換。這個矢量若是位矢，則導數變換式就是線速度變換式。以上推導出了轉動系之間速度，加速度的變換式。應該強調的一點是：是原系相對于新系的角速度，而不是新系相對原系的角速度。這一點可以從第一節導數變換的推導中看出來。同時，v是相對于原系的速度，而不是相對新系的速度。這兩點是在使用上面的公式時最容易出現的錯誤。運動學中物體之間的加速運動具有對稱性，但是在動力學中，由于慣性的存在，物體間的加速運動不再對稱。不論是從s系換到s系還是從s

3、系換到s系，一項總是向心的，若反向換系，牽連加速度卻不完全反向，會不會導致不自洽？答案是否定的。我們來考察兩次連續換系：從s系換到s系，再從s系換回到s系。全部帶入可得，這也是必然的。科里奧利加速度那一項中v與v的差異修正了一項一直向心帶來的問題。最終沒有出現不自洽。現在把我們的問題做推廣：1從二維到三維 2從原點不動到原點運動我們已經把加速度變換式寫成了矢量式，可以證明，三維情況下該矢量式仍然成立。其基本思想和以上所述是一樣的，只是要用到更難的矩陣知識，此處便不再贅述。對于原點運動的轉動系，我們可以換兩次系：第一次是跟隨原點運動的平動參考系，第二次是繞運動原點的轉動系。相應的變換公式可以寫成

4、：3 轉動系中的角速度，角加速度的變換幾乎所有教材對于轉動系的討論到以上的（3）（4）（5）（6）式，便沒有繼續了，并未給出角速度，角加速度的變換。下面我們給出轉動系中的角速度，角加速度的變換式。角位移與線位移不同，它不是矢量，只有無限小角位移是矢量。因此，在推導角速度變換式的時候不可以套用（2）式。以上便是角速度，角加速度變換式。弨彈弩式中的最后一項在二維情況下等于0（原因是/）很多人并沒有通過嚴格的推導得出角速度、角加速度的變換式，默認有和。這在二維情況下時正確的，但是在三維運動下，并不為0。這也是一個非常容易出錯的地方，要引起重視。這里的時相對于原系的角速度，這和之前加速度變換式十分類似

5、。順便一提，旋轉系的原點的加速運動不會影響角速度，角加速度的變換式。4 總結我們首先采用一個新思路：從矩陣表述的坐標變換出發，導出了旋轉系中矢量導數的變換，進而推出了線速度，線加速度的變換以及角速度，角加速度的變換;并以運動學的對稱性為基礎，驗證了轉動系變換理論的自洽性。以上的討論僅限于理論推導，應用于實際問題時把變換式當作結論即可，要想清楚每一個物理量的意義，切勿混為一談。參考文獻：1 舒幼生.力學（物理類）m.北京：北京大學出版社，2005.2 鄭永令，賈起民.力學m.3版.北京：高等教育出版社，2018.4 梁昆淼.力學.下冊，理論力學.4版.m北京：高等教育出版社，2009.5 jerry b. marion：classical dynamics of particles and systems