1、學習必備歡迎下載簡單的三角恒等變換適用學科數學適用年級高三適用區域新課標課時時長60 分鐘知 識 點利用三角公式進行證明利用三角公式進行化簡與求值輔助角公式的應用教學目標能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶).教學重點二倍角的正弦、余弦、正切公式教學難點倍角公式的形成及公式的變形精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - -

2、- - - - - - - - 第 1 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載教學過程課堂導入前面我們學習了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，也明白了兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，進而推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，那么二倍角的正弦、余弦、正切公式經過變形能推導出什么公式呢？精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

3、 第 2 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載復習預習1.兩角和與差的正弦公式：2.兩角和與差的余弦公式：3.兩角和與差的正切公式：4.二倍角公式：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載知識講解考點 1 半角公式(1)用 cos 表示 sin22，cos22，tan22：sin221cos 2

4、；cos221cos 2；tan221cos 1cos . (2)用 cos 表示 sin2，cos2，tan2：sin21cos 2；cos21cos 2；tan21cos 1cos . (3)用 sin ，cos 表示 tan2：tan2sin 1cos 1cos sin . 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載考點

5、2 形如 asin xbcos x 的化簡asin xbcos xa2b2sin(x )，其中 tan ba. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載例題精析【例題 1】【題干】 化簡：1tan2tan2 1tan tan2. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁

6、，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載【答案】 (1)22cos 【解析】原式cos2sin2sin2cos21sin cos sin2cos2cos sin2cos21sin cos sin2cos22cos sin 2cos sin sin cos sin2cos22cos sin 2sin2cos22cos sin 4sin22sin 2cos 4sin22sin 2 12sin224sin22sin 2sin .

7、 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載【例題 2】【題干】 已知 sin(2 )35，sin 1213，且 2， 2，0 ，求 sin 的值精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f -

8、- - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載【解析】 2 ， 2 2.2 0，0 2， 2 52，而 sin(2 )350，2 2 52，cos(2 )45. 又2 0 且 sin 1213，cos 513，cos 2 cos(2 ) cos(2 )cos sin(2 )sin 4551335 12135665. 又 cos 2 12sin2 ，sin2 9130. 又 2，sin 3 130130. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 30

9、頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載【例題 3】【題干】 已知函數 f(x)sin 2x2 3sin2x31. (1)求 f(x)的最小正周期及其單調遞增區間；(2)當 x 6，6時，求 f(x)的值域精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

10、 - 第 10 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載【解析】 f(x)sin 2x3(12sin2x)1sin 2x3cos 2x12sin 2x31. (1)函數 f(x)的最小正周期 t22.由正弦函數的性質知，當2k 22x32k 2，即 k 512xk 12(kz)時， 函數 ysin 2x3為單調遞增函數，故函數 f(x)的單調遞增區間為k 512，k 12(kz)(2)x6，6，2x3 0，23，sin 2x30,1，f(x)2sin 2x311,3f(x)的值域為 1,3精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

11、 - - 第 11 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載【例題 4】【題干】 (2012安徽高考 )設函數 f(x)22cos 2x4sin2x. (1)求 f(x)的最小正周期；(2)設函數 g(x)對任意 xr，有 g x2g(x)，且當 x 0，2時，g(x)12f(x)求 g(x)在區間 ，0上的解析式精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共

12、30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載【解析】 (1)f(x)22cos 2x4sin2x22cos 2x cos 4sin 2x sin 41cos 2x21212sin 2x故 f(x)的最小正周期為 .(2)當 x0，2時，g(x)12f(x)12sin 2x，故當 x 2，0 時，x2 0，2.由于對任意 xr，g x2g(x)，從而 g(x)gx212sin 2 x212sin( 2x)12sin 2x. 當 x

13、，2時，x 0，2，從而 g(x)g(x)12sin2(x) 12sin 2x. 綜合得 g(x)在 ，0上的解析式為 g(x)12sin 2x，x ，2，12sin 2x，x2，0 .精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載課堂運用【基礎】1(2013 濟南模擬 )函數 ysin xsin2x 的最小正周期是 () a.

14、2bc2 d4精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載解析：選 bysin xcos x12sin 2x，t22.精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - -

15、- - - - - - - 第 15 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載2已知 ( ，0)，tan(3 )aloga13(a0，且 a1) ，則 cos32 的值為 () a.1010b1010c.3 1010d3 1010精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載解析：選 b由題意可知 t

16、an(3 )13，tan 13. 又cos32 cos2sin ，cos321010. ( ，0)，sin 1010. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載3若cos 2sin 7422，則 sin cos 的值為 () a22b12c.12d.72精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -

17、 - - - - 第 18 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載解析：選 c由已知三角等式得cos2 sin222 cos 22，整理得 sin cos 12. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共

18、30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載【鞏固】4若 、 是銳角，且 sin sin 12，cos cos 12，則 tan( )_. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載解析： sin sin 12，cos cos 12，兩式平方相加得： 22cos cos 2sin sin 12，即 22cos

19、( )12，cos( )34. 、是銳角，且 sin sin 120，0 2. 2 0. sin( )1cos2 74.tan( ) 73. 答案：73精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載5(2012 江蘇高考 )設 為銳角，若 cos 645，則 sin 2 12的值為 _精品學習資料 可選擇p d f - - -

20、- - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載解析：因為 為銳角， cos 645，所以 sin 635，sin 2 62425，cos 2 6725，所以 sin2 12sin 2 64sin 2 6cos 4cos 2 6sin 417 250. 答案：17 250精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共

21、 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載【拔高】6已知 sin 和 cos 是關于 x 的方程 x22xsin sin2 0 的兩個根求證： 2cos 2 cos 2 . 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共

22、30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載證明：因為 sin ，cos 是方程 x22xsin sin2 0 的兩根，所以 sin cos 2sin ，sin cos sin2 . 因為(sin cos )212sin cos ，所以 (2sin )212sin2 ，即 4sin2 12sin2 ，所以 2(1cos 2 )11cos 2 ，所以 2cos 2 cos 2 . 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - -

23、- - - - - - - - - 第 25 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載7a 是單位圓與 x 軸正半軸的交點，點p 在單位圓上， aop (0 )，oqoa op ，四邊形 oaqp 的面積為 s. (1)求oaoqs的最大值及此時 的值 0；(2)設點 b 的坐標為 35，45，aob ，在(1)的條件下，求 cos( 0)精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

24、- - 第 26 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載解：(1)由已知， a，p 的坐標分別為 (1,0)，(cos ，sin )則oq(1cos ，sin )， oaoq1cos . 又 s212|op| |oa| sin sin ，所以 oaoqscos 1sin 2 sin 41(0 )故 oaoqs的最大值是21，此時 04. (2)cos 35，sin 45，且 sin 0cos 022，cos(0 )cos 0cos sin 0sin 7 210. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 頁，共 30 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載8已知函數 f(x)sin xcos x，f(x)是 f(x)的導函數(1)求 f(x)及函數 yf(x)的最小正周期；(2)當 x 0，2時，求函數 f(x)f(x)f