1、第 3 講導數與函數的極值、最值最新考綱明白函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值 其中多項式函數不超過三次 ；會求閉區間上函數的最大值、最小值 其中多項式函數不超過三次 .知 識 梳 理1. 函數的極值與導數(1) 判定 f x0 是極值的方法一般地，當函數f x 在點 x0 處連續且f x0 0，假如在x0 鄰近的左側f x 0，右側 f x 0，那么 f x0 是極大值；假如在x0 鄰近的左側f x 0，右側 f x 0，那么 f x0 是微小值 .(2) 求可導函數極值的步驟求 f x ；求方程f x 0 的根；檢查f x 在方程f x 0 的根的左右兩

2、側的符號. 假如左正右負，那么f x 在這個根處取得極大值；假如左負右正，那么f x 在這個根處取得微小值.2. 函數的最值與導數(1) 函數 f x 在 a， b 上有最值的條件假如在區間 a，b 上函數 y f x 的圖象是連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2) 設函數f x 在 a， b 上連續且在 a， b 內可導，求f x 在 a， b 上的最大值和最小值的步驟如下：求 f x 在 a，b 內的極值；將 f x 的各極值與f a ， f b 比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.診 斷 自 測1. 判定正誤 在括號內打“”或“×”(1) 函數在某區間上

3、或定義域內極大值是唯獨的.(2) 函數的極大值不肯定比微小值大.(3) 對可導函數f x ， f x0 0 是 x0 點為極值點的充要條件.(4) 函數的最大值不肯定是極大值，函數的最小值也不肯定是微小值.解析1 函數在某區間上或定義域內的極大值不唯獨.3x0 為 f x 的極值點的充要條件是f x0 0，且 x0 兩側導數符號異號.答案1 ×2 3 ×4 2. 函數 f x x33x 1 有- 1 -a. 微小值 1，極大值1b. 微小值2，極大值3c. 微小值 2，極大值2d. 微小值1，極大值3322解析由于 f x x 3x 1，故有 y 3x 3，令 y 3x 3

4、 0，解得 x± 1，于是，當x 變化時， f x ， f x 的變化情形如下表：x ， 11 1， 111 ，f x00f x極大值微小值所以 f x 的微小值為f 1 1，f x 的極大值為f 1 3.答案d3. 選修 2 2p32a4 改編 如圖是f x 的導函數f x 的圖象，就f x 的微小值點的個數為a.1b.2c.3d.4解析由題意知在x 1 處 f 1 0，且其左右兩側導數符號為左負右正.答案a324. 2021 ·武漢模擬 函數 y 2x 2x2在區間 1， 2 上的最大值是 .2解析y 6x 4x，令 y 0，得 x 0 或 x 3.28 f 1 4，f

5、 0 0， f3 27， f 2 8,所以最大值為8.答案85. 函數 f x lnx ax 在 x 1 處有極值，就常數a .1解析 f x x a， f 1 1 a 0， a 1，經檢驗符合題意.答案16. 2021 ·杭州調研 函數y x 2cosx 在區間0，2上的最大值為 ；最小值為 .解析 y x2cos x，x 0， 2， y 12sinx，x 0， 2，令 y 0，得 x 6 ，當 x 0， 6時， y>0，當 x6 ， 2時， y <0，故 x時， y 最大 y 極大 63，6又 x 0 時， y2； x2 時， y 2 ， y 最小 2 .- 2 -答

6、案6 32考點一用導數解決函數的極值問題【例 1】 求以下函數的極值：1 f x x2 2x4lnx；3232 f x ax 3x 1 ar 且 a0. a解1 f x 的定義域為 0 ， ，4f x 2x 2x2（ x 2）（ x1）x，令 f x 0 得 x 2 或 1 舍.隨著 x 的變化， f x 與 f x 的變化情形如下表：x0 ，222 ，f x0f x微小值 f x 有微小值f 2 4ln 2，無極大值 .222 由題設知a0， f x 3ax 6x 3ax x a .2令 f x 0 得 x 0 或 .a當 a>0 時，隨著x 的變化， f x 與 f x 的變化情形如

7、下表：2x ， 000， a22aa，f x00f x極大值微小值3 f x 極大值 f 0 1 a，243f x 微小值 fa a2 a 1.當 a<0 時，隨著x 的變化， f x 與 f x 的變化情形如下表：2x， a22，000 ，aa- 3 -f x00f x微小值極大值3 f x 極大值 f 0 1 a，243f x 微小值 fa a2 a 1.3綜上， f x 極大值 f 0 1 ，a243f x 微小值 fa a2 a 1.規律方法函數極值的兩類熱點問題(1) 求函數 f x 極值這類問題的一般解題步驟為：確定函數的定義域；求導數f x ；解方程f x 0，求出函數定義

8、域內的全部根；列表檢驗f x 在 f x 0 的根 x0 左右兩側值的符號，假如左正右負，那么f x 在 x0處取極大值，假如左負右正，那么f x 在 x0 處取微小值 .(2) 由函數極值求參數的值或范疇.爭論極值點有無 個數 問題，轉化為爭論f x 0 根的有無 個數 . 然后由已知條件列出方程或不等式求出參數的值或范疇，特殊留意：極值點處的導數為0，而導數為 0 的點不肯定是極值點，要檢驗極值點兩側導數是否異號.32【訓練 1】 1設函數 f x ax 2x x c. 如 f x 在 r 上無極值點，就實數a 的取值范疇為 .ax2 設 a r，如函數y e 3x， x r 有大于零的極

9、值點，就a. a>3b. a< 311c. a> 3d. a< 32解析1 由題得 f x 3ax 4x1.如 f x 在 r 上無極值點，就f x 在 r 上是單調函數，即f x 0或 f x 0恒成立 .當 a0 時， f x 4x 1，明顯不滿意條件；2當 a0時， f x 0 或 f x 0 恒成立的充要條件是 4416 12a0，解得 a 3.4×3a×10，即綜上，實數a 的取值范疇為4，.3ax2 y f x ae 3，當 a0時， f x>0 在 r 上恒成立， f x 無極值點；- 4 -當 a<0 時，令 f x 0

10、得 x13ln，aa13a ln>0 得 a< 3，應選 b.a答案143，2b考點二用導數解決函數的最值問題2【例 2】 2021 ·鄭州質檢 已知函數f x 4 x 24axa x，其中 a 0.(1) 當 a 4 時，求 f x 的單調遞增區間；(2) 如 f x 在區間 1 ， 4 上的最小值為8，求 a 的值 .2（ 5x 2）（ x 2）解1 當 a 4 時，由 f x x 0 得 x2或 x2，由 f x 0 得52x 0， 5 或 x2 ， ，2故函數 f x 的單調遞增區間為0， 5 和2 ， .（ 10xa）（ 2xa）aa2 由于 f x 2xa，

11、a0，由 f x 0 得 x或 x. 102當 x 0， 10 時， f x 單調遞增 .aa當 x 10， 2 時， f x 單調遞減；當 x a，時， f x 單調遞增 . 2易知 f x 2 xa 2aa x0，且 f2 0.當 1 時，22即 2 a 0 時， f x 在1 ， 4 上的最小值為f 1 ，由 f 1 44a a 8，得 a±2 22，均不符合題意.aa當 1 2 4 時，即 8 a 2 時， f x 在1 ，4 上的最小值為f 2 0，不符合題意 .a當 4 時，即 a 8 時，f x 在 1 ，4 上的最小值可能在x 1 或 x 4 處取得，而 f 1 8，

12、22由 f 4 264 16a a 8 得 a 10 或 a 6 舍去 ，當 a 10 時， f x 在1 ， 4 上單調遞減，f x 在1 ，4 上的最小值為f 4 8，符合題意 .綜上有， a 10.規律方法1 求函數 f x 在 a，b 上的最大值和最小值的步驟：求函數在 a，b 內的極值；- 5 -求函數在區間端點的函數值f a ， f b ；將函數f x 的極值與f a ， f b 比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.2 含參數的函數的最值一般不通過比值求解，而是先爭論函數的單調性，再依據單調性求出最值 . 含參函數在區間上的最值通常有兩類：一是動極值點定區間，二是定極

13、值點動區間，這兩類問題一般依據區間與極值點的位置關系來分類爭論 .【訓練 2】 已知函數f x ax 2e x 在 x 1 處取得極值 .(1) 求 a 的值；(2) 求函數在區間 m， m 1 上的最小值 .解1 f x ax a2e x， 由已知得f 1 a a2e 0，解得 a1，經檢驗a 1 符合題意，所以a 的值為 1.2 由 1 得 f x x 2e x ， f x x 1e x .令 f x>0 得 x>1，令 f x<0 得 x<1.所以函數f x 在 ， 1 上遞減，在 1 ， 上遞增 .m當 m1時， f x 在 m， m 1 上遞增， f x min f m m 2e ，當 0<m<1 時， f x 在 m， 1 上遞減，在 1 ， m 1 上遞增， f x min f 1 e.當 m0時， m11， f x 在 m， m 1 上單調遞減，m1f x min f m 1 m 1e.綜上， f x 在 m， m 1 上的最小值為f x min（m 2） e ，m 1，me， 0<m<1，m 1（m 1） e， m0. 思想方法 1. 利用導數爭論函數的單調性、極值、最值可列表觀看函數的變化情形，直觀而且條理，削減失分 .2. 求極值、最值時，要求步驟規范、表格齊全；含參數時，要爭論參數的大小.3. 可