1、2021 年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14 小題 . 每道題 5 分. 共計(jì) 70 分請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1（ 5 分）（ 2021 . 江蘇）已知集合a=1.2.4.b=2.4.6.就 ab=1.2.4.6考點(diǎn) ：并 集及其運(yùn)算專題 ：集 合分析：由 題意 .a.b兩個(gè)集合的元素已經(jīng)給出. 故由并集的運(yùn)算規(guī)章直接得到兩個(gè)集合的并集即可解答：解 ： a=1 .2.4.b=2.4.6.ab=1 .2.4.6故答案為 1.2.4.6點(diǎn)評(píng)：本 題考查并集運(yùn)算. 屬于集合中的簡潔運(yùn)算題. 解題的關(guān)鍵是懂得并的運(yùn)算定義2（ 5 分）（ 2021 . 江蘇）某學(xué)校高

2、一、高二、高三年級(jí)的同學(xué)人數(shù)之比為3： 3： 4. 現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的同學(xué)中抽取容量為50 的樣本 . 就應(yīng)從高二年級(jí)抽取15名同學(xué)考點(diǎn) ：分 層抽樣方法專題 ：概 率與統(tǒng)計(jì)分析：根 據(jù)三個(gè)年級(jí)的人數(shù)比. 做出高二所占的比例. 用要抽取得樣本容量乘以高二所占的比例 . 得到要抽取的高二的人數(shù)解答：解 ：高一、高二、高三年級(jí)的同學(xué)人數(shù)之比為3： 3：4.高二在總體中所占的比例是=.用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的同學(xué)中抽取容量為50 的樣本 .要從高二抽取.故答案為： 15點(diǎn)評(píng)：本 題考查分層抽樣方法. 此題解題的關(guān)鍵是看出三個(gè)年級(jí)中各個(gè)年級(jí)所占的比例. 這就是在抽樣過程

3、中被抽到的概率. 此題是一個(gè)基礎(chǔ)題3（ 5 分）（ 2021 . 江蘇）設(shè)a.b r.a+bi=（ i 為虛數(shù)單位）. 就 a+b 的值為8考點(diǎn) ：復(fù) 數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)相等的充要條件專題 ：數(shù) 系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析：由 題意 . 可對(duì)復(fù)數(shù)代數(shù)式分子與分母都乘以1+2i. 再由進(jìn)行運(yùn)算即可得到a+bi=5+3i.再由復(fù)數(shù)相等的充分條件即可得到a.b 的值 . 從而得到所求的答案解答：解：由題 .a.b r.a+bi=.所以 a=5.b=3. 故 a+b=8故答案為8點(diǎn)評(píng)：本 題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算. 解題的關(guān)鍵是分子分母都乘以分母的共軛. 復(fù)數(shù)的四就運(yùn)算是復(fù)數(shù)考查的重要內(nèi)容. 要嫻

4、熟把握 . 復(fù)數(shù)相等的充分條件是將復(fù)數(shù)運(yùn)算 轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算的橋梁. 解題時(shí)要留意運(yùn)用它進(jìn)行轉(zhuǎn)化4（ 5 分）（ 2021 . 江蘇）圖是一個(gè)算法流程圖. 就輸出的k 的值是5考點(diǎn) ：循 環(huán)結(jié)構(gòu)專題 ：算 法和程序框圖分析：利 用程序框圖運(yùn)算表達(dá)式的值. 判定是否循環(huán). 達(dá)到滿意題目的條件. 終止循環(huán) . 得到結(jié)果即可2解答：解 ： 15+4=00. 不滿意判定框就k=2.2 10+4= 2 0. 不滿意判定框的條件.就 k=3.3215+4= 20. 不成立 . 就 k=4.42 20+4=0 0. 不成立 . 就 k=5.52 25+4=4 0. 成立 .所以終止循環(huán).輸出 k=5故答案為：

5、 5點(diǎn)評(píng)：本 題考查循環(huán)框圖的作用. 考查運(yùn)算才能. 留意循環(huán)條件的判定5（ 5 分）（ 2021 . 江蘇）函數(shù)f （ x）=的定義域?yàn)椋?0.考點(diǎn) ：對(duì) 數(shù)函數(shù)的定義域?qū)ｎ} ：函 數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：根 據(jù)開偶次方被開方數(shù)要大于等于0. 真數(shù)要大于0. 得到不等式組. 依據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性解出不等式的解集. 得到結(jié)果解答：解：函數(shù)f （ x ）=要滿意 1 20. 且 x 0.x 0.x 0.x 0.0.故答案為： （ 0.點(diǎn)評(píng)：本 題考查對(duì)數(shù)的定義域和一般函數(shù)的定義域問題 . 在解題時(shí)一般遇到 . 開偶次方時(shí) . 被開方數(shù)要不小于 0. ；真數(shù)要大于 0；分母不等于 0； 0 次方的底數(shù)不等

6、于 0. 這種題目的運(yùn)算量不大 . 是基礎(chǔ)題6（ 5 分）（ 2021. 江蘇） 現(xiàn)有 10 個(gè)數(shù) . 它們能構(gòu)成一個(gè)以1 為首項(xiàng) . 3 為公比的等比數(shù)列.如從這 10 個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù). 就它小于 8 的概率是考點(diǎn) ：等 比數(shù)列的性質(zhì)；古典概型及其概率運(yùn)算公式專題 ：等 差數(shù)列與等比數(shù)列；概率與統(tǒng)計(jì)分析：先 由題意寫出成等比數(shù)列的10 個(gè)數(shù)為 . 然后找出小于8 的項(xiàng)的個(gè)數(shù) . 代入古典概論的運(yùn)算公式即可求解解答：解 ：由題意成等比數(shù)列的10 個(gè)數(shù)為： 1. 3. （ 3）23. （ 3）9（ 3）其中小于8 的項(xiàng)有： 1. 3. （ 3）3. （ 3）5. （ 3）79. （ 3）共

7、 6 個(gè)數(shù)這 10 個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù). 就它小于8 的概率是p=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本 題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及古典概率的運(yùn)算公式的應(yīng)用. 屬于基礎(chǔ)試題7（ 5 分）（ 2021 . 江蘇）如圖 . 在長方體abcda1b1c1d1 中.ab=ad=3cm.aa1=2cm.就四棱錐a3bb1d1d 的體積為6cm 考點(diǎn) ：棱 柱、棱錐、棱臺(tái)的體積專題 ：空 間位置關(guān)系與距離；立體幾何分析：過 a 作 aobd 于 o. 求出 ao.然后求出幾何體的體積即可解答：解：過 a 作 aobd于 o.ao是棱錐的高 . 所以 ao=.所以四棱錐a bb1 d1d的體積為v=6故答案為： 6點(diǎn)評(píng)

8、：本 題考查幾何體的體積的求法. 考查空間想象才能與運(yùn)算才能.8（ 5 分）（ 2021. 江蘇） 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中. 如雙曲線的離心率為.就 m的值為2考點(diǎn) ：雙 曲線的簡潔性質(zhì)專題 ：圓 錐曲線的定義、性質(zhì)與方程222分析：由 雙曲線方程得y 的分母 m +4 0. 所以雙曲線的焦點(diǎn)必在x 軸上因此 a =m0. 可得22222c =m+m+4.最終依據(jù)雙曲線的離心率為. 可得 c =5a . 建立關(guān)于 m的方程：m+m+4=5m.解之得 m=22解答：解 ：m +40雙曲線的焦點(diǎn)必在x 軸上222因此 a =m0.b=m+4222c=m+m+4=m+m+4雙曲線的離心率為.22

9、. 可 得 c =5a .2所以 m+m+4=5m.解之得 m=2故答案為： 2點(diǎn)評(píng)：本 題給出含有字母參數(shù)的雙曲線方程. 在已知離心率的情形下求參數(shù)的值. 著重考查了雙曲線的概念與性質(zhì). 屬于基礎(chǔ)題9（ 5 分）（2021. 江蘇） 如圖 . 在矩形 abcd中.ab=.bc=2. 點(diǎn) e 為 bc的中點(diǎn) . 點(diǎn) f 在邊 cd上. 如=. 就的值是考點(diǎn) ：平 面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算專題 ：平 面對(duì)量及應(yīng)用分析：根 據(jù)所給的圖形 . 把已知向量用矩形的邊所在的向量來表示. 做出要用的向量的模長.表示出要求得向量的數(shù)量積. 留意應(yīng)用垂直的向量數(shù)量積等于0. 得到結(jié)果解答：解：.=|=.|=1.|=

10、 1.=（）（）= 2+2=.故答案為：點(diǎn)評(píng)：本 題考查平面對(duì)量的數(shù)量積的運(yùn)算此題解題的關(guān)鍵是把要用的向量表示成已知向量的和的形式 . 此題是一個(gè)中檔題目10（ 5 分）（ 2021. 江蘇）設(shè)f （ x ）是定義在r上且周期為2 的函數(shù) . 在區(qū)間 1.1 上.f（x ）=其中 a.b r如=. 就 a+3b 的值為 10考點(diǎn) ：函 數(shù)的周期性；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法專題 ：函 數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由于 f（ x）是定義在r 上且周期為2 的函數(shù) . 由 f （ x）的表達(dá)式可得f（）=f （）=1 a=f （） =；再由 f （ 1） =f （ 1）得 2a+b=0. 解關(guān)于

11、a.b 的方程組可得到解答：a.b 的值 . 從而得到答案解： f （ x）是定義在r上且周期為2 的函數(shù) .f （ x）=.f （） =f （） =1a.f （） =；又=.1a=又 f （ 1） =f （1） .2a+b=0. 由解得a=2.b= 4；a+3b= 10 故答案為：10點(diǎn)評(píng)：本 題考查函數(shù)的周期性. 考查分段函數(shù)的解析式的求法. 著重考查方程組思想. 得到a.b 的方程組并求得a.b 的值是關(guān)鍵 . 屬于中檔題11（ 5 分）（ 2021. 江蘇）設(shè) 為銳角 . 如 cos（ +）=. 就 sin（ 2+）的值為考點(diǎn) ：三 角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角和

12、與差的正弦函數(shù)；二倍.角的正弦專題 ：三 角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：先設(shè) =+. 依據(jù) cos 求出 sin . 進(jìn)而求出sin2 和 cos2 . 最終用兩角和的正弦公式得到sin （2+）的值解答：解：設(shè) =+.2sin = .s in2 =2sin cos=. cos2=2cos 1=.sin （2+） =sin （2+） =sin （2）=sin2 coscos2sin= 故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題要我們?cè)谝阎J角+的余弦值的情形下. 求 2+的正弦值 . 著重考查了兩角和與差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式. 考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 . 屬于中檔題2212（

13、 5 分）（ 2021. 江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xoy 中. 圓 c 的方程為x +y 8x+15=0. 如直線y=kx 2 上至少存在一點(diǎn). 使得以該點(diǎn)為圓心.1 為半徑的圓與圓c有公共點(diǎn) . 就 k 的最大值是考點(diǎn) ：圓 與圓的位置關(guān)系及其判定；直線與圓的位置關(guān)系專題 ：直 線與圓2222分析：由 于圓 c 的方程為（ x 4）有公共點(diǎn)即可+y =1. 由題意可知 . 只需（ x4） +y =1 與直線 y=kx 2解答：解 ：圓 c 的方程為x 2+y28x+15=0. 整理得：（ x 4）2+y2=1. 即圓 c 是以（ 4.0 ）為圓心 .1 為半徑的圓；又直線 y=kx 2 上至少

14、存在一點(diǎn). 使得以該點(diǎn)為圓心.1 為半徑的圓與圓c有公共點(diǎn) .22只需圓c：（x 4） +y =1 與直線 y=kx 2 有公共點(diǎn)即可設(shè)圓心 c（ 4.0 ）到直線y=kx 2 的距離為d.就 d=2. 即 3k24k0.0kk的最大值是 故答案為：.22點(diǎn)評(píng)：本 題考查直線與圓的位置關(guān)系. 將條件轉(zhuǎn)化為“（x 4） +y =4 與直線 y=kx 2 有公共點(diǎn)”是關(guān)鍵. 考查同學(xué)敏捷解決問題的才能. 屬于中檔題213（ 5 分）（2021. 江蘇）已知函數(shù)f （ x）=x +ax+b（ a.b r）的值域?yàn)?0. +） . 如關(guān)于 x的不等式f （ x） c 的解集為（ m.m+6） . 就實(shí)

15、數(shù) c 的值為9考點(diǎn) ：一 元二次不等式的應(yīng)用專題 ：函 數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用分析：根 據(jù)函數(shù)的值域求出a 與 b 的關(guān)系 . 然后依據(jù)不等式的解集可得f （ x）=c 的兩個(gè)根為m.m+6.最終利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式. 解之即可22解答：解 ：函數(shù)f （ x） =x +ax+b（ a.b r）的值域?yàn)?0. +） .2f （ x） =x+ax+b=0 只有一個(gè)根 . 即 =a 4b=0 就 b=不等式 f （ x ） c 的解集為（ m.m+6） .2即為 x +ax+ c 解集為（ m.m+6） .2就 x +ax+ c=0 的兩個(gè)根為m.m+6|m+6 m|=6解得 c

16、=9故答案為： 9點(diǎn)評(píng)：本 題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用. 以及根與系數(shù)的關(guān)系. 同時(shí)考查了分析求解的才能和運(yùn)算才能. 屬于中檔題14（ 5 分）（ 2021. 江蘇）已知正數(shù)a.b.c滿意： 5c3ab4c a. clnb a+clnc. 就的取值范疇是e.7考點(diǎn) ：導(dǎo) 數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；不等式的綜合專題 ：導(dǎo) 數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用分析：由題意可求得 2. 而 5×34× 1. 于是可得7；由 c lnba+c lnc 可得 0acln. 從而. 設(shè)函數(shù) f （x ） =（ x 1） . 利用其導(dǎo)數(shù)可求得f（ x）的微小值 . 也就是的最小值

17、 . 于是問題解決解答：解 ： 4cab 0.5c3a4c a.2從而2×4 1=7. 特殊當(dāng)=7 時(shí). 其次個(gè)不等式成立 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a：b：c=1 ： 7： 2又 clnb a+clnc .0acln.從而. 設(shè)函數(shù) f （ x ） =（ x 1） .f （ x ）=. 當(dāng) 0 x e 時(shí) . f （ x ） 0. 當(dāng) x e 時(shí). f （ x） 0. 當(dāng) x=e時(shí) . f （ x ） =0.當(dāng) x=e 時(shí).f （x ）取到微小值. 也是最小值f （ x） min=f （ e） =e等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)=e.=e 成立代入第一個(gè)不等式知：2=e3. 不等式成立 . 從而 e可以取得等

18、號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a： b： c=1 ： e： 1從而的取值范疇是e.7雙閉區(qū)間點(diǎn)評(píng)：此題考查不等式的綜合應(yīng)用. 得到. 通過構(gòu)造函數(shù)求的最小值是關(guān)鍵. 也是難點(diǎn) . 考查分析與轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)解決問題的才能. 屬于難題二、解答題：本大題共6 小題 . 共計(jì) 90 分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答. 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（ 14 分）（ 2021. 江蘇）在 abc 中. 已知（1）求證： tanb=3tana ；（2）如 cosc=. 求 a 的值考點(diǎn) ：解 三角形；平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用專題 ：三 角函數(shù)的求值；解三角形；平面對(duì)量及應(yīng)用分析：（ 1）利用

19、平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算法就化簡已知的等式左右兩邊. 然后兩邊同時(shí)除以c化簡后 . 再利用正弦定理變形. 依據(jù) cosacosb0. 利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切即可得到tanb=3tana ；（ 2）由 c 為三角形的內(nèi)角. 及 cosc 的值 . 利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinc.解答：的值 . 進(jìn)而再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切求出tanc 的值 . 由 tanc 的值 . 及三角形的內(nèi)角和定理. 利用誘導(dǎo)公式求出tan（ a+b）的值 . 利用兩角和與差的正切函數(shù) 公式化簡后 . 將 tanb=3tana 代入 . 得到關(guān)于 tana 的方程 . 求出方程的解得到tan

20、a 的值 .再由 a 為三角形的內(nèi)角. 利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出a 的度數(shù)解：（ 1）.=3.cb cosa=3cacosb. 即 bcosa=3acosb.由正弦定理=得： sinbcosa=3sinacosb.又 0 a+b . cosa 0.cosb 0.在等式兩邊同時(shí)除以cosacosb. 可 得 tanb=3tana ；（ 2） cosc=.0 c .sinc=.tanc=2 .就 tan （ a+b） =2. 即 tan （ a+b） = 2.= 2.將 tanb=3tana代入得：= 2.2整理得： 3tan a 2tana 1=0. 即（ tana 1）（ 3tana+1

21、 ） =0.解得： tana=1 或 tana= .又 cosa 0. tana=1 .又 a 為三角形的內(nèi)角.就 a=點(diǎn)評(píng)：此 題屬于解三角形的題型. 涉及的學(xué)問有：平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算法就. 正弦定理 . 同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系. 誘導(dǎo)公式 . 兩角和與差的正切函數(shù)公式. 以及特殊角的三角函數(shù)值 . 嫻熟把握定理及公式是解此題的關(guān)鍵16（ 14 分）（ 2021. 江蘇）如圖 . 在直三棱柱abc a1b1c1 中.a 1b1 =a1c1.d.e 分別是棱bc.cc1上的點(diǎn)（點(diǎn)d 不同于點(diǎn)c） . 且 adde.f 為 b1c1 的中點(diǎn)求證：（1）平面 ade平面 bcc1b1；（2）直

22、線 a1 f平面 ade.考點(diǎn) ：平 面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定專題 ：空 間位置關(guān)系與距離；立體幾何分析：（ 1）依據(jù)三棱柱 abc a1 b1 c1 是直三棱柱 . 得到 cc1平面 abc.從而 adcc1 . 結(jié)合已知條件 adde.de、cc1 是平面 bcc1b1 內(nèi)的相交直線 . 得到 ad平面 bcc1 b1. 從而平面 ade平面 bcc1b1；（ 2）先證出等腰三角形a 1 b1c1 中.a 1fb1 c1. 再用類似（ 1）的方法 . 證出 a1f平面 bcc1b1. 結(jié)合 ad平面 bcc1b1. 得到 a1fad. 最終依據(jù)線面平行的判定定理 . 得到直

23、線 a1f平面 ade解答：解 ：（ 1）三棱柱abc a1 b1c1 是直三棱柱 .cc1平面 abc.ad. 平面 abc.adcc1又 adde.de、cc1 是平面 bcc1b1 內(nèi)的相交直線ad平面 bcc1b1.ad. 平面 ade平面 ade平面 bcc1b1 ；（ 2）a1b1c1 中 .a 1b1=a1c1.f 為 b1c1 的中點(diǎn)a1fb1c1.cc1平面 a1 b1c1 .a 1f. 平面 a1b1c1.a1fcc1又b1c1、cc1 是平面 bcc1b1 內(nèi)的相交直線a1f平面 bcc1b1又 ad平面 bcc1 b1.a1fada1f. 平面 ade.ad. 平面 a

24、de.直線 a1f平面 ade點(diǎn)評(píng)：本 題以一個(gè)特殊的直三棱柱為載體. 考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定等學(xué)問點(diǎn). 屬于中檔題217（ 14 分）（2021. 江蘇） 如圖 . 建立平面直角坐標(biāo)系xoy.x 軸在地平面上 .y軸垂直于地平 面. 單位長度為1 千米某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx （ 1+k ）2x （ k 0）表示的曲線上. 其中 k 與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)（1）求炮的最大射程；.（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽視其大小）. 其飛行高度為3.2 千米 . 試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí) . 炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由考點(diǎn)

25、：函 數(shù)模型的挑選與應(yīng)用專題 ：函 數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用）分析：（ 1）求炮的最大射程即求y=kx（ 1+k 22x （ k 0）與 x 軸的橫坐標(biāo) . 求出后應(yīng)用基本不等式求解（ 2）求炮彈擊中目標(biāo)時(shí)的橫坐標(biāo)的最大值. 由一元二次方程根的判別式求解解答：2222解：（ 1）在 y=kx （ 1+k ） x （k 0）中 . 令 y=0. 得 kx （ 1+k ） x=0由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x 0.k 0. 當(dāng)且僅當(dāng)k=1 時(shí)取等號(hào)炮的最大射程是10 千米22（ 2） a 0. 炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在k 0. 使 ka（ 1+k ） a =3.2 成立 .2即關(guān)于 k 的方程 a22k 20a

26、k+a+64=0 有正根由韋達(dá)定理滿意兩根之和大于0. 兩根之積大于0.222故只需 =400a 4a （ a +64）0得 a6此時(shí) .k= 0當(dāng) a 不超過 6 千米時(shí) . 炮彈可以擊中目標(biāo)點(diǎn)評(píng)：本 題考查函數(shù)模型的運(yùn)用. 考查基本不等式的運(yùn)用. 考查同學(xué)分析解決問題的才能. 屬于中檔題3218（ 16 分）（ 2021. 江蘇）如函數(shù)y=f （ x ）在 x=x 0 處取得極大值或微小值. 就稱 x 0 為函數(shù)y=f （ x ）的極值點(diǎn)已知a.b 是實(shí)數(shù) .1 和 1 是函數(shù) f （x） =x（1）求 a 和 b 的值；+ax+bx 的兩個(gè)極值點(diǎn)（2）設(shè)函數(shù)g（ x）的導(dǎo)函數(shù)g（ x ）

27、 =f （ x ） +2. 求 g（x）的極值點(diǎn)；（3）設(shè) h（ x ） =f （f （ x ） c. 其中 c 2.2.求函數(shù) y=h （ x ）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)考點(diǎn) ：函 數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；函數(shù)的零點(diǎn)專題 ：導(dǎo) 數(shù)的綜合應(yīng)用分析：（ 1）求出導(dǎo)函數(shù) . 依據(jù) 1 和 1 是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方程組求解即可3（ 2）由（ 1）得 f （ x） =x 3x. 求出 g（ x ） . 令 g（ x）=0. 求解爭論即可.（ 3）先分 |d|=2和|d| 2 爭論關(guān)于的方程f （ x）=d 的情形；再考慮函數(shù)y=h（ x）的零點(diǎn)解答：解 ：（ 1）由 f （x ） =x3+ax2+bx. 得

28、f （ x） =3x 2+2ax+b1和 1 是函數(shù) f （ x ）的兩個(gè)極值點(diǎn).32f （ 1） =32a+b=0. f （ 1） =3+2a+b=0. 解得 a=0.b= 33（ 2）由（ 1）得 .f （ x ）=x=0. 解得 x1 =x2=1.x 3 = 23x. g（ x ） =f （x ） +2=x 3x+2=（ x 1）（x+2 ）當(dāng) x 2 時(shí). g（ x ） 0；當(dāng) 2 x 1 時(shí). g（ x ） 0. 2 是 g（ x）的極值點(diǎn)當(dāng) 2 x 1 或 x 1 時(shí). g（ x） 0. 1不是 g（x ） 的極值點(diǎn)g（ x）的極值點(diǎn)是2（ 3）令 f （ x） =t. 就 h（x

29、 ） =f （ t ） c 先爭論關(guān)于x 的方程 f （x ） =d 根的情形 .d 2.2當(dāng) |d|=2時(shí). 由（ 2 ）可知 .f （ x） = 2 的兩個(gè)不同的根為1 和一 2. 留意到 f （ x ）是奇函數(shù) .f （ x） =2 的兩個(gè)不同的根為1 和 2當(dāng) |d| 2 時(shí) . f （ 1） d=f （ 2） d=2 d 0.f （1） d=f （ 2） d= 2 d 0.一 2. 1.1.2都不是 f （ x ） =d 的根由（ 1）知 . f （ x ） =3（x+1 ）（ x1）當(dāng) x（ 2. +）時(shí) . f （ x） 0. 于是 f （x）是單調(diào)增函數(shù). 從而 f （ x）

30、f （ 2）=2此時(shí) f （ x） =d 在（ 2. +）無實(shí)根當(dāng) x（ 1.2 ）時(shí) . f （ x ） 0. 于是 f （ x）是單調(diào)增函數(shù) 又 f （ 1） d0.f （ 2） d 0.y=f （ x） d 的圖象不間斷.f （ x） =d 在（ 1.2）內(nèi)有唯獨(dú)實(shí)根同理 . 在（一 2. 一 1）內(nèi)有唯獨(dú)實(shí)根當(dāng) x（ 1.1 ）時(shí) . f （ x） 0. 于是 f （x）是單調(diào)減函數(shù) 又 f （ 1） d 0.f （1） d0.y=f（ x） d 的圖象不間斷 .f （ x） =d 在（一 1.1）內(nèi)有唯獨(dú)實(shí)根因此 . 當(dāng)|d|=2時(shí).f （ x ）=d 有兩個(gè)不同的根x 1.x 2.

31、 滿 足 |x 1|=1.|x2|=2 ；當(dāng) |d| 2 時(shí) .f（ x） =d 有三個(gè)不同的根x 3.x 4.x 5. 滿意 |x i | 2.i=3.4.5現(xiàn)考慮函數(shù)y=h（x ）的零點(diǎn)：（ i）當(dāng) |c|=2時(shí).f （ t ）=c 有兩個(gè)根t 1.t 2 . 滿意 |t 1|=1.|t2|=2 而 f （ x） =t 1 有三個(gè)不同的根 .f （x ） =t 2 有兩個(gè)不同的根. 故 y=h （ x）有 5 個(gè)零點(diǎn)（ i i）當(dāng) |c| 2 時(shí).f （ t ） =c 有三個(gè)不同的根t 3.t 4.t 5. 滿意 |t i | 2.i=3.4.5而 f （ x） =t i 有三個(gè)不同的根.

32、 故 y=h （ x）有 9 個(gè)零點(diǎn)綜上所述 . 當(dāng)|c|=2時(shí). 函數(shù) y=h（ x ）有 5 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) |c| 2 時(shí). 函數(shù) y=h（x ）有 9 個(gè)零點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：本 題考查導(dǎo)數(shù)學(xué)問的運(yùn)用. 考查函數(shù)的極值. 考查函數(shù)的單調(diào)性. 考查函數(shù)的零點(diǎn). 考查分類爭論的數(shù)學(xué)思想. 綜合性強(qiáng) . 難度大.19（ 16 分）（ 2021. 江蘇）如圖 . 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中. 橢圓（ a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為f1（ c.0 ） .f 2（ c.0 ）已知（ 1.e ）和（ e.）都在橢圓上. 其中 e 為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè) a.b 是橢圓上位于x 軸上方的兩點(diǎn) .

33、且直線 af1 與直線 bf2 平行 .af 2 與 bf1 交于點(diǎn) p（ i ）如 af1 bf2=. 求直線 af1 的斜率；（ ii）求證： pf1+pf2 是定值考直線與圓錐曲線的綜合問題；直線的斜率；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)：專圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程題：分（ 1）依據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知（1.e ）和（ e.）. 都在橢圓上列式求解析：（ 2（） i ）設(shè) af1 與 bf2 的方程分別為x+1=my.x 1=my. 與橢圓方程聯(lián)立. 求出 |af 1| 、|bf 2 |.依據(jù)已知條件af1bf2 =. 用待定系數(shù)法求解；（ ii ）利用直線af1 與直線 bf2 平行 . 點(diǎn) b 在橢圓上

34、知 . 可得. 由此可求得 pf1+pf2 是定值解22222答：（ 1）解：由題設(shè)知a =b +c.e=. 由點(diǎn)（ 1.e ）在橢圓上 . 得. b=1 .c=a 1由點(diǎn)（ e.）在橢圓上 . 得2. a=2.橢圓的方程為（ 2）解：由（ 1）得 f1（ 1.0 ） .f 2（ 1.0 ）.又直線af1 與直線 bf2 平行 . 設(shè) af1 與 bf2 的方程分別為x+1=my.x 1=my設(shè) a（x 1.y 1） .b （ x 2.y 2 ） .y 1 0.y 2 0.2由. 可得（ m +2） 2my1 1=0.（舍） .|af 1 |=×|0 y 1|=同理 |bf 2 |=

35、2（ i ）由得 |af 1| |bf 2|=. . 解得 m=2留意到m 0. m=直線 af1 的斜率為（ ii ）證明：直線af1 與直線 bf2 平行 . . 即由點(diǎn) b 在橢圓上知 . 同理pf1+pf2=由得 .pf1+pf2=.pf1+pf2 是定值點(diǎn)此題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 考查直線與橢圓的位置關(guān)系. 考查同學(xué)的運(yùn)算才能. 屬于中檔評(píng)：題20（ 16 分）（ 2021. 江蘇）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列a n 和b n 滿意：*an+1=.n n .（1）設(shè) bn+1=1+.n n*. 求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè) bn+1=.n n*. 且a n 是等比數(shù)列 . 求 a1

36、和 b1 的值考點(diǎn) ：數(shù) 列遞推式；等差關(guān)系的確定；等比數(shù)列的性質(zhì)專題 ：等 差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（ 1）由題意可得 .a n+1=. 從而可得. 可證（ 2）由基本不等式可得. 由a n 是等比數(shù)列利用反證法可證明q=1. 進(jìn)而可求a1 .b 1解答：解：（ 1）由題意可知.a n+1=從而數(shù)列 是以 1 為公差的等差數(shù)列（ 2）an 0.b n 0.從而（ * ）設(shè)等比數(shù)列 a n 的公比為下證 q=1q. 由 an 0 可知q 0如 q 1. 就. 故當(dāng)時(shí).與（ * ）矛盾0 q1. 就. 故當(dāng)時(shí).與（ * ）沖突綜上可得q=1.a n=a1.所以 .數(shù)列 b n 是公比的等比數(shù)列如.

37、 就. 于是 b1 b2 b3又由可得b1.b 2.b 3 至少有兩項(xiàng)相同. 沖突. 從而=點(diǎn)評(píng)：本 題主要考查了利用構(gòu)造法證明等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用. 解題的關(guān)鍵是反證法的應(yīng)用三、附加題 21 選做題：任選2 小題作答 .22 、 23 必做題）（共 3 小題 . 滿分 40 分）21（ 20 分）（ 2021. 江蘇） a 選修 4 1：幾何證明選講如圖 .ab 是圓 o的直徑 .d.e 為圓上位于ab異側(cè)的兩點(diǎn) . 連接 bd并延長至點(diǎn)c. 使 bd=dc連. 接ac.ae.de求證： e=c.b 選修 4 2：矩陣與變換已知矩陣a 的逆矩陣. 求矩陣 a 的特點(diǎn)值 c 選修

38、 4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)中 . 已知圓 c 經(jīng)過點(diǎn) p（.）. 圓心為直線sin （）=與極軸的交點(diǎn). 求圓 c的極坐標(biāo)方程 d 選修 4 5：不等式選講已知實(shí)數(shù)x.y 滿意： |x+y|.|2x y| . 求證： |y|考點(diǎn) ：特 征值與特點(diǎn)向量的運(yùn)算；簡潔曲線的極坐標(biāo)方程；不等式的證明；綜合法與分析法 選修）專題 ：不 等式的解法及應(yīng)用；直線與圓；矩陣和變換；坐標(biāo)系和參數(shù)方程分析：a要證 e=c. 就得找一個(gè)中間量代換. 一方面考慮到b . e是同弧所對(duì)圓周角.相等； 另一方面依據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到從而得證b由矩陣a 的逆矩陣 .

39、 依據(jù)定義可求出矩陣a. 從而求出矩陣a 的特點(diǎn)值 c依據(jù)圓心為直線sin （） =與極軸的交點(diǎn)求出的圓心坐標(biāo)；依據(jù)圓經(jīng)過點(diǎn) p（.）. 求出圓的半徑. 從而得到圓的極坐標(biāo)方程d依據(jù)肯定值不等式的性質(zhì)求證 解答：a證明：連接adab 是圓 o的直徑 . adb=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）adbd（垂直的定義） 又 bd=dc. ad是線段 bc 的中垂線（線段的中垂線定義）ab=ac（線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等） b=c（等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)）又d.e為圓上位于ab 異側(cè)的兩點(diǎn) . b=e（同弧所對(duì)圓周角相等） e=c（等量代換） .b、解：矩陣a 的逆矩陣. a=f （） =23 4=0 1= 1. 2=4c、解：圓心為直線sin （） =與極軸的交點(diǎn) .在 sin （）=中令 =0 . 得 =1圓c的圓心坐標(biāo)為（1.0 ）圓 c 經(jīng)過點(diǎn) p（.） . 圓 c 的半徑為