1、淺談數學歸納法的應用姓名：孫靜靜學號：200740510534指導教師：崔艷摘要:數學歸納法是證明與自然數有關命題的一種方法，應用 廣泛.數學歸納法的應用不僅僅體現在中學數學中，在高等 數學命題的證明中也起著極為重要的作用.文中通過對范德 蒙德行列式的證明、二次型標準化定理的證明、數學歸納法 證明數列的單調性以及用數學歸納法證明整除問題、恒等式 問題以及數學歸納法與其他知識點的交匯等問題來談一談 數學歸納法在數學命題的證明上所突出的重要應用.關鍵詞:數學歸納法應用引言： 數學歸納法是一種數學證明方法典型的用于確定 一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用于確定一 個其他的形式在一個無窮序列是

2、成立的有一種用于數理邏 輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達 式是等價表達式，這就是著名的結構歸納法.已知最早的使用數學歸納法的證明出現于francesconfourol ico 的 ari thmeticorum 1 ibri duo （1575 年）.kburol ico證明了前”個奇數的總和是2"最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當屬于所有自然數時一個表達式成立，這種方法是由以下兩個步驟 組成的.(1)、遞推的基礎：證明當” 時表達式成立；(2) 遞推的依據:證明假設當""吋表達式成立，那么當"彳+ 1吋 表達式也同樣成立.(遞推

3、的依據中的“假設”為歸納假設, 而不要把整個第二步都稱為歸納假設)歸納假設這個方法 的原理在于第一步證明起始值在表達式中是成立的，然后證 明一個值到下一個值的證明過程是有效的.如果這兩步都被 證明是成立的，那么任何一個值的證明都是可以被包含在重 復不斷進行的過程中的.數學歸納法的原理作為自然數公 理，通常是已經規定的了.，然而它也可以用一些邏輯方法 證明，在此就不予證明了.用數學歸納法進行證明表達式通常分為三個步驟：(1) 歸納基礎驗證當“取第一個值時命題成立，這時就獲得了遞推 的基礎，但是僅僅依靠這一步是不能說明結論的普遍性的. 在驗證時，考察結論成立的最小正整數就足夠了，沒有必要 再多考慮

4、幾個正整數，即使命題對這幾個正整數成立，也是 不能保證命題對其他正整數也成立.(2) 歸納遞推假設當"彳吋命題成立，證明當+ 1吋命題成立.這 樣便獲得了遞推的依據，在此必不可少的便是第一步的基 礎，只有二者結合，才能獲得普遍性的結論.(3) 下結論最后得到普遍性的結論，即表達式成立.然而需要注意的有：用數學歸納法進行證明時，“歸納 基礎”和“歸納遞推”二者缺一不可；在歸納遞推屮，遞推 之前，"寸吋結論是不確定的，因此必須有假設二字.這一步 的實質是證明命題時的正確性可以傳遞到”寸+1時的情 況，這樣再加上遞推基礎，就能推得命題成立.1 范德蒙德行列式的證明行列式1 . 1

5、alald_ ?ooaaaan稱為級的范德蒙德(vandermonde)行列式我們來證明對于任意 的川(h2), h級范德蒙德行列式等于j這料個數的所有 可能的差ai -cij(1 < j<i s)的乘積.證明：對作數學歸納法.當72 = 2時，結果是對的.a2 設對1級的范徳蒙徳行列式結論成立，那么對級范徳蒙徳行111.1111 1"1a 2an0“2 - "1幺3-“1 an-a21盜=0a2 -u2 aa2。3 -譏3cr n al ana丿-1a2 n-a3盯0a2 1 一m a2 “an 1 - an 2u3a u3an a an11 1(a2-al)

6、 (a3-al).(an-al)a 2“3 an n-2 n_2ci2cl5后面的行列式便是i級范徳蒙徳行列式，由假設可知結論成立因此 可得，結論對級范德蒙德行列式成立，根據數學歸納法完成了證明.111aal“3即有襯ac 72-171-1ja2an(ai - aj)成立.l<j<i<n2二次型標準化定理的證明定理：數域p上任意一個二次型都可以經過非退化的線性替換變成平方和d用+ 4- d nx :的形式.證明：對變量的個數m乍數學歸納法當時，二次型就是f(x)=a結論顯然成立.現假定對1元的二次型,均有泄理的結論成立再設兒-2丿工工/=! ；=1分三種情況討論:（1）,&q

7、uot;,2,間中至少有一個不是0,不妨設加0,此時有i=2f ( x】? * * * a/r ) a i+ 工 aj + y azi ,t；xl + 工工 xixij=2 xxj i=2i=2 j=2/allx1+工d】l “丿xj< >=2其中為工嘰w二-兀j=2 j=2z>=2、djxj/2 +工工嘰是一個"3,也的二次型 /=2 ；=2 jy=x +工 °】a j戶2y2=x2,ixj,bp<=yi _工0】1小，戶2- =,這是一個非線性替換,vn xnxn yn它使兒”w+工工叭 由歸納法假定，對后者有非退/=2 j=2 yj化線性替換能

8、使其變成平方和的形式，丁是就有非退化線性替換能使兒*，時+工訕+工皿+工4 變成平方>=2 xxj /=2心2 j=2和的形式，定理得證.（2）所有嚴0,但是至少有一心0。>1）,不失一般性，不妨設門2工0.令卜=zl +乙2,x2_zl _z2，* x33，xn /a 12大1兀2/(a1，,丫2，j = 2皿2小2 + =2切 cl +z2 x zl -?2 ) + =2«12 一 2小2 z； + 這時上式右端是"2,心的二次型，且汕勺系數不是0,屬于 第一種情況，定理成立.這時二次型是-1元二次型，根據歸納法假定，結論成立于 是定理得證.3 數學歸納法證

9、明數列的單調性例:設肋+i =何匚,“ =0,12° > 0,薦巳，求證數列仏是單調遞 增數列.證明：當” =1時，有心=jd+d >罷=制，假設當川=£-1時，有不等式ak >ak-則當斤=比時有,如=jd+以 > j。+心=ak，故有數列陽單調遞增命題得證.4 整除問題的證明例1、是否存在正整數加,使得/（n） =（2n + 7）-3«+9對任意自 然數”都能被肌整除?若存在，求出最大的力值，并證明你的 結論;若不存在，請說明理由.解：當兀=1 時有 f（l） =（2 + 7）3 + 9 = 36 ,當兀=2 時有/（2）=（4 + 7

10、）32+9 = 108 = 3x36 ,當/? = 3 日寸有 /（3）=（6 + 7）33 + 9 = 360 = 10 x 36 ,由此推想存在正整數加，且加的最大值為36,即對任意 的自然數"都能被36整除.當n = 1時明顯有命題成立；假設當寸時有命題成立，即張）=（2£ + 7）3" +9能被36整那么當n = k + l時有/(jt +1) = 2(jt +1)+7 3i+1 + 9 = 3(2a: + 7)-3* +9+323* -18 = 3(2k + 7)3* +9+18(3*_1-1) 由于3*-' -1 (a: > 2)是2的倍

11、數，故有18(3-1)是36的倍數，即 18曠-1)能被36整除,由假設得張+ 1)能被36整除,即命題成 立，故存在最大的正整數加，且加的值為36.5 恒等式問題的證明例、是否存在常數°,恥，使得等式le22 4-2>32+m>(n + l)2 = m + 1)伽2+bn + c)對一切自然數成立?12并證明你的結論.解：假設存在常數使得等式成立，則當“",2,3時有等式成立，即有4 = (a + b + c)622* + 2士)70 = 9a + 3b + c解得：° = 3,b = 1 l,c = 10,故對 n = 1,2,3 吋，等式1 2?

12、 + 2 3? + +川(刃 +1)2 = "(" + d (3/22 +11/2 4-10)成立.12令 s” = 1 2? + 2 3? + +斤 + 1尸假設“寸時上式成立，即s嚴紅護曲+1+10)那么 = sk + 伙 +1)伙+ 2)2=砍+ d (3鳥 2 +11r +10) + 伙 +1)伙 + 2)2晉(”+ 5) + (屮伙+ 2尸=伙 + 1)(* + 2)2 + 5k + i2k +10)12二' '八八 t s 3伙 + 1)2+11 伙 + 1) + 1012這就是說，等式當“21時也成立，假設成立.故半a = 3,2 1 l,c

13、= 10時，題設的等式對一切自然數"都成立.6 與其他知識點的交匯例、平面上有“個圓，每兩個圓交于兩點，每三個圓不過 同一點，求證這“個圓分平面為“2_” + 2個部分.解：記”個圓分平面的部分數為s”.當"=1時,有5) =2 = 1-14-2,命題成立.假設當時，有命題成立，即有s* =k2-k + 2成立.則當+ 1吋，第21個圓與前k個圓有次個交點,而這“ 個交點把第"1個圓分成次段，每一段把前面的平面一分為 二，從而共增加了 2k個平面，故有 s”, =k2-k + 2 + 2k=k2 +k + 2 = (k + l)2-(k + i)+2, 即當“ = k + l時，有如=(r + 1)2_(zi) + 2成立.綜上所訴，命題得證.點評：關于這類幾何問題，關鍵在于分析與"1的差界，k到 “1的變化情況，然后借助于圖形的直觀性，建立k與"1的 遞推關系.文中通過一系列的例題，最直觀的介紹了數學歸納法