1、    基于特征河長(zhǎng)和擴(kuò)散波動(dòng)力方程對(duì)muskingum法的理論探討    丁富平 姚志宏 徐敬華摘要：為了探索特征河長(zhǎng)、擴(kuò)散波動(dòng)力方程和mmuskingum法槽蓄方程三者間的關(guān)系，根據(jù)水力學(xué)和水文學(xué)原理，以擴(kuò)散波動(dòng)力方程為基礎(chǔ)，通過(guò)建立河段槽蓄方程，證明了muskingum法槽蓄方程是擴(kuò)散波動(dòng)力方程的一階近似以及流量比重系數(shù)x無(wú)量綱性的重要意義；在對(duì)特征河長(zhǎng)概念外延的基礎(chǔ)上，提出了利用autocad繪圖軟件確定特征河長(zhǎng)的新方法，并以兩條河流的相關(guān)數(shù)據(jù)為依據(jù)進(jìn)行了實(shí)際操作，結(jié)果表明，該方法具有操作簡(jiǎn)單，直觀，適應(yīng)性強(qiáng)，精度好等優(yōu)點(diǎn)；同時(shí)推導(dǎo)出特征河長(zhǎng)與x

2、值之間的關(guān)系，并分析了不同x值對(duì)應(yīng)的水位流量關(guān)系特點(diǎn)及河道斷面特征，證明了特征河長(zhǎng)、mmuskingum法槽蓄方程與擴(kuò)散波動(dòng)力方程三者聯(lián)系的紐帶是其皆能反映附加比降對(duì)河道流量的作用；最后基于不同的假設(shè)，給出了計(jì)算x的3種公式，得到了不同河流的x值與其河段長(zhǎng)l無(wú)關(guān)，但隨計(jì)算空間步長(zhǎng)、河底比降的增大而增大，隨河道糙率和穩(wěn)定流流量的增大而減小等重要結(jié)論。abstract: it is proved that the storage equation of muskingum method was one-order approximation of the diffusion wave equati

3、on by establishing the storage equation of river based on the principle of hydraulics and hydrology . a new approach according to the extension of concept of characteristic river length was proposed to determine the characteristics of long river by the atuocad , and applied to two rivers cases, the

4、results indicated that the approach is simple, visable，high-accuracy, adaptable and high efficiency. in addation, the discharge cross section and stage discharge curve were analyed within the limits of x ,which was calculated by using the relationships between characteristic river length and practic

5、al river length, the correlations between the characteristic river length，storage equation of the muskingum method and the diffusion wave equation were given.three x formulas were derived by different hypotheses,the results showed that x increased obviously with increacing of slope and space interva

6、l，and decreased with increacing of coefficient of roughness and constant flow rate.關(guān)鍵詞：特征河長(zhǎng)；擴(kuò)散波動(dòng)力方程；muskingum槽蓄方程；x；理論探討key words： characteristic river length；diffusion wave equation；storage equation of muskingum method；parameter x；theoretical studies中圖分類號(hào)：tv131.3文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：a 文章編號(hào)：早在17世紀(jì)，人們就開始了對(duì)水流演算數(shù)學(xué)方法的

7、研究，并不斷地發(fā)展著，1871年，barede saint-venant建立了非恒定流一維分析的理論基礎(chǔ)，由于其求解的復(fù)雜性，后來(lái)出現(xiàn)了許多簡(jiǎn)化的水流演算方法1，muskingum法水流演算就是其中之一，它具有算法簡(jiǎn)單，便于程序化，易于穩(wěn)定，適宜大尺度等優(yōu)點(diǎn)2，進(jìn)而得到了很多學(xué)者的廣泛使用，并對(duì)其理論基礎(chǔ)3-6和參數(shù)估計(jì)方法7-8等問(wèn)題做了大量的研究，但是目前對(duì)特征河長(zhǎng)、擴(kuò)散波動(dòng)力方程、muskingum法三者聯(lián)系方面的研究較少，因此，開展這方面的基礎(chǔ)研究有助于加深了解muskingum法水流演算的機(jī)理,提高河道水流演算的精度。鑒于此，本文在繼承前人研究成果的基礎(chǔ)上，根據(jù)水力學(xué)和水文學(xué)原理，借

8、助特征河長(zhǎng)的概念，以擴(kuò)散波動(dòng)力方程為基礎(chǔ)，找到了特征河長(zhǎng)、擴(kuò)散波動(dòng)力方程和muskingum槽蓄方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，拓展了特征河長(zhǎng)和x的意義，提出了確定特征河長(zhǎng)的繪圖法，得到了計(jì)算x的3種公式及相關(guān)結(jié)論，并用相關(guān)數(shù)據(jù)加以驗(yàn)證，結(jié)果表明，由理論推導(dǎo)出的結(jié)論與計(jì)算數(shù)據(jù)一致，可見本文的推導(dǎo)是正確的。1特征河長(zhǎng)概念的外延擴(kuò)散波動(dòng)力方程可表示為4：（1）式中：為穩(wěn)定流流量；x為河段長(zhǎng)度；為水深；為河底比降；（2）式中：為附加比降；由式（1）和式（2）得：（3）一般地，即，符合二項(xiàng)展開式，對(duì)上式展開得：（4）對(duì)上式取一階近似為：（5）所以附加比降引起的斷面流量改變量：（6）水位變化引起的斷面流量改變量可表

9、示為：（7）對(duì)、取絕對(duì)值，由式（6）（7）得：（8）在特征河長(zhǎng)l內(nèi)有：（9）（10）將式（9）和式（10）代入式（8）得：（11）可見，上式等號(hào)兩邊分子部分的附加比降可消去，剩余的均為流量因素；分母部分為比降因素，所以在特征河長(zhǎng)內(nèi)，當(dāng)時(shí)，有：（12）由式（8）（10）得：（13）對(duì)于任意河段長(zhǎng)l，由式（13）得：（14）當(dāng)時(shí)，由式（13）和式（14）知：（15）其物理意義是，附加比降引起的流量改變量小于水位變化引起的流量改變量。即當(dāng)河段長(zhǎng)l大于特征河長(zhǎng)時(shí)，由式（9）可得，l引起的水位改變量大于,由式（7）可得，引起的流量改變量大于，又因,所以。同理，當(dāng)時(shí)，（16）其物理意義是，附加比降引起的流

10、量改變量大于引起的流量改變量。2繪圖法確定特征河長(zhǎng)根據(jù)和式（12），本文提出了利用autocad繪圖功能確定特征河長(zhǎng)的方法，此方法簡(jiǎn)單、方便，基本不需要數(shù)學(xué)計(jì)算，具體步驟如下：（1）如果上、下斷面的水位、流量資料是數(shù)據(jù)表格形式，則將流量數(shù)據(jù)輸入到excel的a列，將水位數(shù)據(jù)輸入到b列，在c1單元格中輸入“a1&”,”&b1”，即把a(bǔ)1和b1中的數(shù)據(jù)組成了一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，選定c1單元格當(dāng)其右下角有“”時(shí)，拖動(dòng)鼠標(biāo)直到與最后的水位、流量數(shù)據(jù)平齊，這樣單獨(dú)的水位、流量數(shù)據(jù)在就在c列中形成了一組坐標(biāo)點(diǎn)；如果上、下斷面的水位、流量資料是經(jīng)驗(yàn)公式格式，則根據(jù)計(jì)算需要選定相同間隔的一系列流量值，

11、將其輸入到excel的a列中，在b列中編寫該經(jīng)驗(yàn)公式得到對(duì)應(yīng)的水位數(shù)據(jù)，如前所述，將水位、流量數(shù)據(jù)在c列中轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)點(diǎn)。（2）利用autocad中的“spline”繪圖功能繪制曲線，此曲線為三次樣條曲線，其優(yōu)點(diǎn)9為：在加密時(shí)，它和它的導(dǎo)數(shù)能在整個(gè)插值區(qū)間上充分靠近被插函數(shù)，能夠保證計(jì)算精度和曲線的光滑性10。其繪圖方法為：從excel的c列中復(fù)制所有的坐標(biāo)點(diǎn)。在autocad的命令行中輸入 “spline” 命令后回車，將鼠標(biāo)定位在命令提示“指定第一個(gè)點(diǎn)或 對(duì)象(o):”的后面，然后按ctrl+v，即將復(fù)制的坐標(biāo)點(diǎn)輸入到autocad的命令行中，再按回車，然后選擇擬合殘差為零，即在命令行中輸入

12、“f”，回車后在命令行中再輸入“0”，然后回車，即得到水位流量的三次樣條曲線。給繪制出的曲線添加x軸和y軸，x軸的起點(diǎn)必須從零開始。（3）自計(jì)算流量處作x軸的垂線，與水位流量曲線交于一點(diǎn)，自此點(diǎn)分別作y軸的垂線和水位流量曲線的切線，分別與y軸交于上下兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離為，相應(yīng)的 ；自y軸上較大的點(diǎn)做邊坡系數(shù)為的斜線，自較小的點(diǎn)作水平線，兩條直線的交點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離即為該流量對(duì)應(yīng)的特征河長(zhǎng)的長(zhǎng)度（見式（12）。其中在繪制水位流量曲線的切線時(shí)，由于此曲線是樣條曲線，同autocad中的其它弧線不同，所以本文采用先將該樣條曲線偏移，得到一條與其形狀相同的曲線，然后連接兩曲線的端點(diǎn)得到一條線段，自原樣

13、條曲線端點(diǎn)做該線段的垂線，此垂線即為端點(diǎn)處樣條曲線的切線（見圖1）；繪制其它流量處的切線，要先將樣條曲線在該點(diǎn)處打斷形成一個(gè)端點(diǎn)，然后再按照上述方法確定其切線。本文選取文獻(xiàn)3,11中的水位和流量數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)際操作，以永定河雁翅三家店上游斷面的數(shù)據(jù)為例，在繪制過(guò)程中，選取103 m3/s為流量單位，使水位、流量的數(shù)值變化在用一個(gè)數(shù)量級(jí)上，以得到比例協(xié)調(diào)的樣條曲線；在繪制的斜線時(shí)將斜率擴(kuò)大103倍（即103），得到的單位為1m：1km的比例，即特征河長(zhǎng)的長(zhǎng)度單位為km，通過(guò)上述比例轉(zhuǎn)換可得到坡度和長(zhǎng)度協(xié)調(diào)的圖形（見圖1）。圖1繪圖法確定特征河長(zhǎng)示意圖fig1 determine the charac

14、teristic river length by the method of drawing根據(jù)上下斷面的水位流量數(shù)據(jù)，用繪圖法可得到某流量下對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征河長(zhǎng)值，取平均后作為此流量下的特征河長(zhǎng)大小，并與文獻(xiàn)3,11中的計(jì)算結(jié)果比較，結(jié)果見表1。表1特征河長(zhǎng)計(jì)算表從表（1）可知，相對(duì)誤差的最大值出現(xiàn)在沅陵王家河河段的最小流量點(diǎn)，其值為17.5%；相對(duì)誤差的最小值出現(xiàn)在雁翅-三家店河段的最大流量點(diǎn)，其值為0；除相對(duì)誤差最大值外，其它各點(diǎn)的相對(duì)誤差都在10%以內(nèi)。此外，繪圖法操作簡(jiǎn)單，直觀，適應(yīng)性強(qiáng)，人為干擾少，計(jì)算少，需時(shí)少，至于出現(xiàn)最大相對(duì)誤差的原因分析如下：選取的資料較少，根據(jù)樣條函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)

15、，我們可以用增加計(jì)算點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法提高樣條曲線的擬合程度，以精確地確定水位流量曲線的斜率，提高計(jì)算精度。流量最小點(diǎn)是水位流量曲線的端點(diǎn)，其趨勢(shì)由較大的水位流量坐標(biāo)點(diǎn)確定，而無(wú)法反應(yīng)較小坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)其變化趨勢(shì)的影響，所以在計(jì)算某點(diǎn)的特征河長(zhǎng)時(shí)，至少要選取一個(gè)比其小的坐標(biāo)點(diǎn)，以更好的確定水位流量曲線的切線方向；如：雁翅-三家店河段流量3×103m3/s和7×103m3/s得到的取平均后的相對(duì)誤差就較小，其值僅為6.37%。3對(duì)的推導(dǎo)穩(wěn)定流水深流量關(guān)系可表示為：（17）式中，、分別為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)；其它符號(hào)的意義同前。根據(jù)文獻(xiàn)4，將式（17）代入式（1），求得并對(duì)其進(jìn)行二項(xiàng)展開得：（18）對(duì)

16、上式取一階近似得：（19）河段長(zhǎng)l的槽蓄量w可表示為：（20）式中，為河段的平均河寬； 為河段平均流量；為河段內(nèi)的平均水深；其它符號(hào)的意義同前。由水力學(xué)和水文學(xué)知識(shí)可得：,，將其代入式（20）得：（21）式中，i、o分別為河段l的上、下斷面流量，其它符號(hào)意義同前。取，并將代入上式得（22）muskingum法槽蓄方程為：（23）式中，為蓄量常數(shù)；為流量比重因素。比較式（22）和式（23）得：（24）（25）對(duì)于同一個(gè)過(guò)水?dāng)嗝娴牧髁窟^(guò)程有：（26）由式（17）可知，當(dāng)時(shí)，即水深流量關(guān)系呈線性關(guān)系，在河段槽蓄量的計(jì)算中又假設(shè)了水深沿程呈線性關(guān)系，由上述兩種線性假設(shè)可知，平均流量等于中斷面的穩(wěn)定流流

17、量，即：（27）式中，、分別為河段上下斷面的水深；其它符號(hào)的意義同前。將式（26）、式（27）代入式（25）得：（28）將式（14）代入式（28）得：（29）由式（13）和式（28）可得：（30）式中，符號(hào)的意義同前。對(duì)上述推導(dǎo)過(guò)程分析，可以得到如下認(rèn)識(shí)：首先，在對(duì)x推導(dǎo)過(guò)程中，以擴(kuò)散波動(dòng)力方程為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)穩(wěn)定流水位流量關(guān)系和水深沿程線性變化的假設(shè)，建立了河段槽蓄量計(jì)算公式（式（20），通過(guò)理論推導(dǎo)得到了與muskingum法槽蓄方程相同的形式，由于水深是由擴(kuò)散波動(dòng)力方程取一階近似得到的(式（19）)，因此muskingum法槽蓄方程實(shí)際上是擴(kuò)散波動(dòng)力方程的一階近似；也可從特征河長(zhǎng)角度加以證

18、明:式（29）中的是由擴(kuò)散波動(dòng)力方程經(jīng)過(guò)二項(xiàng)式展開取一階近似得到的(式（5）)，將式（29）回代到muskingum法槽蓄方程，也可以說(shuō)明muskingum法槽蓄方程是擴(kuò)散波動(dòng)力方程的一階近似，而且是在線性假設(shè)條件下擴(kuò)散波動(dòng)力方程的一種簡(jiǎn)化形式，這就找到了muskingum法水流演算與擴(kuò)散波動(dòng)力方程的關(guān)系，以及muskingum法水流演算具有良好計(jì)算精度和普適性的理論基礎(chǔ)。其次，muskingum法槽蓄方程首先是作為經(jīng)驗(yàn)公式被提出的5，它之所以能夠被實(shí)踐證明是正確的，一個(gè)重要的原因是比重系數(shù)的成功引入，其引入的過(guò)程雖然帶有很大的偶然性，但是的無(wú)量綱性是客觀存在的，即推導(dǎo)得出的式（29），對(duì)此式

19、進(jìn)行量綱分析，可以很容易得到為無(wú)量綱數(shù)，如果不是無(wú)量綱數(shù)，就會(huì)使式（23）中和的含義更加模糊，就很難表示上、下斷面流量對(duì)河段槽蓄量的影響，因此，具有無(wú)量綱性是其能被成功引入到muskingum法槽蓄方程的立足點(diǎn)，另外，式（29）也是特征河長(zhǎng)、muskingum法槽蓄方程和擴(kuò)散波動(dòng)力方程三者聯(lián)系的紐帶。最后，根據(jù)特征河長(zhǎng)概念在任意河長(zhǎng)l上的外延，可以很簡(jiǎn)單地計(jì)算x的變化范圍以及代表的含義。當(dāng)時(shí)，將式（13）代入式（28）得，表示附加比降引起的流量改變量與水位變化引起的流量改變量相等；當(dāng)時(shí)，將式（15）代入式（26）得，表示附加比降引起的流量改變量小于水位變化引起的流量改變量，說(shuō)明水位變化對(duì)流量的

20、影響較大，由此可以推斷河道斷面應(yīng)為寬淺型，反映在河道斷面水位流量曲線上，說(shuō)明其斜率較小，式（17）的導(dǎo)數(shù)較大，即較大且（因?yàn)槭剑?7）的導(dǎo)數(shù)應(yīng)是水位的增函數(shù)）；當(dāng)時(shí)，將式（16）代入式（28）得，表示附加比降引起的流量改變量大于水位變化引起的流量改變量，說(shuō)明水位變化對(duì)流量改變量的影響較小，由此推斷河道斷面應(yīng)為窄深或狹小的“v”型斷面，如長(zhǎng)江萬(wàn)縣到宜昌段，3，反映了河道斷面水位流量曲線的斜率較大，式（17）的導(dǎo)數(shù)較小，即較小且；此外，由于式（11）等號(hào)兩邊的附加比降可削去，因此等號(hào)左邊附加比降引起的流量改變量的值是確定的，當(dāng)計(jì)算河長(zhǎng)一定時(shí)，則附加比降引起的流量改變量?jī)H取決于水位流量曲線的斜率（見

21、式（14），由此可知，附加比降對(duì)流量的影響可用水位流量關(guān)系來(lái)表示，恰恰是一個(gè)包含水位流量關(guān)系的參數(shù)（見式（28），所以x能夠反映附加比降對(duì)流量的作用，由此可見，特征河長(zhǎng)、x和擴(kuò)散波動(dòng)力方程中的附加比降項(xiàng)皆能表示附加比降對(duì)流量的影響，這就是特征河長(zhǎng)、mmuskingum法槽蓄方程與擴(kuò)散波動(dòng)力方程三者間的交叉點(diǎn)和本質(zhì)聯(lián)系。4x計(jì)算公式的不同形式4.1基于式（17）的x計(jì)算公式由式（26）和式（28），x的計(jì)算公式為：（31）當(dāng)水深流量關(guān)系符合式（17）時(shí)，則上式可寫為：（32）由上式可知，隨河底比降的增大而增大，隨穩(wěn)定流流量的增大而減小；由于，所以x隨水深的增大而增大。從上式看，x也應(yīng)隨計(jì)算河段長(zhǎng)

22、度l的增大而增大，但從表2的第和列可以看出，x與l并沒有明顯規(guī)律，現(xiàn)對(duì)式（32）做進(jìn)一步推導(dǎo)：河底比降可表示為：（33）式中，為上斷面河底高程；為下斷面河底高程；其它符號(hào)意義同前。將上式代入式（32）得：（34）由上式可知，x與計(jì)算河段長(zhǎng)度l無(wú)關(guān)，而隨上、下斷面高程差的增大而增大，見表2第列；表2是以x值從大到小對(duì)河流進(jìn)行排序得到的。從表中可以看出，x值與河段長(zhǎng)度l之間并沒有明顯的規(guī)律，與式（34）中得到的x與l無(wú)關(guān)的結(jié)論相同；由于河段比降，水位流量關(guān)系等其它水力因素的影響，表2中x值與河流上、下斷面高程差之間的規(guī)律不完全明顯，因此，按照x值的范圍將全部河流分為四組，即：0.50.4，0.40

23、.3，0.30.1和0.10，然后對(duì)每組河流上下斷面的高程差求平均值，其值分別為：75.35m，28.68m，12.78m和5.80m，由此可以看出，x值隨著河流上下斷面高程差的減小而減小，與式（34）得到的結(jié)論相符（需要解釋的是：0.10組中錢塘江的河底比降與其它兩條河流的相近，可消除河底比降對(duì)x值的影響，且與伊洛河都有支流匯入的影響，所以，盡管錢塘江的x值較大但仍將其放入0.10組，這種處理能盡量保證該組河流水利特征的一致性，從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，這種處理也是合理的）。表2 中國(guó)部分河流的muskingum法參數(shù)x及河段基本特征3,44.2基于寬淺矩形河槽的x計(jì)算公式式（34）中雖然沒有包括河底

24、比降，但是不能排除河底比降對(duì)x的影響，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)系數(shù)和都受到過(guò)水?dāng)嗝嫣幒拥妆冉档挠绊?，因此?duì)x的計(jì)算公式再做進(jìn)一步的探討。對(duì)于寬淺矩形河槽穩(wěn)定流流量符合下式：（35）式中，為糙率，其它符號(hào)意義同前。將式（33）和式（35）代入式（31）得：（36）由上式可知，寬淺矩形河槽的x隨河道糙率的增大而減小，隨河底比降的增大而增大；由表2第列可知，河底比降與x值之間的規(guī)律性較好，與上式的結(jié)論相符?；诳臻g步長(zhǎng)的x計(jì)算公式在洪水波流量演算時(shí)，需將連續(xù)性方程和動(dòng)力方程化為差分方程來(lái)求解，在河長(zhǎng)l內(nèi)確定空間步長(zhǎng)后，需要計(jì)算的x值，當(dāng)，由式（32）可得：（37）由上式和式（33）可知， 不能如式（32）中一樣被削去，所以x值隨著空間步長(zhǎng)的增大而增大。5結(jié)論從特征河長(zhǎng)的概念入手，分析了附加比降和水位變化對(duì)流量的影響，并將特征河長(zhǎng)的概念外延到任意河長(zhǎng)l（式（15）和式（16）；以擴(kuò)散波動(dòng)力方程為基礎(chǔ)，通過(guò)建立河段槽蓄方程，證明了muskingum法槽蓄方程是擴(kuò)散波動(dòng)力方程的一階近似，由式（29）證明了x的無(wú)量綱性是muskingum法槽蓄方程成立的根本立足點(diǎn)；揭示了特征河長(zhǎng)的概念與x值的關(guān)系（式（28）（30），確定了x的變化范圍，分析了不同x值對(duì)應(yīng)的河道的斷面特點(diǎn)和水位