1、10化解抽象函數快捷有效的幾個途徑1設f(x)為偶函數，對于任意的x>0，都有f(2x)2f(2x)，已知f(1)4，那么f(3)_.答案8解析f(x)為偶函數，f(1)f(1)4，f(3)f(3)，當x1時，f(21)(2)·f(21)，f(3)(2)×48，f(3)8.2對于函數yf(x)，xR，“y|f(x)|的圖象關于y軸對稱”是“yf(x)是奇函數”的_條件答案必要不充分解析若函數yf(x)是奇函數，則f(x)f(x)此時|f(x)|f(x)|f(x)|，因此y|f(x)|是偶函數，其圖象關于y軸對稱，但當y|f(x)|的圖象關于y軸對稱時，未必能推出yf(

2、x)為奇函數，故“y|f(x)|的圖象關于y軸對稱”是“yf(x)是奇函數”的必要不充分條件3若f(x)為奇函數，且在(，0)內是增函數，又f(2)0，則xf(x)<0的解集為_答案(2,0)(0,2)解析因為f(x)為奇函數，且f(2)0，所以f(2)0.作出f(x)大致圖象，如圖所示，由圖象可知：當2<x<0時，f(x)>0，所以xf(x)<0；當0<x<2時，f(x)<0，所以xf(x)<0.- 1 - / 6故不等式xf(x)<0的解集為(2,0)(0,2)4已知函數f(x)滿足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy

3、)(x，yR)，則f(2 014)_.答案解析令x1，y0，由已知得f(0)，令xy1，則f(2)4f2(1)f(0)4×()2.取xn，y1，有f(n)f(n1)f(n1)，同理f(n1)f(n2)f(n)，聯立，得f(n2)f(n1)，所以f(n3)f(n)，f(n6)f(n3)f(n)，所以函數f(x)的周期為6，f(2 014)f(335×64)f(4)4f2(2)f(0).故填.5已知函數yf(x)和yg(x)的定義域及值域均為a，a(常數a>0)，其圖象如圖所示，則方程f(g(x)0根的個數為_答案6解析由f(x)的圖象可知方程f(x)0有三個根，分別設為

4、x1，x2，x3，因為f(g(x)0，所以g(x)x1，g(x)x2或g(x)x3，因為a<x1<a，g(x)a，a，所以由g(x)的圖象可知yx1與yg(x)的圖象有兩個交點，即方程g(x)x1有兩個根，同理g(x)x2，g(x)x3各有兩個根，所以方程f(g(x)0有6個根6如圖，偶函數f(x)的圖象如字母M，奇函數g(x)的圖象如字母N，若方程f(f(x)0，f(g(x)0的實根個數分別為m，n，則mn_.答案12解析由圖象可知偶函數f(x)的1個零點是0，另外2個零點分別在區間(2，1)與(1,2)中，值域是1,1；奇函數g(x)的1個零點是0，另外2個零點分別在區間(1,

5、0)與(0,1)中，值域是2,2只有當f(x)0時，f(f(x)0，故實根個數m3.存在3個實數x，使g(x)0，f(g(x)0；存在3個實數x，使g(x)(2，1)，f(g(x)0；存在3個實數x，使g(x)(1,2)，f(g(x)0，故實根個數n9.從而mn12.7若對于定義在R上的函數f(x)，存在常數t(tR)，使得f(xt)tf(x)0對任意實數x均成立，則稱f(x)是t階回旋函數，則下列命題正確的是_(填序號)f(x)2x是階回旋函數；f(x)sin(x)是1階回旋函數；f(x)x2是1階回旋函數；f(x)logax是0階回旋函數答案解析對于函數f(x)sin x，由誘導公式可知當

6、t1時滿足f(x1)f(x)sin (x1)sin x0，故f(x)sin x是1階回旋函數，正確8設yf(x)是定義在R上的偶函數，滿足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函數，給出下列關于函數yf(x)的判斷：yf(x)是周期函數；yf(x)的圖象關于直線x1對稱；yf(x)在0,1上是增函數；f()0.其中正確判斷的序號是_答案解析由f(x1)f(x)可得f(x2)f(x)，正確；因為yf(x)是定義在R上的偶函數，可知yf(x)的圖象關于直線x1對稱，正確；顯然錯誤；由f(1)f()f()f()得f()0，正確9函數f(x)的定義域為A，若x1，x2A且f(x1)f(x2)時總有x1x

7、2，則稱f(x)為單函數例如，函數f(x)2x1(xR)是單函數下列命題：函數f(x)x2(xR)是單函數；若f(x)為單函數，x1，x2A且x1x2，則f(x1)f(x2)；若f：AB為單函數，則對于任意bB，它至多有一個原象；函數f(x)在某區間上具有單調性，則f(x)一定是單函數其中的真命題是_(寫出所有真命題的序號)答案解析當f(x)x2時，不妨設f(x1)f(x2)4，有x12，x22，此時x1x2，故不正確；由f(x1)f(x2)時總有x1x2可知，當x1x2時，f(x1)f(x2)，故正確；若bB，b有兩個原象時，不妨設為a1，a2，可知a1a2，但f(a1)f(a2)，與題中條

8、件矛盾，故正確；函數f(x)在某區間上具有單調性時整個定義域上不一定單調，因而f(x)不一定是單函數，故不正確故答案為.10(2013·湖南)設函數f(x)axbxcx，其中c>a>0，c>b>0.(1)記集合M(a，b，c)|a，b，c不能構成一個三角形的三條邊長，且ab，則(a，b，c)M所對應的f(x)的零點的取值集合為_(2)若a，b，c是ABC的三條邊長，則下列結論正確的是_(寫出所有正確結論的序號)x(，1)，f(x)>0；xR，使ax，bx，cx不能構成一個三角形的三條邊長；若ABC為鈍角三角形，則x(1,2)，使f(x)0.答案(1)x|

9、0<x1(2)解析(1)c>a>0，c>b>0，ab且a，b，c不能構成三角形的三邊，0<2ac，2.令f(x)0得2axcx，即x2.xlog2.log21.0<x1.(2)a，b，c是三角形的三條邊長，ab>c.c>a>0，c>b>0，0<<1,0<<1.當x(，1)時，f(x)axbxcxcx>cxcx·>0.x(，1)，f(x)>0.故正確令a2，b3，c4，則a，b，c可以構成三角形但a24，b29，c216卻不能構成三角形，故正確c>a，c>b，且

10、ABC為鈍角三角形，a2b2c2<0，又f(1)abc>0，f(2)a2b2c2<0，函數f(x)在(1,2)上存在零點，故正確11已知定義在區間(0，)上的函數f(x)滿足f()f(x1)f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)<2.解(1)令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x2)0，故f(1)0.(2)任取x1、x2(0，)，且x1>x2，則>1.當x>1時，f(x)<0.f()<0，即f(x1)f(x2)<0，有

11、f(x1)<f(x2)，函數f(x)在區間(0，)上單調遞減 (3)由f()f(x1)f(x2)，得f()f(9)f(3)而f(3)1，f(9)2.函數f(x)在區間(0，)上單調遞減，原不等式為f(|x|)<f(9)|x|>9，x<9或x>9，不等式的解集為x|x<9或x>912設集合Pn1,2，n，nN*，記f(n)為同時滿足下列條件的集合A的個數：APn；若xA，則2xA；若xPnA，則2xPnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)解(1)當n4時，符合條件的集合A為：2，1,4，2,3，1,3,4，故f(4)4.(2)任取偶數xPn，將x除以2，若商仍為