1、第六節一、一、 曲線的漸近線曲線的漸近線二、二、 函數圖形的描函數圖形的描繪繪函數圖形的描繪函數圖形的描繪 第三三章 三、三、 小結小結函數圖形的描繪綜合運用函數性態的研究函數圖形的描繪綜合運用函數性態的研究,是導是導數應用的綜合考察數應用的綜合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值極大值極大值極小值極小值拐點拐點凹的凹的凸的凸的單增單增單減單減)(xfy .)(,)(一條漸近線一條漸近線的的就稱為曲線就稱為曲線那么直線那么直線趨向于零趨向于零的距離的距離到某定直線到某定直線如果點如果點移向無窮點時移向無窮點時沿著曲線沿著曲線上的一動點上的一動點當曲線當曲線xfyLLPPxfy 一、漸近線定

2、義定義: :例如例如,)3)(2(1 xxy有鉛直漸近線兩條有鉛直漸近線兩條: :. 3, 2 xx1. 1. 鉛直漸近線鉛直漸近線)(軸軸的的漸漸近近線線垂垂直直于于 x.)()(lim)(lim000的一條鉛直漸近線的一條鉛直漸近線就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 2. 2. 水平漸近線水平漸近線)(軸軸的的漸漸近近線線平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的一條水平漸近線的一條水平漸近線就是就是那么那么為常數為常數或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條: :.2,2 yy3. 3. 斜漸近線斜

3、漸近線lim ( )()0( ,)( ).xf xaxba byaxbyf x或或為為常常數數那那么么就就是是的的一一條條斜斜漸漸近近線線斜漸近線求法斜漸近線求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的的一一條條斜斜漸漸近近線線就就是是曲曲線線那那么么xfybaxy y=ax+by=f(x)lim ( )()0 xf xaxb如如果果 )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲線的鉛直漸近線是曲線的鉛直漸近線 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx

4、, 4 .42是是曲曲線線的的一一條條斜斜漸漸近近線線 xy例例1.1)3)(2(2)(的漸近線的漸近線求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(: D的兩條漸近線如圖的兩條漸近線如圖1)3)(2(2)( xxxxf注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜漸漸近近線線可可以以斷斷定定xfy 二、函數圖形的描繪步驟步驟 :1. 確定函數確定函數)(xfy 的的定義域定義域 ,期性期性 ;2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判別列表判別增

5、減增減及及凹凸區間凹凸區間 , 求出求出極值極值和和拐點拐點 ;4. 求求漸近線漸近線 ;5. 確定某些確定某些特殊點特殊點 , 描繪函數描繪函數圖形圖形 .為為 0 和和不存在不存在的點的點 ;并考察其并考察其對稱性對稱性及及周周例2. 描繪22331xxy的圖形.解解: 1) 定義域為, ),(無對稱性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(極大)(拐點）32(極小)4)xy1332201231例3. 描繪方程044)3(2yxyx的圖形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定

6、義域為), 1 ( , ) 1 ,(2) 求關鍵點)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy) 1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判別曲線形態00( (極大極大) )( (極小極小) )4) 求漸近線,lim1yx為鉛直漸近線無定義無定義1x又因xyxlim,4141k即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495limxxx45)

7、1(4)3(2xxy5) 求特殊點xy049241為斜漸近線4541xy2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy6）繪圖( (極大極大) )( (極小極小) )斜漸近線1x鉛直漸近線4541xy特殊點11302) 1( 4) 3(2xxy2無定義無定義xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(0 xy049241 思考思考 兩坐標軸兩坐標軸0 x，0 y是否都是是否都是函數函數xxxfsin)( 的漸近線？的漸近線？解答解答0sinlim xxx0 y是是其其圖圖象象的的漸漸近近線線.0 x不不是是其其圖圖象象的的漸漸近近線線. 1sinlim0 xxxxxysin 作業: P169:4 練習練習.21)(22的圖形的圖形作函數作函數xex 解解),(:D偶函數偶函數, 圖形關于圖形關于y軸對稱軸對稱.,2)(22xexx , 0)( x令令, 0 x得駐點得駐點, 0)( x令令. 1, 1 xx得得特特殊殊點點. 4 . 021)(0: xW.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex , 0 . 0 y得水平漸近線得水平漸近線x)1,( ), 1( )