1、11）從坐標原點出發，經過n個垂直平分面（線）方能到達的區域，為第（n+1）布里淵區。2）布里淵區的序號越大，分離的區域數目就越多。3）不論分離的區域數目是多少，各布里淵區的面積都相等。4）高序號的各區域可通過平移適當倒格矢而移入第一布里淵區。復習：復習：布里淵區的特點布里淵區的特點（以二維方格子為例）（以二維方格子為例）a2a2a2a2213正方形正方形正格子正格子簡約布里簡約布里淵區形狀淵區形狀面心立方面心立方正方形正方形十四面體十四面體(截角八面體截角八面體)體心立方體心立方十二面體十二面體簡約布里淵簡約布里淵區體積區體積(面積面積)*1SS *V 1*V 1布里淵區的形狀由晶體結構的布

2、拉菲晶格決定；布里淵區的形狀由晶體結構的布拉菲晶格決定；布里淵區的體積布里淵區的體積( (或面積或面積) )等于倒格原胞的體積等于倒格原胞的體積( (或面積或面積) )。235.6 緊束縛方法緊束縛方法原子結合成晶體時，電子的狀態發生了根本性變化，電子從孤立原子的束縛態變為晶體中的公有化狀態。電子狀態變化大小取決于電子在某原子附近受該原子勢場的作用與其它諸原子勢場作用的相對大小。若電子所處原子勢場的作用比其它原子勢場的作用大得多（原子內層電子，晶體中原子間距較大），近自由電子近似就不適用。電子公有化運動狀態與原子束縛態之間有直接聯系。一、引言一、引言4緊束縛方法出發點：緊束縛方法出發點：（1）

3、電子在一個原子附近時，將主要受到該原子場的作用，把其它原子場的作用看成是微擾作微擾作用用。（2）由此得到原子中電子能級與晶體中能帶的相互聯系。5二、原子軌道的線性組合（二、原子軌道的線性組合（LCMO）當晶體中原子間距較大時，電子被束縛在原子附近的幾率比遠離原子的幾率大得多，電子在某格點（設為簡單晶格）附近的行為同孤立原子中電子的行為相似：（1）r偏離Rn較大時，波函數(k, r-Rn)是小量。此時原子波函數at(k, r-Rn)也是小量（2）rRn時，波函數(k, r-Rn)與孤立原子波函數at(k, r-Rn)相近用孤立原子波函數at(k, r-Rn) 來描述波函數(k, r-Rn)能概括

4、緊束縛條件下波函數的上述兩大特點。6設晶體中第n個原子的位矢為332211nnnnaaaR若將該原子看作一個孤立原子，則在其附近運動的電子將處于原子某束縛態 at(r-Rn) 。)(E)()(Vm2natatnatnat22RrRrRr第n個原子的原子勢場束縛態對應能量晶體為N個相同原子構成的布喇菲格子，將有N個相同能量Eat 和at，是個N重簡并系統。7取上述N個簡并態的線性組合nnatn)(aRr作為晶體中電子公有化狀態的波函數。nlnat)(V)(V)(VRrRrr把原子間的相互影響當作周期勢場的微擾項，晶體勢場V(r)由原子勢場構成)(E)(Vm222kr晶體中電子薛定諤方程波函數波函

5、數8三、微擾計算三、微擾計算在緊束縛近似下（原子間距較at軌道大得多），不同原子的重疊很少：mnnatmatdrRrRr)()(*以at*(r-Rm)左乘并對整個晶體積分0d)()(V)(V)(*aEEanatnatnmatnatm rRrRrrRr電子薛定諤方程化為0)()(V)(V)EE(annatnatatnRrRrrnnatn)(aRr)(E)(Vm222kr)(E)()(Vm2natatnatnat22RrRrRr9積分項rRrRrrRrd)()(V)(V)(*natnatmat)(Jd)()(V)(V)(*nmatatnmatRRRRnRrV(r r)-Vat(r r)是負值，J(

6、Rm-Rn)0V(x)-Vat(x)xV(r)-Vat(r)的示意圖V(r r)是周期函數100d)()(V)(V)(*aEEanatnatnmatnatm rRrRrrRrnnnmatm0a)(JEEaRRN個以an為未知數的齊次線性方程方程組中系數只由(Rm-Rn)決定，方程有下列簡單形式解nineN1aRk11nnatineN)(1),(RrrkRk證明：nineN1aRk),() )(1)(1),()(rkR(RrRRrRrklnlRknR-RkRklRklinlatiinnatieeeNeNln12ninmiatnmeJeEERkRkRR)(sisatninmatsnmeJEeJEE

7、RkR-RkRRR)()()(Rs=Rn-RmnnatineN)(1),(RrrkRk布洛赫函數nnatn)(aRrnineN1aRknnnmatm0a)(JEEaRR13四、簡約波矢四、簡約波矢22iiiNlNi=1,2,3331221111bbbkNlNlNl22iiibkb簡約波矢設晶體由N=N1N2N3個原子組成，利用周期性邊界條件3 ,2 , 1i)N,(),(iiarkrk )(1)(1),()(nnatiinnatinneeNeNRrRrrkR-rkrkRk14五、非簡并五、非簡并s態電子的能帶態電子的能帶sisatse )(JEERkRRRd)()(V)(V)(*)(Jatat

8、sats*( Rs)和 ( )為相距Rs兩原子的s波函數Rs=0，波函數重疊最大，將積分記為CsNatsatatssdVVCrrrrr)()()()(*積分值為負值15Rs0，相鄰兩格點上的孤立電子波函數交疊很少，只計及相鄰格點的交疊積分。s態為球對稱，最近鄰的分布總是對稱的，V(r)-Vat(r-Rn)也是對稱的。Rn為最近鄰格點時NnatsnatatssdVVJrR-rR-rrr)()()()(*值都是相同的。負號保證Js為正值R Rn n為最近鄰格矢綜合Rs0和Rs0，第二部分簡化為nissneJCRksisatse )(JEERkR16由第一、二部分得到s態緊束縛電子能帶為nissat

9、ssneJCE)(ERkkRn為最近鄰格矢簡單立方晶體，最近鄰有6個原子), 0 , 0(),0 , 0(),0 , 0 ,(aaanissatssneJCE)(ERkk)akcosakcosak(cosJ2CE)(Ezyxssatssk17能量極大值為ssatssJCEE6max對應第一布里淵區的8個角頂aaa,極小值在kx=ky=kz=0處（）。能量最小值為ssatssJCEE6min)coscos(cos2)(akakakJCEEzyxssatsskkzkxkyXRMssatssJ2CE)X(EX點XMkssatsJ6CEssatsJ2CE18能帶寬度E=12Js。決定能帶寬度： Js的

10、大小，取決于交疊積分 Js前的數字，取決于最近鄰格點的數目，即晶體的配位數。波函數交疊程度大，配位數高，能帶越寬；反之，能帶越窄。晶體中電子的能帶與孤立原子中電子的能級關系CsEsat晶體中電子的能帶孤立原子中電子的能級12Js19六、簡立方晶格六、簡立方晶格p態電子的能帶態電子的能帶原子p態是三重簡并的，三個p原子軌道)(rxfxpyzxyz)(rzfzpxyz)(ryfyp20根據簡立方晶格的對稱性，三個p軌道各自形成一個能帶，其波函數為各自原子波函數的布洛赫和nnpipxnxeN)(1),(RrrkRknnpipynyeN)(1),(RrrkRknnpipznzeN)(1),(RrrkR

11、kxyxypx軌道py軌道21xy電子云主要集中在x方向，六個近鄰重疊積分：沿x軸(a, 0, 0)和(-a, 0, 0)重疊積分大，用J1表示（0）p態緊束縛電子能帶sispatppsiieJCEERkRk)()(RRdVVJatpatsatpsii)()()()(*)(（1）px帶)cos(cos2cos2)(21akakJakJCEEzyxpatppxkppppCCCCzyxizyx,J1J222（2）Py和Pz帶)cos(cos2cos2)(21akakJakJCEEzxypatppyk)cos(cos2cos2)(21akakJakJCEEyxzpatppzkkzkxkyXRM: (

12、0, 0, 0)；: (/2a, 0, 0)；X: (/a, 0, 0)cos(cos2cos2)(21akakJakJCEEzyxpatppxkXkx6atsssECJssatsJ2CE2142JJCEpatp2142JJCEpatp2142JJCEpatpS帶px帶py，pz帶能帶與原子能級能帶與原子能級1、原來孤立原子的每個、原來孤立原子的每個能級能級，當原子相互接近組成晶，當原子相互接近組成晶體，由于原子間相互作用，就分裂成一個體，由于原子間相互作用，就分裂成一個能帶能帶。2、原子間距、原子間距越小越小，原子波函數間交疊，原子波函數間交疊越多越多，相互作用，相互作用積分值積分值 Js

13、越大。越大。3、能帶寬度正比于相互作用積分值、能帶寬度正比于相互作用積分值 Js，相互作用越大，相互作用越大，Js 越大，能帶寬度就越大。越大，能帶寬度就越大。4、一個原子能級、一個原子能級 i 形成晶體的一個能帶，原子的形成晶體的一個能帶，原子的不同不同能級能級，在晶體中形成一系列，在晶體中形成一系列能帶能帶，如：，如：s 帶，帶，p 帶，帶，d 帶。帶。緊束縛近似模型能帶產生的解釋：緊束縛近似模型能帶產生的解釋：七、孤立原子能級與晶體能帶的對應七、孤立原子能級與晶體能帶的對應23a、孤立原子勢場中電子的能級。、孤立原子勢場中電子的能級。b、N 個原子無相互作用時，個原子無相互作用時，N 度

14、簡并度簡并。N 個原子形成晶體相個原子形成晶體相互作用時，每個互作用時，每個 N 度簡并能級過渡為度簡并能級過渡為 N 個準連續的能帶。個準連續的能帶。能帶交疊能帶交疊 圖示緊束縛近似模型能帶產生過程圖示緊束縛近似模型能帶產生過程能帶與原子能級能帶與原子能級七、孤立原子能級與晶體能帶的對應七、孤立原子能級與晶體能帶的對應2425七、孤立原子能級與晶體能帶的對應七、孤立原子能級與晶體能帶的對應E123原子晶體能帶的寬窄與軌道重疊及配位數有關26八、萬尼爾（八、萬尼爾（Wannier）函數）函數nnati)(eN1),(nRrrkRk緊束縛近似中，能帶中電子波函數為原子波函數的布洛赫和nnatn)

15、(aRrnni),(WeN1),(nrRrkRk對于任何能帶布洛赫函數都可以寫成類似的形式萬尼爾函數萬尼爾函數kin),(eN1),(WnrkrRRk能帶萬尼爾數由其布洛赫函數定義定義定義研究電子空間局域性的工具27性質性質（1）萬尼爾數之間是完全正交的）萬尼爾數之間是完全正交的nnnnd )(W)(*Wrr ,Rr ,R布洛赫函數的集合和萬尼爾數的集合是兩組完備的正交函數集，它們之間由幺正矩陣相聯系。kinneNW),(1),(rkrRRk),(),(),(1),(),(),(),(1),(22211121rkrkrkrRrRrRrkrRN21RkRkRkRkRkRkRkRkRkRkN21N

16、21N21NnNnNnnnnnnnNniiiiiiiiinnnkineeeeeeeeeNWWWeNW28mnnatmatdrRrRr)()(*（2）緊束縛近似下萬尼爾數就是各格點上孤立原）緊束縛近似下萬尼爾數就是各格點上孤立原子波函數子波函數（3）能帶偏離緊束縛近似模型很遠時，萬尼爾數）能帶偏離緊束縛近似模型很遠時，萬尼爾數很少保留孤立原子波函數的信息很少保留孤立原子波函數的信息295.7 正交化平面波正交化平面波 贗勢贗勢一、引言一、引言在近自由電子近似中，假定周期勢場起伏很小， 可將其展成傅立葉級數lille )(V)(VrKKr意味著系數V(Kl)很小V(Kl)是聯系k態和k+Kl態之間

17、的矩陣元V(Kl)很小指下述不等式能夠經常被滿足)()()(00llVEEKKkkkimkmeaNrKkKr)()(1)(從而使計算大為簡化2)()(222kmVammmKkKK30實際材料中，周期勢場起伏并不很小，在原子核附近，庫侖吸引作用使V(r)偏離平均值很遠因此)()()(00llVEEKKkk并不是經常能滿足使得k態的微擾計算需包含很多k+Kl態平面波的疊加，增加了計算的困難，甚至不可能完成31另一方面，在固體中，人們關心的是價電子，在原子結合成固體的過程中，價電子的狀態發生了很大變化，而內層電子的變化較小。價電子波函數與平面波的顯著區別： 在原子實附近電子波函數急速振蕩平面波波函數

18、價電子波函數32rR(r)O1srR(r)O2srR(r)O3s氫原子1s, 2s, 3s態的徑向函數內層電子的波函數在原子實附近也是含有多次振蕩。價電子與內層電子屬于不同的能態，即對應不同的本征值，它們的波函數正交。33為什么近自由電子近似的計算結果對于實際能帶是適合的？贗勢可以說明上述問題。利用正交化平面波可以證明：與內層電子波函數正交的要求，起著一種排斥勢能的作用，它在很大程度上抵消了在離子實內部V(r)的吸引作用。34價電子波函數與平面波的顯著區別：在原子實附近電子波函數急速振蕩。內層電子的波函數在原子實附近也含有多次振蕩。為了克服平面波描述布洛赫波收斂慢的缺點，赫令（1940）提出了

19、正交化平面波正交化平面波方法。一、正交化平面波一、正交化平面波35內層電子波函數用緊束縛模型來描述nnatjijk)(eN1nRrRk遠離格點價電子波函數近似平面波，在原子實附近多次振蕩為反映這個特點，構造一個正正交化平面波：平面波和內層電子波函數的線性組合。倒格矢由正交條件求出Nijk0d ),(*rrkij正交化平面波正交化平面波l1jjkij)( iiieN1),(rKkrk正正交化平面波 rrrKkdeiiatjij*136價電子波函數由正交化平面波構造：piiik1),()(rkr變分參量p的個數根據具體情況確定如何求價電子能量的期待值？價電子波函數價電子波函數37piiik1),(

20、)(rkr0)()EH(krijjijiijkNkEJHdEHI,*)()( )(*rrrNijjiNijjidH*Hd*Jrr由I對j*的變分I/j*=0pjEJHpijijii, 2 , 1, 01由i系數行列式為零的條件，求出E的最小值即為價電子能量的期待值。用變分法求價電子能量的期待值用變分法求價電子能量的期待值38二、贗勢二、贗勢價電子波函數在原子實附近起伏劇烈，有多次振蕩，這與近自由電子平滑的零級波函數有顯著區別。采用近自由電子模型的原因在于該模型簡單明了，能解釋許多金屬晶體的實驗結果。贗勢理論可解釋這一矛盾。39內層電子的能量piljjkjijiEEEVm11220)()()(2

21、rrjkjjkEVm)(222rkk22E)(Vm2rpiljjkijik11)()(rrp1i)( ii)(eNirrKkpiiik1),()(rkr rrrKkde*1iiatjijl1jjkij)( iiieN1),(rKkrkNijk0d ),(*rrk價電子波動方程價電子波動方程40贗勢贗波函數由有限的平面波構成，必定是光滑的，光滑的波函數對應一個起伏很小的勢場。贗勢一定是一個較小的量。)()(222rrEVmp1i)( iip1il1jjkjijiieN)EE()(VVrKkrpiljjkjijiEEEVm11220)()()(2rr贗勢方程贗波函數p1i)( iiieN)(rKk

22、r贗勢方程贗勢方程41贗勢 贗波函數p1i)( iip1il1jjkjijiieN)EE()(VVrKkr)(V rpiljjkijik11)()(rrp1i)( iiieN)(rKkr42贗勢方程與實際方程的比較贗勢方程與實際方程的比較p1i)( iip1il1jjkjijiieN)EE()(VVrKkr)(V rp1i)( iiieN)(rKkrpiljjkijik11)()(rr)()(222rrEVm)(E)(Vm2kk22rr求價電子能量E43V(r)是一負值，是吸引勢。價電子能量大于內層電子能量，E-Ej總是正值，相當于排斥勢；贗勢的第二項抵消部分吸引勢，使得有效勢即贗勢成為一個較

23、小的量。這就是金屬中的價電子可作為近自由電子看待的理由。為什么贗勢一定是個較小的量？為什么贗勢一定是個較小的量？p1i)( iip1il1jjkjijiieN)EE()(VVrKkr445.8 電子的平均速度電子的平均速度平均加速度和有效質量平均加速度和有效質量一、晶體中電子的平均速度一、晶體中電子的平均速度電子不能同時具有確定的位置和速度，但其平均位置和平均速度是確定的。電子的平均速度HHi1dtdrrr rrrrrrrdHH*HHkNk表達式表達式45)(ueH)(Hi)(H)(Hkkikkkkkrrrrrrk)(ue )(E)(Hi)()(E)()(Ekkikkkkkrkrrrkrkrk

24、)()()(rkrkkEHkjizyxkkkkkjizyxkkkk)(ue)(kikrrrk)(ue)(i)(kkikkkrrrrrkHH iEkrr)(ue )EH()(HiHiEkkikkrrrrrk46乘以k*(r)并對晶體積分NkkikNkkikkkiNkd)(uEe)(*d)(ue*)(Hd)(ueH)(*rrrrrrrrrrkrkrkNkkk0d)(HiHiE)(*rrrrr)(ue )EH()(HiHiEkkikkrrrrrkNkkkd)(HiHi)(*ErrrrrHHi1dtdrrr)(1kEk平均速度平均速度47二、電子的平均加速度和有效質量二、電子的平均加速度和有效質量dt

25、是一個很小時間間隔，遠小于電子平均自由時間，則在dt時間內外力F作的功使電子能量增加dtdEF 電子的準動量dE又可表示為kkddEdEk)(E1kk0dt)(dk-FFk )(dtd該式對所有波矢狀態成立平均加速度平均加速度48電子的平均加速度dt)(dE1dtdE1dtdE1Edtd1dtdkk2kkkkkka21kkEaFFk )(dtd49zyx2z2yz2xz2zy22y2xy2zx2yx22x22zyxFFFkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkE1aaa晶體中電子相應質量是個張量，稱有效質量。kkEm22*Fam1有效質量有效質量FaE1kk250簡立方晶體，緊束縛簡立方

26、晶體，緊束縛s態電子的有效質量態電子的有效質量其它交叉項的倒數全為零)coscos(cos2)(akakakJCEEzyxssatssk電子的能量為電子的有效質量分量為122122122)(cos2*)(cos2*)(cos2*akJamakJamakJamzszzysyyxsxxkkEm22*51能帶頂，處)a,a,a(k02*22szzyyxxJammm處，m*xx，m*yy，m*zz都變成)a2,a2,a2(k能帶底，k=(0, 0, 0)處02*22szzyyxxJammmkzkxkyRMXMkssatsJ6CEssatsJ2CE122122122)(cos2*)(cos2*)(cos

27、2*akJamakJamakJamzszzysyyxsxx有效質量與電子狀態有關，可正，可負，有時還為無窮52晶體中電子的有效質量可能成為負值，甚至會變晶體中電子的有效質量可能成為負值，甚至會變為無窮大為無窮大! ？在電子的能帶中，晶格勢場對電子有作用，而我們在考慮有效質量時只考慮外力和加速度的關系。有效質量實際上包含了晶格對電子的貢獻。E241300aa20a2ak12V近自由電子能帶53若電子與晶格的相互作用力為Fl ，牛頓定律記為)FF(m1alF l的具體表達式難以得知，要使上式中不出現F l又要保持式子恒等，上式可改寫為Fma*1電子的有效質量本身包含了晶格的作用F 外力54mdtF

28、mFdtmFdtl*F*m1a),FF(m1al電子給予晶格的外力給予電子的晶格給予電子的外力給予電子的)P()P(m1)P()P(m1*mP用動量的增量代換沖量55討論：討論：1) 當電子從外場中獲得的動量大于電子傳遞給晶格的動量時，有效質量m*0（能帶底）；2) 當電子從外場獲得的動量小于電子傳遞給晶格的動量時，m*0（能帶頂）；3) 當電子從外場獲得的動量全部傳遞給晶格時， m*，電子的平均加速度為零。電子給予晶格的外力給予電子的)P()P(m1*mP565.9 等能面等能面 能態密度能態密度一、等能面一、等能面E123原子晶體在原子中電子本征態形成一系列分裂能級，可以標明各能級的能量，

29、說明它們的分布情況在固體中電子能級異常密集，標明其中每個能級已沒有意義，如何研究？EE+dE多少個能態？能態密度能態密度57等能面等能面：k空間內，電子能量等于定值的曲面。0K時電子將能量區間OEF0 占滿， EF0為費米能。m2kE2F20F能量EF0的等能面稱為費米面費米半徑EF0kF0Km2kE22自由電子的能量為其等能面為一個個同心球面。例：自由電子的等能面例：自由電子的等能面1、 定義定義費米面（等能面）：波矢空間內占有電子與未占有電子區域分界面。58布洛赫電子在布里淵區邊界能帶不連續，出現禁帶。2、問題：布洛赫電子等能面有何特點？、問題：布洛赫電子等能面有何特點？近自由電子能帶E2

30、41300aa20a2ak12V59（1）波矢空間內電子的能量具有周期性）波矢空間內電子的能量具有周期性普遍地，晶體中電子的能量在波矢空間內是倒格矢的周期函數)()(nEEKkk一維晶格近自由電子能帶Ea0ak周期性、反演對稱性周期性、反演對稱性3、電子能帶的基本特點、電子能帶的基本特點60證明：設波矢k和k波函數分別為k(r)和-k(r)。)()(E)(H)(*)(E)(*H)()(E)(Hkkkkkkrkrrkrkkr（2）波矢空間內電子的能量具有反演對稱性）波矢空間內電子的能量具有反演對稱性)(E)(Ekk對第三式兩端左乘k(r)并積分得rrrkrrrdEdHkNkNkk)()()()(

31、)(NkkkNkd)()()(Ed)(*)(*Hrrrkrrr厄密算符0)()()()(NkkdEErrrkk610)()()()(NkkdEErrrkk)(E)(Ed)()(Nkkkkrrr，0時0Nkkd)()(rrr需證明需證明62l lN)( illde)(a)(allrKkKkrKKl)( ilkle )(a)(rKkKkrl)( ilkle )(a)(rKkKkrNkkd)()(rrr（布洛赫波函數為一系列平面波的線性組合）（布洛赫波函數為一系列平面波的線性組合）0Nkkd)()(rrr證明證明平面波分量 的系數r)Kk( ilelllN)(a)(aKkKkmnmn,N)( ide

32、N1KKrKKr=rKkKkr)( illkle )(*a)(*)(*)(llaaKkKkllNkkaNd0)()()(2Kkrrr)()(kk EE634、等能面在布里淵區邊界上的特點、等能面在布里淵區邊界上的特點電子的波矢落在布里淵區邊界上時，波矢滿足的方程為0)2(nnKkK布里淵區邊界A的反演對稱點B的反演對稱點 KnKnABCDOk布里淵區邊界與波矢k k（1）邊界的認識）邊界的認識nABKkk64B點與A點的關系是nABKkkCAkkkDBkk)(E)(E),(E)(EDBCAkkkk)(E)(Ekk（2 2）二維平面內，）二維平面內，兩對稱平行的兩對稱平行的布里淵區邊界最布里淵區

33、邊界最多有四點多有四點( (k = Kn/2時，退化成兩點時，退化成兩點) )與等能線相交。與等能線相交。-KnKnABCDOkA C )(E)(EnKkk)(E)(EBAkk)()()()(DCBAEEEEkkkk65A點能帶的梯度nmkkkkAAAkEkEEk/)(設m和n分別為平行于和垂直于布里淵區邊界的單位矢量， 和 分別為波矢平行于和垂直于邊界的分量，則k/knmkkk/-KnKnABCDOkmn（3）與布里淵區邊界相交處，等能面在垂直于）與布里淵區邊界相交處，等能面在垂直于布里淵區邊界方向上梯度為零。布里淵區邊界方向上梯度為零。66B點能帶的梯度-KnKnABCDOkmnnmKkk

34、kn/nmkkk/AABkkEEEknkkkkknmKkk)()()(/nmkkAAkEkE/由于E(k)是Kn的周期函數，有BAAEEEknkkkkkkKkk)()()(nmkkkkAAAkEkEEk/)(0AkEk67同理可證明0BkEk利用能帶的反演對稱性CAAAEEEEkkkkkk-kkkkkk)()()()(DBBBEEEEkkkkkk-kkkkkk)()()()(可證明0DCkEkEkk68由下式0DCBAkEkEkEkEkkkk（1）與布里淵區邊界相交處，等能面在垂直于布里淵區邊界方向上梯度為零，即與界面垂直相交。（2）費米面是一等能面，在布里淵區邊界上與界面垂直截交。結論：69

35、二維等能曲線5、近自由電子等能面（第一布里淵區）、近自由電子等能面（第一布里淵區）電子的能量與自由電子的能量接近mkE2)(220k可以認為：從原點向外，等能面基本上保持為球面。（1）k的模較小時（能帶底部）70等能面與界面垂直相交，等能面向外界凸出。周期場微擾使能量下降，達到同樣的E需更大的k，或同樣的k，E(k)減小。)(2)(22nVmkEKk（2）等能面與布里淵區邊界相交處）等能面與布里淵區邊界相交處二維等能曲線當E超過邊界A點的能量EA，一直到E接近于頂角C點的能量EC（第一能帶頂）時，等能面不再是完整的閉合面，而成為分割在各頂角附近的曲面。716、緊束縛近似下等能面（第一布里淵區）

36、、緊束縛近似下等能面（第一布里淵區）Es(k)=E02J1(coskxa+coskya+ coskZa)簡立方晶格s帶的能量II. 隨E增大，與近自由電子情況相比，等能面與球面的偏離就更明顯。Es(k)=E02J1(coskxa+coskya+ coskZa)（1）總體特點）總體特點I. k = 0能帶底附近，Es(k)=E06J1+ 3J1a2(kx2+ky2+ kz2) 等能面為球面等能面為球面cosx=1-x2/2!72（2）簡立方晶格的）簡立方晶格的s帶帶kz = 0截面的等能面截面的等能面簡立方晶格的s帶kz = 0截面的等能面-/a/a-/a/aEs(k)=E02J1(coskxa

37、+coskya+1)= E02J1例如：1等能曲線的能量1coskxa+coskya= 002cos2cos2coscosakakakakakakyxyxyxakkakkyxyx,Es(k)=E02J1(coskxa+coskya+1)能量表達式73（3）簡立方晶格）簡立方晶格s帶等能面舉例帶等能面舉例a. E = E02J1等能面b. E = E0等能面Es(k)=E02J1(coskxa+coskya+ coskZa)簡立方晶格s帶的能量74波矢k k落在布里淵區邊界上的電子，其垂直于界面的速度分量必定為零。這是布喇格反射的必然結果。該方向入射波與反射波干涉形成駐波。若電子的速度不為零，則

38、它的速度方向必定與布里淵區界面平行。7、布里淵區邊界電子速度垂直分量為零、布里淵區邊界電子速度垂直分量為零)(1kEk0kE1,kE1/75二、能態密度二、能態密度定義：定義：單位能量間隔兩等能面間所包含的量子態數目。76晶體體積為Vc，波矢空間單位體積內波矢數目為Vc/83；考慮自旋，單位波矢空間量子態數目為Vc/43。1、能態密度的計算公式、能態密度的計算公式波矢空間內兩等能面間體積元dE+dEEdSdk在波矢空間取兩個鄰近等能面。dkEdEkEdSdEdk77能態密度的一般表達式為EdSVdEdZENkc34)(兩等能面間的量子態數目為EdSdE4Vd4VdZk3c3cVc/43EdSd

39、EdkE+dEEdSdkd積分限于一個等能面78等能面是球面，能量梯度的模為mkEk2（1）自由電子的能態密度）自由電子的能態密度EdSVdEdZENkc34)(2/12/32222)(EmVENc2、應用舉例、應用舉例自由電子的能態密度N(E)EO79a. 能帶底附近*222bmkE電子在帶底的有效質量bEEEEb是帶底能量bkkk k kb是帶底的波矢（2）布洛赫電子的能態密度）布洛赫電子的能態密度22)(*2)(bbbmEEkkk能量總可化為kkEm22*22mkkE22)(21)()()(bbbbkbkkEEEEkkkkkk0)(bkE k80與自由電子情況類比可求出：布洛赫電子在能帶

40、底的能態密度2/12/322)(*22)(bbcEEmVEN布洛赫電子在能帶底的能態密度N(E)EOEb81能量總可化為22)(*2kk tttmEE帶頂的能量電子在帶頂的有效質量電子在能帶頂的能態密度為2/12/322)(*22)(EEmVENttc（2）布洛赫電子的能態密度）布洛赫電子的能態密度b. 能帶頂附近布洛赫電子在能帶頂的能態密度N(E)EOEt82（3）近自由電子的能態密度）近自由電子的能態密度1)在原點附近（O B），等能面基本保持為球面，能態密度與自由電子的相近；2)接近布里淵區邊界時（B A），等能面向邊界突出，單位能量間隔的兩等能面波矢空間體積比自由電子情況下大得多，近自

41、由電子的能態密度較大；3)過了A點（A C），等能面不再連續，單位能量間隔的兩等能面間的體積迅速減小，能態密度也迅速減小，到C點為0。自由電子和近自由電子的能態密度曲線OBN(E)近自由電子EOAC2/12/32222)(EmVENc自由電子B835.11 導體導體 半導體和絕緣體半導體和絕緣體固體都包含大量電子，但有的具有很好的電子導電性能，有的則沒有電子導電性。能帶理論發展初期的一個重大成就就是對區分導體、絕緣體和半導體提出理論說明。以能帶理論為基礎，逐步發展了有關導體、絕緣體和半導體的現代理論。()()xxEkEk偶函數偶函數滿帶情況滿帶情況不滿帶情況不滿帶情況無外場時，晶體中電子能量與

42、速度無外場時，晶體中電子能量與速度()1()()xxxxdEkVkdk()1()()xxxxdEkV kd k 奇函數奇函數 無外場時，電子占據某個狀態的無外場時，電子占據某個狀態的幾率只與能量有關，幾率只與能量有關，k和和-k態電子貢獻態電子貢獻的電流正好相互抵消，總電流為零。的電流正好相互抵消，總電流為零。一、滿帶電子不導電一、滿帶電子不導電1、不加電場時，電子在波矢空間內對稱分布，、不加電場時，電子在波矢空間內對稱分布，總的電流始終為零。總的電流始終為零。8485當施加外加電場 時，每個電子都受到一個力 F= e 可見：不論k為何值，其時間變化率都相同，所有電子都以同一個速度在波矢空間內漂移。2、有外場后，由于滿帶的電子仍保持對稱分布，、有外場后，由于滿帶的電子仍保持對稱分布，對導電沒有貢獻。對導電沒有貢獻。Fk )(dtdke1dtd常數86A BBaa0EkA一維能帶