1、專題十四：隱圓動點到定點之定長的軌跡類問題探究專題導例如圖，在矩形ABCD中，已知AB2cm，BC4cm，現有一根長為2cm的木棒EF緊貼著矩形的邊（即兩個端點始終落在矩形的邊上），按逆時針方向滑動一周，則木棒EF的中點P在運動過程中所圍成的圖形的面積為（）A（8）cm2B4cm2C（3+）cm2D8cm2方法剖析在一個平面內，線段 AB 繞它固定的一個端點 A 旋轉一周，另一個端點 B 所形成的圖形叫做圓，如圖所示，從依據此定義，我們來解決一類定點+定長的動態類問題應用幾何性質：三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；兩點間線段最短；連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，

2、垂線段最短；定圓中的所有弦中，直徑最長方法：見動點遇定點知定長轉到圓定圓心現“圓”形導例解析：連接BP，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BPEF，然后判斷出點P在運動過程中所圍成的圖形的面積為長方形的面積減去四個扇形的面積，列式計算即可得解導例答案解：如圖，P是EF的中點，BPEF×21（cm），AB2，點P在運動過程中所圍成的圖形的面積為長方形的面積減去四個扇形的面積，：又四個扇形的面積正好等于一個相同半徑的圓的面積，4×2128（cm2）故選：A典例剖析類型一：隱圓之動點定長最短距離問題例1如圖，在RtABC中，C=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2

3、，點E為邊BC上的動點，將CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是 分析：CEF沿直線EF翻折時，點F為定點，CF=PF，PF為定線，即動點P到定點F的距離始終不變，即點P在以F為圓心，PF長為半徑的圓上運動如此一來本題就轉化為圓上一點到直線的最短距離問題。類型二：隱圓之動點定長路徑軌跡問題例2如圖，O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點P是O上任意一點（P與A，B，C，D不重合），過點P作PMAB于點M，PNCD于點N，點Q是MN的中點，當點P沿著圓周轉過45°時，點Q走過的路徑長為 【分析】根據OP的長度不變，始終等于半徑，則根據矩形的性質可得

4、OQ1，再由走過的角度代入弧長公式即可專題突破1如圖，邊長為的正方形ABCD的頂點A、B在一個半徑為的圓上，頂點C、D在圓內，將正方形ABCD沿圓的內壁逆時針方向作無滑動的滾動當點C第一次落在圓上時，點C運動的路徑長為 2如圖，已知C的半徑為2，圓外一點O滿足OC3.5，點P為C上一動點，經過點O的直線l上有兩點A、B，且OAOB，APB90°，l不經過點C，則AB的最小值為（）A2B2.5C3D3.53如圖，矩形ABCD中，AB4，AD6，點E在邊AD上，且AE：ED1：2動點P 從點A 出發，沿AB 運動到點B 停止過點E作EFPE交射線BC于點F設點M是線段EF的中點，則在點P

5、運動的整個過程中，點M的運動路徑長為 4如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，A60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將AMN沿MN所在直線翻折得到AMN，連接AC，則AC長度的最小值是 5. （2019年十堰市）如圖，正方形ABCD和RtAEF，AB5，AEAF4，連接BF，DE若AEF繞點A旋轉，當ABF最大時，SADE6如圖，在矩形ABCD中，AB6，AD3，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將AMN沿MN所在直線翻折得到A'MN，連接A'C在MN上存在一動點P連接A'P、CP，則A'PC周長的最小值是 7如圖，是一塊含30°

6、;（即CAB30°）角的三角板和一個量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN恰好重合，其量角器最外緣的讀數是從N點開始（即N點的讀數為O），現有射線CP繞點C從CA的位置開始按順時針方向以每秒2度的速度旋轉到CB位置，在旋轉過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E（1）當旋轉7.5秒時，連接BE，試說明：BECE；（2）填空：當射線CP經過ABC的外心時，點E處的讀數是當射線CP經過ABC的內心時，點E處的讀數是；設旋轉x秒后，E點出的讀數為y度，則y與x的函數式是y8.如圖，等邊ABC中，AB6，點D在BC上，BD4，點E從點C出發，以每秒1個單位長度的速度沿CA方向向

7、點A運動，CDE關于DE的軸對稱圖形為FDE（1）當t為何值時，點F在線段AC上（2）當0t4時，求AEF與BDF的數量關系；（3）當點B、E、F三點共線時，求證：點F為線段BE的中點9.問題情境：如圖1，P是O外的一點，直線PO分別交O于點A、B，則PA是點P到O上的點的最短距離（1）探究：如圖2，在O上任取一點C（不為點A、B重合），連接PC、OC試證明：PAPC（2）直接運用：如圖3，在RtABC中，ACB90°，ACBC2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是 （3）構造運用：如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，A60°，M是A

8、D邊的中點，N是AB邊上一動點，將AMN沿MN所在的直線翻折得到AMN，連接AC，請求出AB長度的最小值解：由折疊知AMAM，又M是AD的中點，可得MAMAMD，故點A在以AD為直徑的圓上（請繼續完成解題過程）（4）綜合應用：（下面兩小題請選擇其中一道完成）如圖5，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AEDF連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 如圖6，平面直角坐標系中，分別以點A（2，3），B（3，4）為圓心，以1、2為半徑作A、B，M、N分別是A、B上的動點，P為x軸上的動點，則PM+PN的最小值等于 專題十四：隱圓動點到定點之定

9、長的軌跡類問題探究例1 如圖，延長FP交AB于M，當FPAB時，點P到AB的距離最小A=A,AMF=C=90°，AFMABC，AFAB=FMBCCF=2，AC=6，BC=8，AF=4，AB=10410=FM8FM=3.2PF=CF=2，PM=1.2點P到邊AB距離的最小值是1.2.例2解：PMAB于點M，PNCD于點N，四邊形ONPM是矩形，又點Q為MN的中點，點Q為OP的中點，又OP2，則OQ1，點Q走過的路徑長故答案為：專題突破1.解：如圖所示：設圓心為O，連接AO，BO，AC，AE，AB，AOBO，ABAOBO，AOB是等邊三角形，AOBOAB60°同理：FAO是等邊

10、三角形，FAB2OAB120°，EAC120°90°30，GFEFAD120°90°30°，ADAB，AC2，當點C第一次落在圓上時，點C運動的路徑長為+；故答案為：2解：連接OP，PC，OC，OPOCPC3.521.5，當點O，P，C三點共線時，OP最小，最小值為1.5，OAOB，APB90°，AB2OP，當O，P，C三點共線時，AB有最小值為2OP3，故選：C3解：如圖，當P與A重合時，點F與K重合，此時點M在H處，當點P與B重合時，點F與G重合，點M在N處，點M的運動軌跡是線段HN在RtAEB中，AE2，AB4，BE2

11、，AEBEBG，BG10，BKAE2，KGBGBK8，HNKG4，點M的運動路徑的長為 4故答案為 44解：如圖所示：MA是定值，AC長度取最小值時，即A在MC上時，過點M作MFDC于點F，在邊長為2的菱形ABCD中，A60°，M為AD中點，2MDADCD2，FDM60°，FMD30°，FDMD，FMDM×cos30°，MC，ACMCMA1故答案為：15作DHAE于H，如圖AF4，當AEF繞點A旋轉時，點F在以A為圓心，4為半徑的圓上，當BF為此圓的切線時，ABF最大，即BFAF，在RtABF中，BF52-423，EAF90°，BAF

12、+BAH90°，DAH+BAH90°，DAHBAF，在ADH和ABF中，AHD=AFB，DAH=BAF，AD=AB，ADHABF（AAS），DHBF3，SADE12AEDH12×3×46故答案為66解：分兩步：連接AP，則APAP，A'PC周長AP+PC+ACAP+PC+AC，AP+PCAC，當A、P、C三點共線時，AP+PC有最小值，是AC的長，所以AC與MN的交點就是點P，由勾股定理得：AC3，連接CM，ACCMAM，當M、A、C三點共線時，AC有最小值，此時，M是AD的中點，AMDM1.5，MC，由折疊得：AMAM1.5，ACMCAM1.5

13、，A'PC周長的最小值是：+3，故答案為：+37、（1）證明：連接BE，如圖所示：射線CP繞點C從CA的位置開始按順時針方向以每秒2度的速度旋轉當旋轉7.5秒時，ACE7.5×2°ABE15°又CAB30°，CBA60°，ACB90°CBE75°，BCE90°15°75°，即：CBEBCE75°BECE（2）解：當射線CP經過ABC的外心時，CP經過AB的中心且此時有：COAO；OCACAB30°，AOE60°點E處的讀數是120°當射線CP經過A

14、BC的內心時，即CP為ACB的角平分線，圓周角BCE°45°，圓心角為90°，點E處的讀數是90°設旋轉x秒后，E點出的度數為y°，由題意得：y與x的函數式是：y1804x（0x90）8. 解：（1）ABC是等邊三角形ABC60°CDE關于DE的軸對稱圖形為FDE，DFDC，EFEC，且點F在AC上，C60°，DCF是等邊三角形，CDCFABBD2，CE1，t1s；（2）如圖1，當0t1時，CDE關于DE的軸對稱圖形為FDE，FC60°，FDECDE，CEDFED，C+CDE+CED180°，C+F+CD

15、E+EDF+CED+FED360°，CDF+180°+AEF360°120°180°BDF+180°+AEF240°，BDFAEF120°；如圖2，當1t4時，CDE關于DE的軸對稱圖形為FDE，FC60°，FDECDE，CEDFED，FDC+C+F+CEF360°，180°BDF+120°+180°AEF360°，BDF+AEF120°；（3）如圖3，過點D作DGEF于點G，過點E作EHCD于點H，CDE關于DE的軸對稱圖形為FDEDFDC2，

16、EFDC60°，EFEC，GDEF，EFD60°FG1，DGFG，BD2BG2+DG2，163+（BF+1）2，BF1BG，EHBC，C60°CH，EHHCEC，GBDEBH，BGDBHE90°BGDBHE，EC1，ECEFBF1，點F是線段BE的中點9.（1）證明：如圖2，在O上任取一點C（不為點A、B），連接PC、OCPOPC+OC，POPA+OA，OAOC，PAPC，PA是點P到O上的點的最短距離；（2）解：連接AO與O相交于點P，如圖3，由已知定理可知，此時AP最短，ACB90°，ACBC2，BC為直徑，POCO1，AO，AP1，故答案為：1；（3）解：如圖4，由折疊知AMAM，又M是AD的中點，可得MAMAMD，故點A在以AD為直徑的圓上，由模型可知，當點A在BM上時，AB長度取得最小值，邊長為2的菱形ABCD中，A60°，M是AD邊的中點，BM，故AB的最小值為：1；（4）解：如圖5：在正方形ABCD中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），12，在ADG和CDG中，ADGCDG（SAS），23