1、第一章集合與函數概念一、集合有關概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個特性：1) 元素的確定性如：世界上最高的山2) 元素的互異性如：由 HAPPY 的字母組成的集合 H,A,P,Y3) 元素的無序性 : 如： a,b,c 和 a,c,b 是表示同一個集合3.集合的表示： 如： 我校的籃球隊員 ， 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合： A= 我校的籃球隊員 ,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集）記作： N正整數集N* 或 N+整數集 Z有理數集Q實數集R1 ） 列舉法： a,b,c 2

2、 ） 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。xR| x-3>2 ,x| x-3>23） 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn 圖:4、集合的分類：(1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例： x|x 2 = 5 二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集注意：AB 有兩種可能（1 ） A是B 的一部分，；（2 ） A與B是同一集合。反之 :集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A, 記作AB 或BA2 “相等”關系：實例：設A=x|xA=B 2 -1=0(5 5 ，且B=-1,

3、155 ，則 5=5)“元素相同則兩集合相等”即：任何一個集合是它本身的子集。AA真子集:如果 AB,且AB 那就說集合A 是集合B 的真子集，記作A B(或B A)如果AB,BC,那么AC如果AB同時BA那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 個元素的集合，含有 2 n 個子集， 2n-1 個真子集三、集合的運算運算交集并集補集類型定由所有屬于 A 且屬由所有屬于集合 A 或設 S 是一個集合， A 是義于 B 的元素所組成屬于集合 B 的元素所S 的一個子集，由 S 中的集合 ,叫做 A,B 的組成的集合，叫做 A

4、,B所有不屬于 A 的元素交集 記作 AB的并集 記作： A B組成的集合， 叫做 S 中（讀作A 交 B）， （讀作 A 并 B），子集 A 的補集（或余即 AB= x|xA，即AB =x|x A ，集）且 xB或 xB)記作 CS A，即CSA= x | x S, 且x A韋恩ABAB圖 1圖 2SA圖示性A A=AAA=A(C uA)(CuB)A =A =A= C u (A B)A B=BAAB=BA(C uA)(CuB)A B AA B = C u (A B)質A BBABBA(Cu A)=UA(Cu A)= 例題：1.下列四組對象，能構成集合的是（）A 某班所有高個子的學生B 著名的

5、藝術家C 一切很大的書D 倒數等于它自身的實數2.集合 a ， b ， c 的真子集共有個3.若集合 M=y|y=x2 -2x+1,xR,N=x|x0 ，則 M 與 N 的關系是.4.設集合 A= x 1 x2 ，B=x xa ，若 AB，則 a 的取值范圍是5.50 名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40 人，化學實驗做得正確得有31 人，兩種實驗都做錯得有4 人，則這兩種實驗都做對的有人。6. 用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=.7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m 2-19=0,

6、若 BC，A C= ，求 m 的值(1) 已知 A= x -3<x<5 ,B= x x<a ,若滿足 A B,則實數 a 的取值范圍是;(2) 已知集合 = xx2+x-6=0,集合 = y ay+1=0 ,若滿足 BA, 則實數 a 所能取的一切值為.（3 ）已知集合 A x | a x5 ，B x | x 2 ，且滿足 AB ，求實數 a 的取值范圍。二、函數的有關概念1 函數的概念： 設 A 、B 是非空的數集， 如果按照某個確定的對應關系 f，使對于集合 A 中的任意一個數 x，在集合 B 中都有唯一確定的數 f(x) 和它對應， 那么就稱 f ：A B 為從集合 A

7、 到集合 B 的一個函數記作：y=f(x) ，x A 其中， x 叫做自變量， x 的取值范圍 A 叫做函數的定義域； 與 x 的值相對應的 y 值叫做函數值， 函數值的集合 f(x)| x A 叫做函數的值域注意：1 定義域：能使函數式有意義的實數x 的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數不小于零；(3) 對數式的真數必須大于零；(4) 指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5) 如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x 的值組成的集合.(6) 指數為零底不可以等于

8、零，(7) 實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.相同函數的判斷方法：表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本 21 頁相關例2)2 值域: 先考慮其定義域(1) 觀察法(2) 配方法(3) 代換法3. 函數圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x) , (x A) 中的 x 為橫坐標，函數值 y 為縱坐標的點 P(x，y)的集合 C，叫做函數 y=f(x),(x A) 的圖象 C 上每一點的坐標 (x，y) 均滿足函數關系 y=f(x) ，反過來，以滿足 y=f(x) 的每一組有序實數對 x、y 為坐標的點 (x，y

9、) ，均在 C上.(2) 畫法A 、描點法：B、 圖象變換法常用變換方法有三種1) 平移變換2) 伸縮變換3) 對稱變換4 區間的概念（ 1 ）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間（ 2 ）無窮區間（ 3 ）區間的數軸表示5 映射一般地，設A、 B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A 中的任意一個元素x，在集合B 中都有唯一確定的元素y 與之對應，那么就稱對應f ： AB 為從集合A 到集合B 的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”對于映射f：A B 來說，則應滿足：(1) 集合A中的每一個元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合A中

10、不同的元素，在集合B 中對應的象可以是同一個；(3) 不要求集合 B 中的每一個元素在集合 A 中都有原象。6.分段函數(1) 在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。(2) 各部分的自變量的取值情況(3) 分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集補充：復合函數如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(xA), 則 y=fg(x)=F(x)(xA)稱為f 、 g 的復合函數。二函數的性質1.函數的單調性 (局部性質 )（1 ）增函數設函數 y=f(x) 的定義域為I，如果對于定義域內的任意兩個自變量x1， x2，當 x1 <x 2 時，都有I 內的某個區間Df(x

11、 1 )<f(x 2 )，那么就說 f(x) 在區間 D 上是增函數 .區間 D 稱為 y=f(x) 的單調增區間.如果對于區間D 上的任意兩個自變量的值x1 ， x2 ，當x 1<x 2時，都有f(x 1 )f(x 2)，那么就說f(x) 在這個區間上是減函數.區間D 稱為y=f(x) 的單調減區間 .注意：函數的單調性是函數的局部性質；（ 2 ） 圖象的特點如果函數 y=f(x) 在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x) 在這一區間上具有(嚴格的 )單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3). 函數單調區間與單調性的判定方法

12、(A) 定義法：1 任取 x ，x D ，且 x <x ；12122 作差 f(x 1 )f(x 2)；3 變形（通常是因式分解和配方）；4 定號（即判斷差f(x 1 ) f(x 2)的正負）；5 下結論（指出函數f(x) 在給定的區間D 上的單調性）(B) 圖象法 ( 從圖象上看升降 )(C) 復合函數的單調性復合函數 f g(x) 的單調性與構成它的函數 u=g(x) ， y=f(u) 的單調性密切相關，其規律：“同增異減”注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集 .8 函數的奇偶性（整體性質）（1）偶函數一般地，對于函數 f(x) 的定義

13、域內的任意一個x，都有 f( x)=f(x) ，那么 f(x) 就叫做偶函數（2）奇函數一般地，對于函數 f(x) 的定義域內的任意一個x，都有 f( x)= f(x) ，那么 f(x) 就叫做奇函數（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y 軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱利用定義判斷函數奇偶性的步驟：1 首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；2 確定 f( x)與 f(x) 的關系；3 作出相應結論：若f( x) =f(x)或 f( x) f(x)= 0 ，則 f(x)是偶函數； 若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0 ，則 f(x) 是奇函數注意

14、：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數 .若對稱， (1) 再根據定義判定; (2) 由 f(-x) ±f(x)= 0 或 f(x)f(-x)= ±1 來判定 ; (3) 利用定理，或借助函數的圖象判定.9 、函數的解析表達式（ 1 ） .函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域 .（ 2 ）求函數的解析式的主要方法有：1) 湊配法2) 待定系數法3) 換元法4) 消參法10 函數最大（小）值（定義見課本p36 頁）1 利用

15、二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值2 利用圖象求函數的最大（小）值3 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數y=f(x) 在區間 a ，b 上單調遞增，在區間b ， c 上單調遞減則函數 y=f(x) 在 x=b處有最大值f(b) ；如果函數y=f(x) 在區間 a ，b 上單調遞減，在區間b ， c 上單調遞增則函數 y=f(x) 在 x=b處有最小值f(b) ；例題：1.求下列函數的定義域： yx 22 x 15 y1x12x 33()x12.設函數 f (x) 的定義域為 0，1 ，則函數 f ( x 2 ) 的定義域為 _ _3.若函數 f (x1) 的定義域為 2

16、， 3，則函數 f (2 x1) 的定義域是4.函數x2( x1)，若 f (x)3 ，則 x =f ( x)x2( 1x2)2x( x2)5.求下列函數的值域： yx22 x3(xR) yx22x3x 1,2(3)yx12x(4)yx24x56.已知函數 f (x1)x24x ，求函數 f (x)， f (2x1)的解析式7.已知函數 f(x)滿足 2f (x) f ( x)3x4，則 f ( x) =。8.設 f (x)是 R 上的奇函數，且當x0,) 時, f (x)x(1 3 x) ,則當 x (,0) 時 f (x)=f (x)在 R 上的解析式為9.求下列函數的單調區間：yx22x

17、3 yx22x3yx26 x110.判斷函數 yx31 的單調性并證明你的結論11.設函數 f ( x)1x2判斷它的奇偶性并且求證：21xf ( 1 )f ( x) x（數學 1 必修）第一章（上）集合基礎訓練A 組 一、選擇題1下列各項中，不可以組成集合的是（）A 所有的正數B等于 2 的數C接近于0 的數D 不等于 0的偶數2下列四個集合中，是空集的是（）A x | x 3 3B( ,) |y2x2 ,x,x yy RC x | x 20D x | x 2x 1 0, x R3下列表示圖形中的陰影部分的是（）ABA (AC )( BC )B (AB)( AC )C(AB)( BC )CD

18、(AB)C4下面有四個命題：（ 1）集合 N 中最小的數是 1；（ 2）若 a 不屬于 N ，則 a 屬于 N ；（ 3）若 aN ,b N , 則 a b 的最小值為2 ；（ 4） x 212x 的解可表示為 1,1 ；其中正確命題的個數為（）A0個B 1個C2個D3個5若集合 Ma,b,c中的元素是 ABC 的三邊長，則ABC 一定不是（）A 銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D 等腰三角形6若全集 U0,1,2,3且CUA 2，則集合 A 的真子集共有（）A 3個B 5個C 7個D 8個二、填空題1用符號“”或“”填空（ 1 ） 0 _N ,5 _N ,16 _N1_ Q, e _ CR

19、Q （ e是個無理數）（ 2）_ Q,2（ 3 ）2323 _ x | xa6b, aQ,bQ2. 若集合 Ax | x6, xN ， B x | x是非質數 ， CAB ，則 C 的非空子集的個數為。3若集合4設集合Ax |3x7 ， Bx | 2x10 ，則 ABA x3x2 , B x 2k1x2k1 ,且 AB ，則實數 k 的取值范圍是。5已知 Ay yx22x1 , By y2x 1，則 AB_。三、解答題1已知集合 AxN |8N ，試用列舉法表示集合A 。6x2已知 A x 2x5， B x m1x2m1， BA ,求 m的取值范圍。3已知集合 Aa2 , a1,3 , Ba3

20、,2a1,a21，若AB3 ，求實數 a 的值。4設全集UR，Mm |方程 mx2x10有實數根，Nn |方程 x2xn0有實數根,求 CUMN .（數學 1必修）第一章（上）集合 綜合訓練B 組一、選擇題1下列命題正確的有（）（ 1）很小的實數可以構成集合；（ 2）集合y | yx 21 與集合 x, y | yx 21 是同一個集合；（3） 1, 3, 6 ,1,0.5 這些數組成的集合有5個元素；242（ 4）集合 x, y | xy0, x, y R 是指第二和第四象限內的點集。A0個B 1個C2個D3個2若集合 A 1,1 ，B x | mx1，且 ABA ，則 m 的值為（）A1

21、B 1C1或 1D1或 1或 03若集合 M( x, y) xy 0 , N( x, y) x2y20, x R, y R，則有（）AMNMBMNNCMNMDMNxy 14方程組y 2的解集是（）x29A 5,4B5,4C5,4D5,4 。5下列式子中，正確的是（）A RRB Zx | x0, xZC空集是任何集合的真子集D 6下列表述中錯誤的是（）A若 AB,則ABAB若 ABB，則 ABC (AB)A( AB)DCUABCUACUB二、填空題1用適當的符號填空（ 1）3 _x | x2 , 1,2 _x, y| y x 1（ 2）25 _ x | x 23，（ 3）x |1x, xR_x

22、| x3x0x2設 UR, Ax | axb ,CU Ax | x4或x3則 a _, b _ 。3某班有學生55 人，其中體育愛好者43 人，音樂愛好者34 人，還有 4 人既不愛好體育也不愛好音樂，則該班既愛好體育又愛好音樂的人數為人。4若 A1,4, x , B1, x2且ABB ，則 x。5已知集合 A x | ax23x20 至多有一個元素，則a 的取值范圍；若至少有一個元素，則a 的取值范圍。三、解答題1設 yx2axb, Ax | yxa, Ma,b, 求M2設 A x x24x0, B x x 22(a1)xa 2 10 ,其中 xR ,如果 ABB ，求實數 a的取值范圍。3

23、集合 Ax | x2axa2190，Bx | x25x60，Cx | x22x 8 0滿足 AB, ， AC, 求實數 a 的值。4設 UR，集合 Ax | x23x20 ， Bx | x2(m1)xm 0；若 (CU A)B，求 m的值。（數學 1必修）第一章（上）集合 提高訓練 C 組一、選擇題1 若集合 X x | x1 ，下列關系式中成立的為（）A 0XB 0XCXD 0X2 50 名同學參加跳遠和鉛球測驗，跳遠和鉛球測驗成績分別為及格40 人和31 人，2 項測驗成績均不及格的有4 人， 2 項測驗成績都及格的人數是（）A 35B 25C 28D153已知集合Ax | x2mx 1

24、0 , 若 A R則實數m的取值范圍是（），A m4B m4C 0m4D 0m 44下列說法中，正確的是（）A 任何一個集合必有兩個子集；B 若 AB,則 A,B 中至少有一個為C 任何集合必有一個真子集；D 若 S 為全集，且 AB S,則A BS,5若 U 為全集，下面三個命題中真命題的個數是（）（1）若 AB ,則CUA CUB U（2）若 AB U,則CUA CUB（3）若 AB，則A BA0個B 1個C2個D3個6設集合 M x | xk1Z，N x | xk1Z ，則（）2, k4, k42A MNBMNC NMD MN7設集合 A x | x2x0, B x | x2x0 ，則集

25、合 AB（）A 0B0CD 1,0,1二、填空題1已知 My | yx24x3, xR ， Ny | yx 22x8, x R則 MN_ 。2用列舉法表示集合：M| 10Z, mZ =。m1m3若 Ix | x1, x Z ，則 CI N =。4設集合A1,2 ,B1,2,3, C2,3,4則B） C。（ A5設全集 U(x, y) x, yR集合M( x, y)y21， N(x, y) yx 4,x2那么 (CUM ) (CUN) 等于。三、解答題1若 A a, b , Bx | x A , MA ,求CBM.2已知集合 Ax | 2xa , By | y2x 3,xA , Cz| z x2

26、 , xA ,且 CB ,求 a 的取值范圍。3全集 S1,3, x33x22 x ， A1, 2x1 ，如果 CS A0 , 則這樣的實數 x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，請說明理由。4設集合A1,2,3,.,10 , 求集合 A 的所有非空子集元素和的和。（數學 1 必修）第一章（中）函數及其表示基礎訓練A 組一、選擇題1 判斷下列各組中的兩個函數是同一函數的為（） y1( x3)( x 5)x 5x， y2；3 y1x 1 x 1， y2( x 1)( x 1) ； f ( x)x ， g( x)x 2 ； f ( x)3x4x3 ， F (x)x 3 x1 ； f1 ( x)

27、(2x5) 2 ， f2 (x)2x5 。A 、B、CD、2 函數 y f (x) 的圖象與直線x 1 的公共點數目是（）A1B0C0或1D1或 23 已知集合 A1,2,3, k , B4,7, a 4 , a23a，且 a N * , xA, yB使 B 中元素 y 3x1 和 A 中的元素 x 對應，則 a, k 的值分別為（）A 2,3B 3,4C 3,5D2,5x2( x1)4 已知 f (x)x2 (1x 2) ，若 f ( x)3 ，則 x 的值是（）2x( x2)A 1B1或 3C1， 3 或3D 3225 為了得到函數 y f (2x) 的圖象，可以把函數yf (1 2x)

28、的圖象適當平移，這個平移是（）A 沿 x 軸向右平移 1個單位1個單位B沿 x 軸向右平移2C沿 x 軸向左平移1 個單位1個單位D 沿 x軸向左平移26 設 f ( x)x2,( x10)則 f (5) 的值為（）f f ( x 6), ( x10)A 10B 11C 12D13二、填空題1 x1(x0),1設函數 f ( x)2若 f (a)a. 則實數 a 的取值范圍是。1( x0).xx2。2函數 y的定義域x243若二次函數 yax2bx c 的圖象與 x 軸交于 A(2,0), B(4,0) ，且函數的最大值為9，則這個二次函數的表達式是。( x1)0。4函數 y的定義域是xx5函

29、數f (x)x 2x1的最小值是。三、解答題1求函數2求函數f ( x)3 x1 的定義域。x1yx2x 1 的值域。3 x1 , x2 是關于 x 的一元二次方程x22(m1)xm1 0 的兩個實根， 又 yx12x22 ，求 yf (m) 的解析式及此函數的定義域。4已知函數 f (x)ax22ax3b( a 0) 在 1,3 有最大值 5 和最小值2 ，求 a 、b 的值。（數學 1必修）第一章（中）函數及其表示綜合訓練 B 組 一、選擇題1設函數 f ( x)2 x3, g ( x2)f (x) ，則 g (x) 的表達式是（）A 2x1B 2x1C 2x3D 2x72函數 f (x)

30、cx, (x3x, 則常數 c等于（）) 滿足 f f ( x)2x32A 3B3C 3或3D 5或33已知 g (x) 12x, f g( x)1x 20) ，那么1) 等于（）x2(xf (2A 15B 1C3D 304已知函數 yf ( x1) 定義域是 2，3 ，則 yf (2 x1) 的定義域是（）A 0， 5B. 1，42C. 5，5D. 3，75函數 y2x24 x 的值域是（）A 2,2B1,2C 0, 2D 2,26已知 f (1x)21x，則 f( x) 的解析式為（）1x1x2xB2xA x 21x212xD xCx21 x 21二、填空題3x24( x0)1若函數 f

31、( x)( x0)，則 f ( f (0) =0( x0)2若函數 f (2x1)x 22 x，則 f (3) =.3函數 f (x)21的值域是。x22x34已知 f (x)1, x0，則不等式 x ( x2)f (x 2) 5 的解集是。1, x05設函數 yax2a1，當1x1時， y 的值有正有負， 則實數 a 的范圍。三、解答題1設 , 是方程 4x24mxm20,( xR) 的兩實根 ,當 m 為何值時 ,2 2 有最小值 ?求出這個最小值 .2求下列函數的定義域x211x2（ 1） yx83x（ 2） yx11（ 3） y1111xx3求下列函數的值域3x（2 ） y5（ 1） yx2x2（ 3） y1 2x x44x 34作出函數 yx 26 x 7,x3,6 的圖象。函數及其表示 提高訓練C 組 一、選擇題1 若集合 Sy | y3x2, xR， Ty | yx2 1,xR，則S T是()A SB. TC.D. 有限集2已知函數yf ( x) 的圖象關于直線x1對稱，且當 x(0,) 時，有 f ( x)1 , 則當 x(, 2)時， f (x) 的解析式為（）1x111BCDA 2x2