1、人教版高中數學必修精品教學資料核心必知1預習教材，問題導入根據以下提綱，預習教材p34p45，回答下列問題(1)小學學過的求兩個正整數的最大公約數的方法是什么？提示：先用兩個數公有的質因數連續去除，一直除到所得的商是互質數為止，然后把所有的除數連乘起來(2)輾轉相除法的操作步驟是什么？提示：兩個數中用較大的數除以較小的數，求得商和余數，再用除數除以余數，如此重復，直到所得余數為0，即可求得兩個數的最大公約數(3)更相減損術的操作步驟什么？提示：第一步，任意給定兩個正整數，判定它們是否都是偶數若是，用2約簡；若不是，執行第二步第二步，以較大的數減去較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，并以大數

2、減小數繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數(等數)或這個數與約簡的數的乘積就是所求的最大公約數(4)應用秦九韶算法求多項式的值時應怎樣操作？提示：求多項式的值時，先計算最內層括號內一次多項式的值，即v1anxan1，再由內向外逐層計算一次多項式vk(k2,3,4，n)的值(5)將k進制數轉化為十進制的方法是什么？提示：“除k取余法”2歸納總結，核心必記(1)輾轉相除法與更相減損術輾轉相除法：又叫歐幾里得算法，是一種求兩個正整數的最大公約數的古老而有效的算法更相減損術：我國古代數學專著九章算術中介紹的一種求兩個正整數的最大公約數的算法(2)秦九韶算法求多項式f(x)anxnan1xn1a

3、1xa0的值時，常用秦九韶算法，這種算法的運算次數較少，是多項式求值比較先進的算法，其實質是轉化為求n個一次多項式的值，共進行n次乘法運算和n次加法運算其過程是：改寫多項式為：f(x)anxnan1xn1a1xa0(anxn1an1xn2a1)xa0(anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0.設v1anxan1，v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0.(3)進位制進位制進位制是人們為了計數和運算方便而約定的記數系統，“滿幾進一”就是幾進制，幾進制的基數就是幾其他進位制與十進制間的轉化()其他進位制化成十進制其他進位制的數化成十進制時，表示

4、成不同位上數字與基數的冪的乘積之和的形式()十進制化成k進制的方法“除k取余法”問題思考(1)輾轉相除法與更相減損術有什么聯系？提示：都是求兩個正整數的最大公約數的方法二者的實質都是遞推的過程二者都是用循環結構來實現(2)輾轉相除法與更相減損術有什么區別？提示：輾轉相除法更相減損術區別以除法為主兩個整數差值較大時運算次數較少相除余數為零時得結果以減法為主兩個整數的差值較大時，運算次數較多相減，差與減數相等得結果相減前要做是否都是偶數的判斷(3)當所給的多項式按x的降冪排列“缺項”時，用秦九韶算法改寫多項式時，應注意什么？提示：所缺的項寫成系數為零的形式，即寫成0·xn的形式課前反思通

5、過以上預習，必須掌握的幾個知識點：(1)輾轉相除法是什么？ ；(2)更相減損術是什么？ ；(3)秦九韶算法是什么？ ；(4)進位制及進位制間的互化： .觀察如圖所示的內容：思考1輾轉相除法的算理是什么？ 名師指津：所謂輾轉相除法，就是對于給定的兩個數，用較大的數除以較小的數若余數不為零，則將余數和較小的數構成新的一對數，繼續上面的除法，直到大數被小數除盡，則這時較小的數就是原來兩個數的最大公約數思考2更相減損術的算理是什么？名師指津：所謂更相減損術，就是對于給定的兩個數，用較大的數減去較小的數，然后將差和較小的數構成新的一對數，再用較大的數減去較小的數，反復執行此步驟，直到差數和較小的數相等，

6、此時相等的兩數便為原來兩個數的最大公約數講一講1用輾轉相除法求612與468的最大公約數，并用更相減損術檢驗所得結果嘗試解答用輾轉相除法：612468×1144,468144×336,14436×4，即612和468的最大公約數是36.用更相減損術檢驗：612和468為偶數，兩次用2約簡得153和117,15311736,1173681,813645,45369,36927,27918,1899，所以612和468的最大公約數為9×2×236.求最大公約數的兩種方法步驟(1)利用輾轉相除法求給定的兩個數的最大公約數，即利用帶余除法，用數對中較大

7、的數除以較小的數，若余數不為零，則將余數和較小的數構成新的數對，再利用帶余除法，直到大數被小數除盡，則這時的較小數就是原來兩個數的最大公約數(2)利用更相減損術求兩個正整數的最大公約數的一般步驟是：首先判斷兩個正整數是否都是偶數若是，用2約簡，也可以不除以2，直接求最大公約數，這樣不影響最后結果練一練1用輾轉相除法求840與1 785的最大公約數；解：因為1 785840×2105，840105×8.所以840和1 785的最大公約數是105.觀察如圖所示的內容：思考秦九韶算法的原理是什么？名師指津：秦九韶算法是按從內到外的順序依次計算求值的設f(x)anxnan1xn1a

8、1xa0，將其改寫為f(x)(anxn1an1xn2a1)xa0(anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0令v0an，則有公式其中k1,2，n.這樣我們便可由v0依次求出v1，v2，vn：v1v0xan1，v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0.講一講2利用秦九韶算法求多項式f(x)x65x56x4x23x2當x2時的值為()a320 b160c320 d300嘗試解答將多項式變式為f(x)(x5)x6)x0)x1)x3)x2，v01，v12(5)7，v27×(2)620，v320×(2)040，v440×(

9、2)181，v581×(2)3159，v6159×(2)2320，即x2時，多項式的值為320.答案：a利用秦九韶算法計算多項式的值的關鍵是能正確地將所給多項式改寫，然后由內向外逐次計算，由于后項計算需用到前項的結果，故應認真、細心，確保中間結果的準確性練一練2用秦九韶算法計算多項式f(x)1235x8x26x45x53x6在x4時的值時，v3的值為()a144 b136 c57 d34解析：選b根據秦九韶算法多項式可化為f(x)(3x5)x6)x0)x8)x35)x12.由內向外計算v03；v13×(4)57；v27×(4)634；v334×

10、(4)0136.觀察如圖所示的內容：思考1進位制應如何表示？名師指津：若一個數為十進制數，其基數可以省略不寫，若是其他進位制，在沒有特別說明的前提下，其基數必須寫出，常在數的右下角標明基數思考2常見的進位制有哪些？名師指津：(1)二進制：只使用0和1兩個數字；滿二進一，如1110(2)(2)八進制：使用0,1,2,3,4,5,6,7八個不同數字；滿八進一，如7110(8)；(3)十六進制：使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，a，b，c，d，e，f這十六個不同的數碼，其中a，b，c，d，e，f分別代表十進制中的10,11,12,13,14,15；滿十六進一，如f12e10(16)講一講3

11、(1)把二進制數101 101(2)化為十進制數；(2)把十進制數458轉化為四進制數嘗試解答(1)101 101(2)1×250×241×231×220×211×203284145，所以二進制數101 101(2)轉化為十進制數為45.(2)45813 022(4)進位制的轉換方法(1)將k進制轉化為十進制的方法是：先將這個k進制數寫成各個數位上的數字與k的冪的乘積之和的形式，再按照十進制的運算規則計算出結果(2)十進制轉化為k進制，采用除k取余法，也就是除基數，倒取余練一練3(1)二進制數算式1 010(2)10(2)的值是()

12、a1 011(2) b1 100(2)c1 101(2) d1 000(2)(2)下列各組數中最小的數是()a1 111(2) b210(6)c1 000(4) d101(8)解析：(1)選b二進制數的加法是逢二進一，所以選b.(2)選a統一化為十進制數為1 111(2)15；210(6)78；1 000(4)64；101(8)65.課堂歸納·感悟提升1本節課的重點是會用輾轉相除法與更相減損術求兩個數的最大公約數，會用秦九韶算法求多項式的值，會在不同進位制間進行相互轉化難點是會用秦九韶算法求多項式的值2本節課要掌握以下幾類問題：(1)掌握求最大公約數的兩種方法步驟，見講1.(2)掌握

13、秦九韶算法步驟，見講2.(3)進位制的轉換方法，見講3.3本節課的易錯點有兩個：(1)弄不清秦九韶算法的原理而致錯，如講2；(2)進位制之間轉換的方法混淆而致錯，如講3.課下能力提升(八)學業水平達標練題組1輾轉相除法與更相減損術1下列關于利用更相減損術求156和72的最大公約數的說法中正確的是()a都是偶數必須約簡b可以約簡，也可以不約簡c第一步作差為1567284；第二步作差為728412d以上都不對解析：選b約簡是為了使運算更加簡捷，故不一定要約簡，a錯c中第二步應為847212，故選b.2用更相減損術求294和84的最大公約數時，需做減法運算的次數是()a2 b3 c4 d5解析：選c

14、29484210,21084126,1268442,844242，共做4次減法運算31 624與899的最大公約數是_解析：1 624899×1725，899725×1174，725174×429，17429×6，故1 624與899的最大公約數是29.答案：294用兩種方法求210與98的最大公約數解：用輾轉相除法：21098×214，9814×7.210與98的最大公約數為14.用更相減損術：210與98都是偶數，用2約簡得105和49，1054956,56497，49742,42735，35728,28721，21714,147

15、7.210與98的最大公約數為2×714.題組2秦九韶算法5用秦九韶算法求多項式f(x)7x66x53x22當x4時的值時，先算的是()a4×416 b7×428c4×4×464 d7×4634解析：選d因為f(x)anxnan1xn1a1xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0，所以用秦九韶算法求多項式f(x)7x66x53x22當x4的值時，先算的是7×4634.6用秦九韶算法計算多項式f(x)3x64x55x46x37x28x1當x0.4時的值時，需要做乘法和加法的次數分別是()a6,6 b5,6 c5,5 d6

16、,5答案：a7利用秦九韶算法求多項式f(x)3x612x58x43.5x37.2x25x13當x6時的值，寫出詳細步驟解：f(x)(3x12)x8)x3.5)x7.2)x5)x13.v03，v1v0×61230，v2v1×68188，v3v2×63.51 124.5，v4v3×67.26 754.2，v5v4×6540 530.2，v6v5×613243 168.2.所以f(6)243 168.2.題組3進位制及其轉化8以下各數有可能是五進制數的是()a15 b106 c731 d21 340解析：選d五進制數中各個數字均是小于5的自

17、然數，故選d.9完成下列進位制之間的轉化(1)1 034(7)_(10)；(2)119(10)_(6)解析：(1)1 034(7)1×730×723×74×70368.(2)119(10)315(6)答案：(1)368(2)31510若k進制數123(k)與十進制數38相等，則k_.解析：由k進制數123可知k4.下面可用驗證法：若k4，則38(10)212(4)，不合題意；若k5，則38(10)123(5)成立，所以k5.答案：511若1 0b1(2)a02(3)，求數字a，b的值及與此相等的十進制數解：1 0b1(2)a02(3)，1×23

18、b×21a×322，且a只能取1,2，b只能取0,1.整理得9a2b7.當b0時，a(不合要求，舍去)；當b1時，a1.ab1.102(3)1 011(2)，轉化為十進制數為1×32211.能力提升綜合練1用秦九韶算法求多項式f(x)x33x22x11當xx0時的值時，應把f(x)變形為()ax3(3x2)x11 b(x3)x2(2x11)c(x1)(x2)x11 d(x3)x2)x11解析：選df(x)x33x22x11(x23x2)x11(x3)x2)x11，故選d.245和150的最大公約數和最小公倍數分別是()a5,150 b15,450 c450,15

19、d15,150解析：選b利用輾轉相除法求45和150的最大公約數：15045×315,4515×3,45和150的最大公約數為15.45和150的最小公倍數為15×(45÷15)×(150÷15)450，故選b.3下列各數中，最小的是()a101 010(2) b111(5)c32(8) d54(6)解析：選c101 010(2)1×250×241×230×221×210×2042,111(5)1×521×511×5031,32(8)3×812×8026,54(6)5×614×6034.又42>34>31>26，故最小的是32(8)4(2016·福州高一檢測)三進制數2 022(3)化為六進制數為abc(6)，則abc_.解析：2 022(3)2×330×322×312×3062.三進制數2 022(3)化為六進制數為142(6)，abc7.答案：75用秦九韶算法求多項式f(x)15x8x210x36x412x53x6當x4時的值時，v0，v1，v2，v3，v4中最大值與最小值的差