1、13.3數學歸納法第十三章推理與證明、算法、復數基礎知識自主學習課時作業題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習數學歸納法數學歸納法一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取 (n0n*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設當nk(kn0，kn*)時命題成立，證明當 時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立.知識梳理第一個值n0nk1題組一思考辨析題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)用數學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n1時結論成立.()(2)所有與正整數有關的數學命題都必須用數

2、學歸納法證明.()(3)用數學歸納法證明問題時，歸納假設可以不用.()(4)不論是等式還是不等式，用數學歸納法證明時，由nk到nk1時，項數都增加了一項.()基礎自測123456(5)用數學歸納法證明等式“12222n22n31”，驗證n1時，左邊式子應為122223.()(6)用數學歸納法證明凸n邊形的內角和公式時，n03.()123456題組二教材改編題組二教材改編2.p99b組t1在應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為 n(n3)條時，第一步檢驗n等于 a.1 b.2c.3 d.4答案解析123456解析解析凸n邊形邊數最小時是三角形，故第一步檢驗n3.3.p96a組t2已知an滿足an

3、1 ，nn*，且a12，則a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案123456n1345解析答案題組三易錯自糾題組三易錯自糾4.用數學歸納法證明1aa2an1 (a1，nn*)，在驗證n1時，等式左邊的項是 a.1 b.1ac.1aa2 d.1aa2a3123456解析解析當n1時，n12，左邊1a1a21aa2.則上述證法 a.過程全部正確 b.n1驗證得不正確c.歸納假設不正確d.從nk到nk1的推理不正確解析答案123456解析解析在nk1時，沒有應用nk時的假設，不是數學歸納法.解析答案1234566.用數學歸納法證明1232n2n122n1(nn*)時，假設當nk時命題成立，則當nk

4、1時，左端增加的項數是_.2k解析解析運用數學歸納法證明1232n2n122n1(nn*).當nk時，則有1232k2k122k1(kn*)，左邊表示的為2k項的和.當nk1時，則左邊1232k(2k1)2k1，表示的為2k1項的和，增加了2k12k2k項.題型分類深度剖析1.用數學歸納法證明：題型一用數學歸納法證明等式自主演練自主演練證明證明證明(1)當n1時，左邊右邊，所以等式成立.(2)假設當nk (kn*且k1)時等式成立，即有所以當nk1時，等式也成立，由(1)(2)可知，對于一切nn*等式恒成立.證明求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nn*).證明證明(1)當n2

5、時，左邊f(1)1，(2)假設當nk(k2，kn*)時，結論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當nk1時，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當nk1時結論成立.由(1)(2)可知當n2，nn*時，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1.用數學歸納法證明恒等式應注意(1)明確初始值n0的取值并驗證當nn0時等式成立.(2)由nk證明nk1時，弄清左邊增加的項，且明確變形目標.(3)掌握恒等變形常用的方法：因式分解；添拆項；配方法.思維升華思維升華題型二用數學歸納法證明不等式師生共研師生共研證

6、明典例典例 設實數c0，整數p1，nn*.(1)證明：當x1且x0時，(1x)p1px；證明證明當p2時，(1x)212xx212x，原不等式成立.假設當pk(k2，kn*)時，不等式(1x)k1kx成立.則當pk1時，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以當pk1時，原不等式也成立.綜合可得，當x1，且x0時，對一切整數p1，不等式(1x)p1px均成立.證明1pc1pc則當nk1時，1pc1pc1pc1pc1pka1pc1pc1pc1pc則xpc，1pc1pc1pc1pc1pc1pc1pa11pcap1pc1pc1pc1pc1pc1pc1pc數

7、學歸納法證明不等式的適用范圍及關鍵(1)適用范圍：當遇到與正整數n有關的不等式證明時，若用其他辦法不容易證，則可考慮應用數學歸納法.(2)關鍵：由nk時命題成立證nk1時命題也成立，在歸納假設使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應用基本不等式、不等式的性質等放縮技巧，使問題得以簡化.思維升華思維升華證明跟蹤訓練跟蹤訓練 (2018衡水調研)若函數f(x)x22x3，定義數列xn如下：x12，xn1是過點p(4,5)，qn(xn，f(xn)(nn*)的直線pqn與x軸的交點的橫坐標，試運用數學歸納法證明：2xnxn13.證明證明當n1時，x12，f(x1)3，q1(2，3

8、).所以直線pq1的方程為y4x11，即n1時結論成立.假設當nk(k1，kn*)時，結論成立，即2xkxk13.代入上式，令y0，即xk1xk2，所以2xk1xk23，即當nk1時，結論成立.由知對任意的正整數n，2xnxn11時，對x(0，a1，有(x)0，(x)在(0，a1上單調遞減，(a1)1時，存在x0，使(x)0(nn*).猜想an的通項公式，并用數學歸納法加以證明.解答解解分別令n1,2,3，得an0，a11，a22，a33，猜想：ann.a20，a22.()假設當nk(k2，kn*)時，akk，那么當nk1時，即ak1(k1)ak1(k1)0，ak10，k2，ak1(k1)0，

9、ak1k1，即當nk1時也成立.ann(n2)，顯然當n1時，也成立，故對于一切nn*，均有ann.命題點命題點3存在性問題的證明存在性問題的證明解答(1)若b1，求a2，a3及數列an的通項公式；再由題設條件知(an11)2(an1)21.從而(an1)2是首項為0，公差為1的等差數列，下面用數學歸納法證明上式：當n1時結論顯然成立.所以當nk1時結論成立.解答(2)若b1，問：是否存在實數c使得a2nca2n1對所有nn*成立？證明你的結論.則an1f(an).下面用數學歸納法證明加強命題：a2nca2n11.假設當nk(k1，kn*)時結論成立，即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a

10、2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上為減函數，得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31，故ca2k31.因此a2(k1)ca2(k1)11.這就是說，當nk1時結論成立.先證：0an1(nn*). 當n1時，結論顯然成立.假設當nk(k1，kn*)時結論成立，即0ak1.即0ak11.這就是說，當nk1時結論成立.故成立.再證：a2na2n1(nn*). 有a2a3，即n1時成立.假設當nk(k1，kn*)時，結論成立，即a2kf(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)f(a2n1)，即a2n1a2n2，(1)利用數學歸納法可以探索與正整數n有關的未知問題、存在性問題，其基

11、本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發現結論，然后經邏輯推理即演繹推理論證結論的正確性.(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗歸納猜想證明”.高中階段與數列結合的問題是最常見的問題.思維升華思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練 (2018西安模擬)已知正項數列an中，對于一切的nn*均有證明0an0，證明下面用數學歸納法證明：當n2，且nn*時猜想正確.當n2時已證；當nk1時，猜想正確.典例典例 (12分)數列an滿足sn2nan(nn*).(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)證明(1)中的猜想.思維點撥思維點撥(1)由s1a1算出a1；由ansnsn1算出a2，a3，

12、a4，觀察所得數值的特征猜出通項公式.(2)用數學歸納法證明.歸納猜想證明問題答題模板答題模板規范解答答題模板思維點撥規范解答規范解答(1)解解當n1時，a1s12a1，a11；當n4時，a1a2a3a4s424a4，(2)證明證明當n1時，a11，結論成立. 5分假設當nk(k1且kn*)時，結論成立，那么當nk1時， 7分ak1sk1sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak. 9分當nk1時，結論成立. 11分答題模板答題模板歸納歸納猜想猜想證明問題的一般步驟證明問題的一般步驟第一步：計算數列前幾項或特殊情況，觀察規律猜測數列的通項或一般第一步：計算數列前幾項或特殊情況，觀

13、察規律猜測數列的通項或一般 結論；結論；第二步：驗證一般結論對第一個值第二步：驗證一般結論對第一個值n0(n0n*)成立；成立；第三步：假設當第三步：假設當nk(kn0，kn*)時結論成立，證明當時結論成立，證明當nk1時結論時結論 也成立；也成立；第四步：下結論，由上可知結論對任意第四步：下結論，由上可知結論對任意nn0，nn*成立成立.課時作業1.(2018商丘周測)設f(x)是定義在正整數集上的函數，且f(x)滿足：“當f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命題總成立的是 a.若f(1)1成立，則f(10)100成立b.若f(2)右邊，不等式成立.假設當nk(

14、k2，且kn*)時不等式成立，則當nk1時，12345678當nk1時，不等式也成立.由知對于一切大于1的自然數n，不等式都成立.123456785.求證：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nn*).證明12345678證明證明(1)當n1時，等式左邊2，右邊2，故等式成立；(2)假設當nk(k1，kn*)時等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么當nk1時，左邊(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，所以當nk1時等式也成立.由(1)(2)可知，對所有nn*

15、等式成立.12345678(1)證明：xn是遞減數列的充要條件是c0；技能提升練證明12345678證明證明充分性：所以數列xn是遞減數列.必要性：若xn是遞減數列，則x2x1，且x10.故xn是遞減數列的充要條件是c0.12345678證明1234567812345678這就是說當nk1時，結論也成立.12345678解答(1)求a的值；12345678解得a1.又因為a21，所以a1.所以a21.12345678證明12345678證明證明用數學歸納法證明：故當n2時，原不等式也成立.12345678所以當nk1時，原不等式也成立.12345678證明拓展沖刺練8.(2017浙江)已知數列xn滿足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nn*).證明：當nn*時，(1)0 xn1xn；12345678證明證明用數學歸納法證明xn0.當n1時，x110.假設當nk時，xk0，那么當nk1時