1、導數導數 derivativederivative的概念的概念00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 函數函數 ( )yf x0fxd00 xxx自變量自變量 函數函數 00()()f xf xx0 xxx 000( )()()()yf xf xf xxf x 導數導數 0000()()()limhf xhf xfxh0000( )()()limxxfxfxfxxx其它形式其它形式 例題例題 設設 ，求，求 2yx2xy解解222224yxxx 4yxx0lim4xyx 所以所以 24xy如果將式中的定點如果將式中的定點x=2改為任意點改為任意點x,則有如下結果則有如下

2、結果 22000limlimlim 22xxxxxxyxxxxx 其結果表示是其結果表示是x的函數，稱之為的函數，稱之為導函數導函數。 基本導數公式基本導數公式( )0c1()xx (sin )cosxx (cos )sinxx 2(tan )secxx 2(cot )cscxx (sec )sec tanxxx (csc )csc cotxxx ()lnxxaaa ()xxee 1(log)lnaxxa 1(ln)xx 21(arcsin )1xx 21(arccos )1xx 21(arctan )1xx 21(cot )1arcxx 記熟、記牢、記準記熟、記牢、記準 函數的和差積商的求導

3、法則函數的和差積商的求導法則()uvuv()uvu vuv2( )0uu vuvvvv （）()cucu你記住了嗎？21( )0vvvv （）特別特別2( )34sinfxxx32(2537)yxxx32(2 )(5 )(3 )(7)xxx22 35 23 0 xx 26103xx23( )424fsin2是 常 數322537yxxxy求例例1 設設解解3( )4cossin2f xxx( )()2fxf，求及例例2解解 3( )(sin )fxxx233sincosxxxx33() sin(sin )xxxx3( )sinf xxx( )fx求例例3 設設解解求下列函數的導數求下列函數的導

4、數2(1)lnc os yxxxln (2) xyx2 2lncosc oslnsin yxxxxxxxx 21l nxyx 復合函數的求導法則復合函數的求導法則( )( )( ) ( )( )( ) dydydufuxdxdudxug xxyf uug xyf g xx如果函數在點可導,而在對應點處可導, 則復合函數在點處可導，且其導數為 dydydudvdxdudvdx推廣推廣 ( )( ),( ),( ),yfxyf uuvvx 對于復 合函數， 設均可導 則鏈式法則鏈式法則chain rule3,.uyeux 1cosxu1cossinxxcot x323xx e3()xdyedx33

5、()xex323xx e也可以不寫出中間變量也可以不寫出中間變量lnsin ,dyyxdx求例例6 設設3,xdyyedx求例例7 設設解解ln sinyx可 分 解 為ln,yusinux解解 因為因為d yd yd ud xd ud x所以所以3xye可分解為可分解為d yd yd ud xd ud x所以所以代入代入lncos()xdyedx1cos()cos()xxeetan()xxee 由外及由外及里，環里，環環相扣環相扣1( sin) ()cos()xxxeee 1( sin)cos()xxxeee lncos(),xdyyedx求例例8 設設解解lnyucosuvxve求下列函數

6、的導數求下列函數的導數123(12) yx2231(1 2) ( 4 )3xx1sin()xye1sin211cos()xexx 32(1)12yx1sin(2)xye2(3)(arcsin)2xy 2(4)1lnyx2112arcsin221( )2xyx 2112ln2 1lnyxxx 332() 3(3 )(3 )xxxxxy 232333 ln3(3 )xxxxx233ln33xxx2212112 1xyxxx 211x2221111xxxxx3,3xxyy求例例92ln(1),yxxy求例例10解解解解求下列函數的導數求下列函數的導數21(1)(arcsin1)2yxxx222112

7、(1)212 1xyxxxx 21x高階導數高階導數 33( )( )d yfxyfxdx(1)( )( )( )( )nnnnnd yfxyfxdx =導函數的導數導函數的導數函數函數 ( )yf x( )( )dyf xyfxdx22( )( )d yfxyfxdx一階導數一階導數 二階導數二階導數 三階導數三階導數 n階導數階導數 求下列函數的二階導數求下列函數的二階導數 21(1)(arcsin1)2yxxx222112(1)212 1xyxxxx 21x解解 22112 1yxx 222 1xx21xx 隱函數的導數隱函數的導數( , )0( )f x yxyyy x 由方程確定的變

8、量與變 量之間的函數關系，稱為隱函數。0ydexyedx0ydydyeyxdxdx隱函數的求導方法隱函數的求導方法將方程兩邊同時對自變量將方程兩邊同時對自變量x求導。求導。將方程兩邊同時對將方程兩邊同時對 x 求導，得：求導，得：解解ydyydxx e(0)yx e所以所以注意：注意：y是是x的函數，的函數，則則y的函數的函數f(y)視為視為x的復合函數。的復合函數。()yyddyeedxdxdydx例例12求由方程求由方程 確定的隱函數的導數確定的隱函數的導數 0yexye解解 將方程兩邊同時對將方程兩邊同時對 x 求導，得：求導，得：46521210dydyyxdxdx 6412152dy

9、xdxy因為當因為當 x = 0時，從原方程可以解得時，從原方程可以解得 y = 0 012xdydx所以所以57230yyxx 例例 求由方程求由方程 所確定的隱函數所確定的隱函數 的導數的導數=xdydx0( )yy x解解 將方程兩邊同時對將方程兩邊同時對 x 求導，得：求導，得：11cos02dydyydxdx22cosdydxy注意：注意：y是是x的函數，的函數，siny則是則是x的復合函數。的復合函數。 1sin02xyy 例例 求由方程求由方程 所確定的隱函數所確定的隱函數 的導數的導數( )yy x冪指函數的導數冪指函數的導數兩邊取對數，得兩邊取對數，得lnsinlnyxx將方

10、程兩邊同時對將方程兩邊同時對 x 求導（求導（注意注意 y 是是 x 的函數的函數）得：）得：11coslnsinyxxxyx 1(coslnsin)yyxxxx sin1(coslnsin)xxxxxx解法解法2解法解法1sinsin ln()()xxxyxesin ln(sinln )xxexx sinsin(cosln)xxxxxx轉化為初等轉化為初等函數，直接函數，直接求導法求導法轉化為隱函轉化為隱函數，對數求數，對數求導法導法sin0,1xyxxxy求的導數例例14一般地，冪指函數一般地，冪指函數 的求導，可有兩種方法，的求導，可有兩種方法，都可得到一般公式：都可得到一般公式：( )

11、( )v xyu x( )( )( ) ln( )v xyu xv xu x 如如sinsinsinlnxxxxxxsin1coslnsinxxxxxx練習練習 設設 33333 ,.xxyxxy求 3233 ln33lnxxxyxxx 32333 ln33 ln3 lnxxxxxxxx解答解答對數求導法對數求導法1lnln(1)ln(2)ln(3)3yxxx兩邊取對數，得兩邊取對數，得兩邊對兩邊對 x 求導（求導（注意注意 y 是是 x 的函數的函數）得：）得：11111()3123yyxxx 31(1)(2)111()33123xxyxxxx 對數求導法常用于冪指函數和以乘、除、乘方、開方

12、運算對數求導法常用于冪指函數和以乘、除、乘方、開方運算為主的函數的求導。為主的函數的求導。3(1)(2),3xxyyx設求例例15解解tan xyxy ( 1 ) 求的 導 數tantan ln()()xxxyxe解解tan2tan(secln)xxxxxx由參數方程所確定的函數的導數由參數方程所確定的函數的導數( )( )xtdyytdx由 參 數 方 程確 定 的 函 數 的 導 數( )( )dytdydtdxtdxdt22()dydd ydtdxdxdtdx()ddydtdxdxdt注意一階導注意一階導數也是數也是 t t 的函數的函數求由擺線的參數方程求由擺線的參數方程所確定的函數的

13、一階導數。所確定的函數的一階導數。 (sin )(1 cos )xa ttyatttxydydxsin(1cos )atatsin(1cos )ttcot2t解解例例1622231 , xtd ydxytt 設求解解 ttxydydx221322ttd ytdxx221322tt31344tt 2123tt1322tt 22( )( )( )( )xftytftf td yftdx求由參數方程確定的函數的二階導數 （設存在且不為零）.ttxydydx( )( )( )( )tftftftft22()tddyd ydtxdxdxt1( )ft解解單側導數單側導數 0000()()()limhf

14、xhf xfxh 0000()()()limhf xhf xfxh 左導數左導數 右導數右導數 函數在點函數在點x0處可導處可導 左導數和右導數都存在，并且相等。左導數和右導數都存在，并且相等。000( )()limxxf xf xxx000( )()limxxf xf xxx0( )(0)(0)lim0 xf xffx0sinsin0lim0 xxx0sinlim1xxx0tan0lim0 xxx0tanlim1xxxsin(0)2( ),(0).tan( 0)2xxf xfxx求 例例5 已知已知0( )(0)(0)lim0 xf xffx解解 因為因為(0)(0)1ff所以所以(0)1f

15、 ，從而，從而導數的幾何意義導數的幾何意義mxyo0 x( )yf xt0tan()mtkfx法線是過切點法線是過切點且與切線垂直且與切線垂直的直線的直線00( )(,()yf xm xf x曲線在點處000( )()yyf xxx的切線方程為的切線方程為0001()()yyxxfx 法線方程為法線方程為0()0)fx解解 根據導數的幾何意義，所求切線的斜率為根據導數的幾何意義，所求切線的斜率為11122214xxkyx 所以，所求切線方程為所以，所求切線方程為124()2yx 所求法線的斜率為所求法線的斜率為21114kk 所求法線方程為所求法線方程為112()42yx例例6 6 求雙曲線求

16、雙曲線 在點在點 處的切線方程和法線方程。處的切線方程和法線方程。1yx1,22440 xy即即28150 xy即即例例 曲線曲線 在點在點 處的切線平行于直線處的切線平行于直線 2yx114yx11,8 64例例 曲線曲線 在點在點 處的切線垂直于直線處的切線垂直于直線 2yx114yx例例 曲線曲線 在點在點 處的法線垂直于直線處的法線垂直于直線 2yx41yx2,42,4函數的可導性與連續性的關系函數的可導性與連續性的關系可導可導 連續連續 連續是可導的必要非充分條件連續是可導的必要非充分條件 001lim( )limsin0 xxf xxx(0)0f故函數在點故函數在點 x=0 處連續

17、處連續00( )(0)1(0)limlimsin0 xxf xffxx故函數故函數 f (x)= |x| 在點在點 x=0 不可導不可導解解 函數函數 f (x) 在某點連續，卻不一定在該點可導。在某點連續，卻不一定在該點可導。例例7 討論函數討論函數 在點在點 的連續性和可導性。的連續性和可導性。1sin (0)( ) 0 (0)xxf xxx0 x 不存在不存在 例例8 設設 2 (2)( ) (2)xxf xaxbx在在 2x 點可導，求常數點可導，求常數 , a b的值。的值。 解解 因為函數在因為函數在x=2點可導，所以函數在該點連續。點可導，所以函數在該點連續。 所以有所以有 22

18、lim( )lim( )(2)xxf xf xf又又 222( )(2)4(2)limlim422xxf xfxfxx即有即有 42ab（1） 22( )(2)4(2)limlim22xxf xfaxbfxx2(2)24lim2xa xabax所以所以 4a 代入（代入（1）式得）式得 4b 所以所以 4,a 4b 即為所求。即為所求。 又又 222( )(2)4(2)limlim422xxf xfxfxx函數的微分函數的微分 結論：結論：可導可導 可微，可微，且且 0()dyfxx一般形式一般形式( )d xx ( )dyfx dx導數公式導數公式 微分公式微分公式 一一對應一一對應 復合函

19、數的微分法則和微分形式不變性復合函數的微分法則和微分形式不變性( )( ) ( )( )( )xyf uug xyf g xdyy dxfu g x dx 設及都可導, 則復合函數的微分為( )gx dxdu因為，所以( )dyf u du( )udyfu du 無論是自變所以，微分公式都成立, 這一性質稱為量還是中間變微分形 量 式不變性.sin(21),yxdy求21ux( )dyf u ducosuducos(21(21xdx）cos(21 2xdx）2cos(21)xdx例例1解解2221()1xxe d xe2ln(1),xyedy求例例2解解221(1)1xxdydee2221xx

20、xedxe1 3cos ,xyexdy求1 3(cos )xdyd ex1 31 3cos()(cos )xxxd eedx1 31 3(cos )(1 3 )( sin)xxx edxexdx例例3解解1 33cossinxexx dx dy例例4求由方程求由方程 確定的隱函數的微分確定的隱函數的微分 0yexye解解 兩邊同時微分，得兩邊同時微分，得 0ye dyydxxdyyex dyydx yydydxex 即即 所以，所求微分為所以，所求微分為 羅爾定理羅爾定理 rolle theoremrolle theorem(2) 在開區間在開區間( , )a b內可導；內可導； 則在則在(

21、, )a b內至少存在一點內至少存在一點，使，使 ( )0f , a b(1) 在閉區間在閉區間 上連續上連續( )( ),f af b(3) c若函數若函數( )fx滿足：滿足：羅爾定理的幾何意義羅爾定理的幾何意義 連續曲線連續曲線 y = f (x)的弧的弧ab除端點外處處具有不垂直除端點外處處具有不垂直x軸的切軸的切線，且兩個端點的縱坐標相等，則曲線弧上線，且兩個端點的縱坐標相等，則曲線弧上至少存在一點至少存在一點c，使得使得曲線曲線在該點處的切線是水平的在該點處的切線是水平的.abxyab( )( )f af b例例1 驗證函數驗證函數 在區間在區間 上滿足羅爾上滿足羅爾定理，并求出定

22、理中的定理，并求出定理中的 值。值。2( )23f xxx 1,1.5解解 因為函數在因為函數在 上連續，在上連續，在 內可導，且內可導，且 1,1.5( 1,1.5)( 1)0 , (1.5)0ff所以，函數在所以，函數在 上滿足上滿足羅爾定理羅爾定理 1,1.5而而( )41fxx令令( )0fx得得14x 所以，所以， 即為所求的點。即為所求的點。14拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 lagrange theoremlagrange theorem若函數若函數( )f x滿足：滿足： (2) 在開區間在開區間( , )a b內內可導可導； 則在則在( , )a b內內至少存在一點至少存在

23、一點，使，使 ( )( )( )f bf afba , a b (1) 在閉區間在閉區間上上連續連續； cxyabab幾何意義幾何意義: 連續曲線連續曲線 y = f (x)的弧的弧ab除端點外處處有不垂直除端點外處處有不垂直x軸的切軸的切線，則弧上至少線，則弧上至少至少存在一點至少存在一點 ，使得曲線在點，使得曲線在點 處的處的切線切線平平行弦行弦ab。推論：推論：如果函數如果函數 f (x)在區間在區間i上的導數上的導數恒為零恒為零，那末，那末 f (x) 在在區間區間i上是一個常數上是一個常數例例 證明證明arctancot, , 2xarcxx 證明證明 令令( )arctancotf

24、 xxarcx則則 在在 內滿足內滿足lagrange中值定理中值定理( )f x, 而而2211( )0, ,11fxxxx 所以所以( ) f xc（常數）而而(1)arctan1cot12farc所以所以( )arctancot, ,2f xxarcxx ( )20 2f xxx求函數在 ，上滿足羅爾定理的 。由由lagrangelagrange中值定理可知中值定理可知(1)(0)( )1 ln21 0fff ( ) , ( )( )( ),f xa bf bf afbaa b求在上滿足拉格朗日定理中的 ， 就是求在（）內的根。434( ),( )032 2xfxfxxx令得( )ln(

25、1)01f xxx求函數在 ，上滿足lagrange中值定理的 值。例例2解解1( )11fxx 因為因為1( )11f 所以所以111 ln21 即即11ln2所以所以 即為所求。即為所求。練習練習解答解答構造有關的函數構造有關的函數0, ( ) 0 xf xxlagrange 則在區間 ，上滿足中值定理條件確定應用區間確定應用區間應用應用lagrange定理定理計算導數后的等式計算導數后的等式轉化為不等式轉化為不等式0ln(1) 1xxxxx證明：當時, 成立。例例3( )ln(1)f xx令解解( )(0)( ) (0) (0)f xffxx所以所以ln(1)1xx (0)x即即ln(1

26、)(0)1xxxxx 所以所以解題思路：解題思路：洛必達法則洛必達法則 ( )( )limlim( )( )f xfxg xg x00或 若若 屬屬 類型的極限問題，則可考慮用洛類型的極限問題，則可考慮用洛必達法則，如果必達法則，如果 存在或為存在或為 ，則，則( )( )f xg x( )lim( )fxg x 注意：法則只能解決注意：法則只能解決 存在時，未定式存在時，未定式 的定值問題。的定值問題。即如果即如果 不存在不存在，也不是也不是 ，則則法則失效法則失效。( )lim( )fxg x( )lim( )fxg x00，例例1 1 求下列極限求下列極限01(1)limxxex21ln

27、(2)lim1xxx01ln 1(3) limcotxxx00型型型型00型型解解 原式原式0lim1xxe111lim21xxx 解解 原式原式解解 原式原式220111 1limcscxxxx 220sinlim1xxxxx011lim21xx x20sinlimsinxxxxx例例2 2 求極限求極限00解解 這是這是 型的未定式，且當型的未定式，且當 時，時，0 x sinxx所以，原式所以，原式30sinlimxxxx201 coslim3xxx0sinlim6xxx16適當使用等價無窮適當使用等價無窮小替換，再使用洛小替換，再使用洛必達法則，可簡化必達法則，可簡化極限運算。極限運算

28、。30tanlimsinxxxx30tanlimxxxx2201 seclim3xxx13 練習練習（1 1）形如）形如 的未定式的未定式0其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值000,0 ,1 , 解題方法：解題方法：將未定式變形將未定式變形1000001 例例3 3 求極限求極限1lim 1tan2xxx解解 原式原式11limcot2xxx211limcsc22xx212lim sin2xx2（2 2）形如）形如 的未定式的未定式其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值解題方法解題方法：將未定式變形：將未定式變形110000 通分合并例例4 4 求極限求極限111limln1x

29、xx解解 原式原式11 lnlimln1xxxx x 111lim1lnxxxxx11limln1xxxxx11lim1 ln1xx12（3 3）形如）形如 的未定式的未定式000 ,1 ,其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值 解題方法解題方法：將未定式先取自然對數、變形，：將未定式先取自然對數、變形，再按情形（再按情形（1）處理）處理0000 ln01ln100 ln 取對數取對數取對數100001 例例5 5 求極限求極限sin0limxxx解解 令令sinxyx則則lnsinlnyxx0lnlimcscxxx01limcsccotxxxx20sinlimcosxxxx0所以所以s

30、in00lim1xxxe00lim lnlim sin lnxxyxx而而00例例6 6 求極限求極限10lim (0,0)2xxxxabab解解 令令12xxxaby則則1lnln2xxabyx而而00ln2limlnlimxxxxabyx0lnln2limxxxabx0lnlnlimxxxxxaabbabln()ln2abab1ln0lim2xxxabxabeab所以所以1解解 令令例例7 7 求極限求極限sin01limxxxsin1xyx則則1lnsinlnsinlnyxxxx 01limcsccotxxxx20sinlimcosxxxx0sinsinlim0cosxxxxx00lnl

31、imlnlimcscxxxyx所以所以sin001lim1xxex所以所以0求下列極限求下列極限210sin(1)limxxxx122012(2)limln 1xxexx1(3)lim1lnxxxxxx2116e（提示：利用等價無窮小替換）（提示：利用等價無窮小替換）cot(4) lim1sinxarcxx1函數的單調性函數的單調性 yxo( )yf xabyo( )yf xabx函數單調遞增，則函數單調遞增，則函數單調遞減，則函數單調遞減，則1212()()0f xf xxx1212()()0f xf xxx由由lagrange中值定理：中值定理：121212()()( ) f xf xfx

32、xxx介于 與 之間于是有函數單調性的判別定理于是有函數單調性的判別定理函數單調性的判別定理函數單調性的判別定理（1） 如果函數如果函數 在在 內有內有 ，則函數在，則函數在 上是單調遞增的。上是單調遞增的。( )f x( , )a b( )0fx , a b（2） 如果函數如果函數 在在 內有內有 ，則函數在，則函數在 上是單調遞減的。上是單調遞減的。( )f x( , )a b( )0fx , a b例例1 判別函數判別函數 的單調性。的單調性。arctanyx解解 因為因為210, (,)1yxx 所以，函數在所以，函數在 內是單調遞增的。內是單調遞增的。(,) 設函數設函數 在在 上連

33、續，在上連續，在 內可導，則內可導，則( )f x , a b( , )a b例例2 求函數求函數 的單調區間的單調區間3226187yxxx解解 因為因為261218631yxxxx 令令0y 得駐點得駐點121 3xorx 列表討論列表討論+0_0+3-1xyy, 1 1,33, 所以，函數在所以，函數在 及及 內單調增加，在內單調增加，在 內單調減少。內單調減少。, 1 3,1,3例例3 求函數求函數 的單調區間的單調區間32yx解解 因為因為1332233yxx 當當 時，時， 不存在不存在0 x y當當 時，時， ，當，當 時，時，0 x 0y0 x 0y 所以，函數在所以，函數在

34、內單調增加，在內單調增加，在 內單調減少。內單調減少。,00, 小結：駐點（使一階導數為零的點）或一階導數不存在小結：駐點（使一階導數為零的點）或一階導數不存在的點可將單調區間分開。的點可將單調區間分開。小結：小結：求函數的單調區間的一般方法：求函數的單調區間的一般方法：（1）求函數的一階導數；）求函數的一階導數；（2）找出所有的）找出所有的駐點駐點及及一階導數不存在的點一階導數不存在的點；（3）將上述點插入到定義域，分區間確定一階導）將上述點插入到定義域，分區間確定一階導 數的符號；數的符號；（4）根據單調性的判別定理，確定單調區間。）根據單調性的判別定理，確定單調區間。例例4 證明不等式證

35、明不等式1 (0)xexx 證明證明 令令( )1xf xex 則則( )1xfxe0( )0,xfx當時，故函數在 0,+內單調增加0( )0,xfx當時，故函數在 - ,0 內單調遞減0,( )(0)0 xf xf 所以，有0 ,( )(0)0 xf xf 所以， 有 1xex 即 1xex 即所以，當所以，當 時，不等式時，不等式 成立。成立。1xex 0 x 函數的極值函數的極值極值的概念極值的概念：如果函數：如果函數 在點在點 的某鄰域內有定義，對于的某鄰域內有定義，對于該鄰域內任意該鄰域內任意異于異于 點的點的 ，都有，都有 ，則稱，則稱為函數的一個為函數的一個極小值極小值；如果有

36、；如果有 ，則稱，則稱 為函數為函數的一個的一個極大值極大值。極大值和極小值統稱為函數的。極大值和極小值統稱為函數的極值極值。使函數取。使函數取得極值的點稱為函數的得極值的點稱為函數的極值點極值點。( )f x0 xx0( )()f xf x0( )()f xf x0 x0()f x0()f x 由于函數在不同的區間的單調性不同，由于函數在不同的區間的單調性不同，因而在圖象上會出現因而在圖象上會出現“峰峰”與與“谷谷”，使函數，使函數值在局部范圍內出現值在局部范圍內出現“最大最大”、“最小最小”，稱，稱之為函數的極大、極小值。之為函數的極大、極小值。3226187yxxx例如例如-13 函數的

37、極值是一個局部特性，最值是全局特性函數的極值是一個局部特性，最值是全局特性（1）函數在某個區間內可能既無極大值，也無極小值；）函數在某個區間內可能既無極大值，也無極小值； 如函數如函數y=x 在區間在區間 1，2 內既無極大值，也無極小值。內既無極大值，也無極小值。（2）可以缺少其一；）可以缺少其一； 如如 y=x2 在區間在區間 -1，2 內，只有極小值。內，只有極小值。（3）極小值可以大于極大值極小值可以大于極大值，如某種股票的交易價格函數；，如某種股票的交易價格函數；（4）極值一定在區間內部取得。）極值一定在區間內部取得。函數的極值說明函數的極值說明極值存在的必要條件（費馬定理）極值存在

38、的必要條件（費馬定理） 如果函數如果函數 在點在點 處可導，且在點處可導，且在點 處有極值，處有極值，則則( )yf x0 x0 x0()0.fxabcdexy導數為零的點稱為函數的駐點。導數為零的點稱為函數的駐點。函數在可導點取得極值時，則在該點的切線平行于函數在可導點取得極值時，則在該點的切線平行于x軸。軸。,a b d 是極值點，導數為零e 是極值點，但導數不存在c 點導數為零，但不是極值點函數的極值點是駐點或導數不存在的點。費馬定理的逆定理不成立。極值存在的第一充分條件極值存在的第一充分條件設函數設函數 在點在點 的某個鄰域內可導（點的某個鄰域內可導（點 可除外）可除外）( )yf x

39、0 x0 x00,xxx00,xx x( )0fx則則 在點在點 處取得處取得極大值極大值；( )yf x0 x( )0fx1（ ）( )0fx00,xxx( )0fx00,xx x則則 在點在點 處取得處取得極小值極小值；( )yf x0 x2（ ）00,xxx00,xx x( )fx同號則則 在點在點 處處無極值無極值；( )yf x0 x3（ ）0 x0 x0 xxy0 x0 x0 xxy0 x0 x0 xxy例例1 求函數求函數 的極值的極值3226187yxxx解解 因為因為261218631yxxxx 令令0y 得駐點得駐點121 3xorx 列表討論列表討論+極小值極大值0_0+

40、3-1xyy, 1 1,33,所以，函數有極大值所以，函數有極大值 ，有極小值，有極小值 。( 1)3f (3)61f 一階導數由正到負，函數過極大值；一階導數由負到正，一階導數由正到負，函數過極大值；一階導數由負到正，函數過極小值。函數過極小值。例例2 求函數求函數 的極值的極值32yx解解 因為因為1332233yxx 當當 時，時， 不存在不存在0 x y當當 時，時， ，當，當 時，時，0 x 0y0 x 0y 小結：駐點或一階導數不存在的點小結：駐點或一階導數不存在的點，可能可能是函數的極值點，是函數的極值點，必須必須按第一充分條件進行按第一充分條件進行判別判別。所以，函數有極小值所

41、以，函數有極小值 。(0)0f例例3 求函數求函數 的極值的極值3yx解解 因為因為230 , yxxr 所以，函數無極值。（雖然有所以，函數無極值。（雖然有 ）(0)0f x)(xf )(xf極小值極小值-1/2-1/2極大值極大值0 0+ +0 0_ _不存在不存在+ +(1,+)(1,+)1 1(0,1)(0,1)0 0(-,0)(-,0)單調增區間為單調增區間為(-,0)(-,0)和和(1,+)(1,+)單調減區間為單調減區間為(0,1)(0,1)f (0)=0為極大值；為極大值；f (1)=-1/2 為極小值為極小值 323( )2yf xxx求的單調區間和極值(,) 函數定義域為3

42、33111)(xxxxf( )0fx令x得駐點 =1；0 x 時，( )fx不存在xyo112練習練習解解極值存在的第二充分條件極值存在的第二充分條件000()0),(0( ),fxfxyf xx 設函數在點 處具有二階導數，且則001 ()0 () ( ) fxf xf x（）當時，為的極小值；002 ()0 () ( ) fxf xf x（ ）當時，為的極大值；0 x0 x0 xxy( )0fx( )0fx( )0fx0 ()0fx( )fx是增函數0 ()0fx0 x0 x0 xxy( )0fx( )0fx( )fx是減函數例例4 求函數求函數 的極值的極值3226187yxxx解解 因

43、為因為261218631yxxxx 1212yx 所以，函數有駐點所以，函數有駐點121 3xorx 而而所以所以( 1)240,(3)240yy 所以，函數有極大值所以，函數有極大值 ，有極小值，有極小值 。( 1)3f (3)61f 注意：當函數的二階導數較易求，且二階導數不為零時，注意：當函數的二階導數較易求，且二階導數不為零時，使用第二充分條件判別極值較易；使用第二充分條件判別極值較易；而二階導數為零的點，必而二階導數為零的點，必須用第一充分條件判別。須用第一充分條件判別。函數的最大值與最小值函數的最大值與最小值由極小值的特性，可知：由極小值的特性，可知：極小值極小值 最小值；極大值最小值；極大值 最大值最大值 已有結論：如果函數在已有結論：如果函數在 a,b上連續，則函數在該區間上上連續，則函數在該區間上一定有最大值和最小值。一定有最大值和最小值。求函數最值的一般步驟與方法求函數最值的一般步驟與方法（1）求函數的導數；）求函數的導數；（2）在給定區間（或定義域）內找出所有的駐點及一階導數不存）在給定區間（或定義域）內找出所有的駐點及一階導數不存 在的點；在的點；（3）計算函數在上述點處的函數值，以及在端點處的函數值，并）計算函數