1、-作者xxxx-日期xxxx第四節輸運方程【精品文檔】第四節 系統控制體輸運公式一、系統系統：就是一群流體質點的集合。流體系統在運動過程中盡管形狀在不停地發生變化，但始終包含有相同的流體質點，有確定的質量。系統的特點：1、從流體中取出的一定質量的流體；2、與周圍流體無質量交換（即運動過程始終包含這些確定的流體質點）；3、系統的體積和形狀可以隨時間改變。4、在系統的邊界上可以有能量交換。二、控制體控制體(control volume)：相對于坐標系固定不變的空間體積V 。是為了研究問題方便而取定的。邊界面S 稱為控制面。 控制體的特點：1、從該場中取出某一固定的空間區域，該體積稱為控制體，其表面

2、為控制面。2、控制體的形狀可根據研究的需要任意選定，但一旦選定以后，其形狀位置均不變。3、在控制面上可以存在質量及能量交換。三、輸運方程（雷諾輸運定理）引言：為什么需要雷諾輸運定理？看下圖如此簡單的一個射流擋板受力，擋板受到的力多大？根據牛頓力學，就是求擋板對流體的力多大。擋板對流體施加了力，根據牛頓第二運動定律，應該等于流體系統的動量的變化率。請注意，牛頓力學適用的是形狀、位置、密度不發生變化的系統的動量變化率。系統的動量變化率怎么求？真的要研究一個個的流體微團的來龍去脈，密度、速度變化，再把它們總加起來，合成為系統，研究系統的變化率嗎？不是不可以，這是拉格朗日的研究方法。前面咱們已經親身實

3、踐過了拉格朗日研究方法跡線的求法，計算相對于歐拉的空間點法要復雜許多。而且這樣一個問題，我們實際上并不關心流體的最終去向和流體的形狀、密度會發生什么變化，只是關心板的受力情況。這里流體還是密度不發生變化的不可壓縮的液體，若射流是密度可能發生變化的氣體，用可壓縮流體去研究，情況會變得更加復雜。為了使研究過程以及計算變得簡單，我們想用歐拉的空間的辦法，也就是控制體的辦法解決這個問題。繪出如上圖的控制體，設法用形狀、位置不變的控制體內的動量變化率來表示系統的動量變化率，這就是雷諾輸運定理。整個思路是：板受到的力，等于系統的動量變化率；再用控制體的動量變化率表示系統的變化率，就完成了板受到的力等于控制

4、體動量變化率的轉化；從而，通過計算控制體的動量變化率，求得板受到的力。 另外，還有機械能守恒的問題。機械能守恒也是指的“質量不變的確定物體”的系統的機械能守恒，不是“內含不斷變化的新物體” 的控制體的機械能守恒；因此，用控制體的方法研究機械能守恒，推出著名的伯努利方程，也需要利用雷諾輸運定理。總而言之，將“適用于系統的牛頓力學基本方程”轉化成“適用于空間體積的力學方程”，這就是雷諾輸運定理的用途。下面看看什么是傳說中的雷諾輸運定理 II 控制體 系統 III I x y z o 設N為t瞬時，系統內流體具有的某種物理量；（-讀Eta,伊塔）表示單位質量流體具有的這種物理量。在流場中任選一控制體

5、（實線）II在t瞬時，系統與所選的控制體相重合，系統所占的空間體積為II。在這里用v代表體積，V代表速度。t+t瞬時，由于系統內流體的流動，系統所占的空間體積為IIIII（系統用虛線表示，系統的形狀、大小都發生了變化，大小發生變化，意味著流體的密度發生了變化，也就是流體是可壓縮流體），則t時間間隔內，系統內某種物理量的增量為： 式中的為空間II中的任意某一微元體積，乘以這一微元體積對應的密度（這里允許II內各處的密度不相同，也就是允許流體是可壓縮的），得出某一微元的質量，再乘以得出任意某一微元具有的某種物理量，再在整個II空間積分，得到II空間內具有某種物理量；注意II空間內具有某種物理量是在

6、時刻具有的物理量，在其它時刻具有的物理量，不一定是這個值。后兩項含義一樣，不再贅述。上式右邊加上并減去，用通除再取極限得： （a）對（a）式左端取極限為： (b)上式就是系統內某種物理量對時間的變化率。下面分析（a）右端各項的物理意義。其中（a）式右端第一項的物理意義，對（a）式右端第一項取極限為：注意到，所占的體積，就是控制體的體積。而控制體的體積為了能清晰的從別的體積中識別出來，通常用表示，所以上式可表示為： (c)（c）式表示控制體內流體所具有的某種物理量對時間的變化率。用偏導而不用全導的原因是：控制體內流體所具有的某種物理量不僅僅是隨時間變化；控制體周圍流場的流體具有這種物理量的“密度

7、”若與控制體內流體所具有的某種物理量的“密度”不一致，也會造成由于流場的非均勻性引起的這種物理量之間遷移，進而改變控制體內流體所具有的某種物理量，因此只能用偏導。（這里“密度”概念只是借用，借用來表示單位體積具有的這種物理量的概念） (c)式表示在同一地點上控制體內的某種物理量隨時間的變化率，相當于當地導數項，是由流場的非穩定性引起的。（a）式右端第二項的物理意義是t時間內從控制體流出的流體所具有的某種物理量。則表示單位時間內從控制體流出的某種物理量。A2如上圖，將控制體的外表面分成兩部分，流體流出的那部分面積記作A2，流入控制體的那部分面積記作A1。（流出部分A2+流入部分A2就是控制體全部

8、外表面總面積cs）在面積A2上取微元面積，其上流速為，單位時間從微元面積上流出的流體質量為，單位時間從微元面積上流出的流體所具有的某種物理量為，則單位時間為從A2流出的物理量應是。和都是單位時間從控制體內流出的物理量，因此應該相等，也就是（a）右端第三項的物理意義：表示t時間間隔內流進控制體的流體具有的某種物理量。同理，單位時間內從A1流進的這種物理量應是：“”號是因為在流入條件下，或（cos）為負值。其中表示控制面的微元面積矢量，為d的法向單位矢量，垂直于控制面，規定向外為“”。單位時間內經過整個控制面的某種物理量的通量為：而： (d)其中A1+A2 =CS（控制面），對(1)取極限，將 (

9、b)、(c)、(d)代入(a)則； (e)式(e)表明：系統內部對時間的變化率控制體內對時間的變化率單位時間經過控制面的的凈通量式（e）即為用“空間體積（即控制體）”的辦法表示“系統內某種物理量N”隨時間的變化率，稱為輸運公式。就是將拉格朗日法中，求某種物理量的變化率轉化為歐拉法的計算公式，是歐拉法中的控制體法的基本公式。該式表明，流體系統內部的某種物理量N的時間變化率數值上等于兩部分的和：一部分是由于流場的非穩定性引起的控制體內N的變化率，相當于當地導數項，另一部分是流體系統通過控制體表面的單位時間的凈通量，是流場的非均勻性引起的，相當于遷移導數項。物理量N可以是標量，如質量、能量等，也可以

10、是矢量，如動量和動量矩等。對定常流動，控制體內各物理量不隨時間變化，所以：則： (g)即在定常流動的條件下，系統內部的流體所具有的某種物理量的變化僅與通過控制面的流動有關。第五節 連續性方程 連續性方程研究的是質量，也叫質量方程，或質量守恒方程；說的是系統的質量不隨時間發生變化；根據系統定義，系統就是從流體中取出的一定質量的流體，且不與周圍流體發生質量交換，因此系統的質量自然不隨時間發生變化。寫成方程就是就是=0，這里N是系統質量，其實就是系統的質量m不隨時間變化，即=0 用控制體方法表示系統的質量不隨時間發生變化這件事，就是下面這個過程：首先，輸運方程的通式是：，前面已經說了，系統的質量m不隨時間變化，所以=0，所以用控制體表示系統的質量m不隨時間變化這件事，就是：=0翻譯成俗話就是：控制體內質量隨時間的變化 加上 單位時間內進、出控制體的外表面（控制面）的質量等于零。當研究對象是質量時，就等于數字1；原因是的定義就是：1個單位質量的流體具有的某種物理量，這個物理量現在是質量，那么這句就變成1個單位質量的流體具有的質量就是1個單位，所以=1；所以系統質量守恒這件事，用控制表示，就成為： 在書寫公式的時候，我們反復用了這