1、利用矩陣進行坐標轉換之前做拓撲圖，本來打算整一套坐標系統在里面的，后來因為時間原因暫時用了最原始的方法實現。現在稍稍得閑，重新開始思考這個問題。不過在搜索的時候，意外發現.Net Framework類庫中自帶的有實現坐標系轉換功能的類。Reflector了一把，發現代碼看不懂了都是利用矩陣操作的。矩陣這玩意兒，幾年沒用早忘完了。于是認真學習了一把，順便把如何用矩陣進行坐標轉換的過程記錄和注解一下。文中部分內容摘取自MSDN，搜索“變換的矩陣表示形式”即可找到。首先review一下矩陣的基礎知識：m×n 矩陣是排列在 m 行和 n 列中的一系列數。下圖顯示幾個矩陣。 可以通過

2、將單個元素相加來加合兩個尺寸相同的矩陣。下圖顯示了兩個矩陣相加的示例。 m×n 矩陣可與一個 n×p 矩陣相乘，結果為一個 m×p 矩陣。第一個矩陣的列數必須與第二個矩陣的行數相同。例如，一個 4×2 矩陣與一個 2×3 矩陣相乘，產生一個 4×3 矩陣。矩陣的行列的平面點可視為矢量。例如，(2, 5) 是具有兩個組件的矢量，(3, 7, 1) 是具有三個組件的矢量。兩個矢量的點積定義如下：(a, b) ? (c, d) = ac + bd(a, b, c) ? (d, e, f) = ad + be + cf例如，(2,

3、3) 和 (5, 4) 的點積是 (2)(5) + (3)(4) = 22。(2, 5, 1) 和 (4, 3, 1) 的點積是 (2)(4) + (5)(3) + (1)(1) = 24。請注意，兩個矢量的點積是數字，而不是另一個矢量。另外請注意，只有當兩個矢量的組件數相同時，才能計算點積。將 A(i, j) 作為矩陣 A 中第 i 行、第 j 列的項。例如，A（3, 2）是矩陣 A 中第 3 行、第 2 列的項。假定 A、B 和 C 是矩陣，且 AB = C，則 C 的項計算如下：C(i, j) =（A 的第 i 行）?（B 的第 j 列）下圖顯示了矩陣相乘的幾個示例。以第二個等式為例，假

4、設等式兩邊的矩陣分別是a、b、c，1*3的矩陣和3*2的矩陣相乘，得到的結果為1*2的矩陣。其中c00 = a00*b00+a01*b10+a02*b20，c01=a00*b01+a01*b11+a02*b21。矩陣的加法、乘法，可以用來做坐標轉換。我們通常使用3*3(如果不需要旋轉，則2*2的矩陣即可)的矩陣來做平面上的各種坐標轉換，包括x/y軸的平移、旋轉。現在來看一個簡單的坐標系轉換的例子：假設我們的客戶區分辨率是100*100，要在客戶區中心點畫一個點，這個點的坐標是(x, y)。現在如果我們調整了客戶區分辨率為400*300，此時如果還需要保持這個點的相對位置不變，計算他的坐標應該是

5、(x * 400 / 100, y * 300 / 100)。這個計算過程很簡單，那么用矩陣操作應該如何來實現呢？我們將這個點視為一個1*2的矩陣，將其乘以一個2*2的矩陣，得出的仍然是一個1*2的矩陣，就是新的坐標了。由于屏幕分辨率在x、y軸分別擴大為原來的4倍和3倍，那么我們只要將點的x、y軸坐標都擴大到原來的4、3倍即可。公式如下： 等式左邊的第二個矩陣，就是用來實現坐標轉換的矩陣。其中b00就是x軸的擴大倍數，b11就是在y軸上的擴大倍數。這里面b01和b10永遠是0。坐標系的這種轉換，叫做線性變換。OK。看完這個例子，是不是覺得用矩陣比直接計算還麻煩？嗯，對于這種簡單的情況

6、是這樣的。不過別急，繼續看坐標系旋轉的情況，如果現在要求這個客戶區逆時針旋轉30度，要保持這個點的相對位置不變，他的新坐標應該是多少呢？普通的計算的公式就不陳述了，這就是個初中幾何題目。我們直接來看怎樣通過矩陣操作實現。首先看公式：在二維空間中，旋轉可以用一個單一的角 定義。作為約定，正角表示逆時針旋轉。關于原點逆時針旋轉 的矩陣是: 也就是說，逆時針旋轉30度的新坐標就是：當然，除此之外，坐標系還有平移，但是這個就簡單了，只是一個簡單的矩陣加法。比如(x, y)向右平移一個單位，用矩陣就是x, y + 1, 0就是是(x + 1, y)。下圖顯示了應用于點 (2, 1) 的幾個變換

7、： 前圖中顯示的所有變換都是線性變換。某些其他變換（如平移）不是線性的，不能表示為與 2×2 矩陣相乘的形式。假定您要從點 (2, 1) 開始，將其旋轉 90 度，在 x 方向將其平移 3 個單位，在 y 方向將其平移 4 個單位。可通過先使用矩陣乘法再使用矩陣加法來完成此操作。后面跟一平移（與 1×2 矩陣相加）的線性變換（與 2×2 矩陣相乘）稱為仿射變換，如上圖所示。放射變換（先乘后加）可以通過乘以一個3*3的矩陣來實現，若要使其起作用，平面上的點必須存儲于具有虛擬第三坐標的 1×3 矩陣中。通常的方法是使所有的第三坐標等于 1。例如，矩

8、陣 2 1 1 代表點 (2, 1)。下圖演示了表示為與單個 3×3 矩陣相乘的仿射變換（旋轉 90 度；在 x 方向上平移 3 個單位，在 y 方向上平移 4 個單位）： 在前面的示例中，點 (2, 1) 映射到了點 (2, 6)。請注意，3×3 矩陣的第三列包含數字 0，0，1。對于仿射變換的 3×3 矩陣而言，情況將總是如此。重要的數字是列 1 和列 2 中的 6 個數字。矩陣左上角的 2×2 部分表示變換的線性部分，第 3 行中的前兩項表示平移。在使用3*3的矩陣做仿射變換時候，表示點的矩陣變成了一個1*3矩陣，這個矩陣中的最后一個值（

9、a02）必須設置成1。對于3*3矩陣b，其最后一列的值是多少是沒有關系的，因為他們不會影響結果中的前兩列。不過如上，經常將他們設置為0，0，1。這一列對于坐標轉換的結果并沒有任何影響，但是他們是必須的，因為矩陣相乘必須滿足開篇所講的“相乘的兩個矩陣第一個矩陣的列數必須與第二個矩陣的行數相同”。 在.Net Framework中，又一個矩陣類“Matrix”。其內置了點坐標轉換（TransformPoints）、平移（Translate）、縮放（Scale）、旋轉（Rotate）方法。下面的示例創建了復合變換（先旋轉 30 度，再在 y 方向上縮放 2 倍，然后在 x 方向平移 5 個

10、單位）的矩陣：Matrix myMatrix = new Matrix();myMatrix.Rotate(30);myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append);myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append); 除了Matrix類以外，.Net Framework中也有其他用于坐標系轉換的類，比如System.Drawing.Graphics。具體用法請查閱相關文檔。 以上只是利用矩陣進行平面坐標系轉換的方法。如果是三位坐標系，也是可以利用矩陣來操作的，但Ma