1、充分必要條件常見(jiàn)題型 山東 胡大波一、 直接判斷型直接判斷型即利用充分必要條件的定義，其思路為：（1）首先分清條件是什么，結(jié)論是什么；（2）然后嘗試用條件推結(jié)論，或用結(jié)論推條件；（舉反例說(shuō)明其不成立是常用的推理方法） （3）最后再指出條件是結(jié)論的什么條件。 例1、 “a1”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的（ ）a、充分不必要條件 b、必要不充分條件c、充要條件 d、既不充分也不必要條件 解：當(dāng)a1且時(shí)，x1，顯然函數(shù)f（x）x1在區(qū)間上為增函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)xa在區(qū)間為增函數(shù)，故選a.點(diǎn)評(píng)：在判斷充分條件、必要條件、充要條件時(shí)，首先應(yīng)弄清哪一個(gè)是“條件”，哪一個(gè)是“結(jié)論”，因?yàn)橥瑯邮莂b，如果a是

2、條件，b是結(jié)論，則a是b成立的充分條件；如果b是條件，a是結(jié)論，則b是a成立的必要條件，其次，再判斷是條件蘊(yùn)含結(jié)論，還是結(jié)論蘊(yùn)含條件，即判斷到底向哪一邊推結(jié)論才成立，明確了這兩點(diǎn)，就不難對(duì)問(wèn)題作出正確的判斷。二、集合判斷型例2、設(shè)p：，q：，則p是q的（ ）a、充分不必要條件 b、必要不充分條件c、充要條件 d、既不充分也不必要條件 解：由或，即；由，即，顯然，則p是q的充分不必要條件，故選a.點(diǎn)評(píng)：充要條件可以從集合的包含關(guān)系的角度來(lái)理解它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，設(shè)滿(mǎn)足條件p的對(duì)象組成集合p，滿(mǎn)足條件q的對(duì)象組成集合q.（1）若，則p為q的充分條件，其中當(dāng)時(shí)，p為q的充分不必要條件。（2）若，則p

3、為q的必要條件，其中當(dāng)時(shí)，p為q的必要不充分條件。（3）若，且，即pq，則p為q的充要條件。（4）如果以上三種關(guān)系均不成立，即p、q之間沒(méi)有包含或相等關(guān)系（pq且qp）此時(shí)或p、q既有公共元素，也有非公共元素，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件。三、傳遞法判斷型若，則，即a是d的充分條件，利用這一結(jié)論可研究多個(gè)命題之間的充要關(guān)系。例3、已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，你們s，r，p分別是q的什么條件？解析：用箭頭符號(hào)“”畫(huà)出表示題設(shè)條件的圖形（如圖），由圖，知srq，所以sq，又qs，所以s，即s是q的充要條件。由rq，qsr，得rq，即r是q的充要條件

4、。由qsrp，得qp，故p是q的必要條件。 四、條件證明型 關(guān)鍵是弄清條件與結(jié)論之間的關(guān)系，分兩步證明，即證明充分性和必要性。 例4、設(shè)a，b，c為abc的三邊，求證：方程與有公共根的充要條件是 分析：區(qū)分條件與結(jié)論，證明充分性是由條件結(jié)論，證明必要性是由結(jié)論條件。 證明：充分性：因?yàn)椋杂谑欠匠炭苫癁椋裕裕摲匠逃卸?同樣另一方程也可化為，即，也有二根，可以發(fā)現(xiàn)，所以方程有公共根。必要性：設(shè)是方程的公共根，則 由（1）（2）得 代入（1）并整理可得所以，所以結(jié)論成立。點(diǎn)評(píng)：對(duì)論證充要條件要分清“充分性”和“必要性”，然后分別作出相應(yīng)的證明。五、條件探索型探求充要條件的問(wèn)題一般有兩種處理方法，一是將題意等價(jià)轉(zhuǎn)化，進(jìn)而化簡(jiǎn)求得，二是先由題意求出條件，再證明充分性。例5、已知關(guān)于x的一元二次方程（）， 求方程和的根都是整數(shù)的充要條件分析：根據(jù)方程和有實(shí)根且實(shí)根為整數(shù)，先求出整數(shù)m，然后再確定它是否具有充分性。解：方程有實(shí)數(shù)根的充要條件，解得所以，而，故m1或m0或m1當(dāng)m1時(shí)，方程為，無(wú)整數(shù)根；當(dāng)m0時(shí)，方程為，無(wú)整數(shù)根；當(dāng)m1時(shí)，方程為，方程，和均有整數(shù)根。從而，和均有整數(shù)根m1；反之，1，方程為，方程為，和均有整數(shù)根，所以和均有整數(shù)根的充要條件是1.