1、1第五節第五節 塑性變形時應力應變關系塑性變形時應力應變關系（本構方程）（本構方程） 上一節討論了屈服準則，主要研上一節討論了屈服準則，主要研究材料由彈性變形過渡塑性變形、并究材料由彈性變形過渡塑性變形、并使繼續塑性變形進行必須滿足的條件，使繼續塑性變形進行必須滿足的條件，前面我們還討論了應力分析和應變分前面我們還討論了應力分析和應變分析。析。但但塑性變形時應力與應變之間塑性變形時應力與應變之間存在什存在什么關系么關系。我們尚未涉及。我們尚未涉及。2它和屈服準則一樣，是求解塑性成形問題的補充它和屈服準則一樣，是求解塑性成形問題的補充方程。方程。概念：概念：塑性變形時應力應變之間的關系叫做塑性變

2、形時應力應變之間的關系叫做本構關系本構關系，這種，這種關系的關系的數學表達式數學表達式稱為稱為本構方程。本構方程。這屬于物理學的范疇，也叫這屬于物理學的范疇，也叫物理物理方程。方程。3眾所周知，眾所周知，塑性變形塑性變形時應力與應變之間時應力與應變之間不存在線不存在線形關系。形關系。但究竟是什么關系，有哪幾種理論，為但究竟是什么關系，有哪幾種理論，為工程上應用給出一些定性的判據，這正是工程上應用給出一些定性的判據，這正是我們所我們所要討論的問題。要討論的問題。4金屬（彈性、塑性）變形過程和特點金屬（彈性、塑性）變形過程和特點以單向拉伸為例說明塑性變形過程和特點，如圖以單向拉伸為例說明塑性變形過

3、程和特點，如圖. .金屬變形分為三個階段金屬變形分為三個階段: :彈性；彈性；均勻塑性變形；均勻塑性變形；破裂。破裂。彈性階段彈性階段, ,即當即當s s以后，變形視作以后，變形視作塑性階段塑性階段。是非線性關系。是非線性關系。 當應力達到當應力達到b b之后，變形轉為之后，變形轉為不均勻不均勻變形，呈不穩變形，呈不穩定狀態。定狀態。b b點的力學條件為點的力學條件為d=0d=0或或dP=0dP=0。經短暫的。經短暫的不不穩定穩定變形，試樣以斷裂告終。變形，試樣以斷裂告終。6 若在均勻若在均勻塑性變形階段塑性變形階段出現卸載現象，一部分變形得出現卸載現象，一部分變形得以恢復，另一部分則成為以恢

4、復，另一部分則成為永久變形永久變形。卸載階段。卸載階段呈線呈線性關系。這說明了塑性變形時，性關系。這說明了塑性變形時，彈性變形依然存在彈性變形依然存在。彈塑性共存彈塑性共存與與加載和卸載加載和卸載過程不同的過程不同的關系是塑性變關系是塑性變形的形的兩個基本特征。兩個基本特征。 由于加載、卸載規律不同，導由于加載、卸載規律不同，導致致關系關系不唯一不唯一。只有知。只有知道變形歷史，才能得到一一對道變形歷史，才能得到一一對應關系。應關系。 即塑性變形與變形歷史或即塑性變形與變形歷史或路徑有關。路徑有關。這是塑性變形的這是塑性變形的第第三個重要特征。三個重要特征。 永久變形永久變形7 事實上，事實上

5、，s s以后的點都可以看成是重新加以后的點都可以看成是重新加載時的屈服點。以載時的屈服點。以g g點為例，若卸載點為例，若卸載彈性關彈性關系，只要系，只要s s以后的點都可以看成是重新加以后的點都可以看成是重新加載時的屈服點。以載時的屈服點。以g g點為例，若卸載點為例，若卸載彈性關彈性關系，只要系，只要s s ，這一現象，這一現象為為硬化或強化硬化或強化，是塑性變，是塑性變形的形的第四個顯著特點。第四個顯著特點。8 5-1 5-1 彈性應力彈性應力- -應變關系應變關系 在單向應力狀態時在單向應力狀態時, ,材料處于線性彈性階段的應力應材料處于線性彈性階段的應力應變關系是變關系是虎克定律虎克

6、定律，虎克定律的表達式為：，虎克定律的表達式為： EG2一一 廣義虎克定律廣義虎克定律應力應變線性關系應力應變線性關系即當應力小于屈服應力即當應力小于屈服應力s s時時, ,應應力力與應變與應變, ,存在上述線性關系存在上述線性關系9E E 彈性模量彈性模量; ; 泊松比泊松比; G; G剪切彈性模量剪切彈性模量. . GEGEGExzyxxyzzxzxzxzyyyzyzzyxx2;)(12;)(12;)(1)1 (2EG三個彈性常數三個彈性常數E E、G G之間有以下關系：之間有以下關系：廣義虎克定律廣義虎克定律 把它推廣到一般應力狀態下的各向同性材料，便稱為把它推廣到一般應力狀態下的各向同

7、性材料，便稱為廣義虎克定律。廣義虎克定律。 10彈性變形中包含了體積和形狀變化彈性變形中包含了體積和形狀變化)(21zyxzyxEmmE21上式表明，上式表明，彈性變形彈性變形時其單位體積變化率時其單位體積變化率（=3=3m m）與平均應力成正比，說明）與平均應力成正比，說明應力球張應力球張量量使物體產生使物體產生彈性的體積改變彈性的體積改變。（。（即為體積變即為體積變化化m m和靜水壓力和靜水壓力m m之間的關系之間的關系）金金屬屬塑塑性性成成形形原原理理應應力力應應變變關關系系三式相加：三式相加：11mxmxmxGE211xxG21即即又又同理同理21yyGzzG21ijijG21上式為上

8、式為應變偏張量應變偏張量與與應力偏張量應力偏張量的關系，的關系，形狀變化形狀變化與與應應力偏張量力偏張量間關系。間關系。12由于應變是張量，可以分解為偏張量和球張量，即由于應變是張量，可以分解為偏張量和球張量，即mijijij則，廣義虎克定律張量表達：則，廣義虎克定律張量表達： mijijijEG2121金金屬屬塑塑性性成成形形原原理理應應力力應應變變關關系系形狀變化形狀變化體積變化體積變化為泊松比5 . 00ezeyex13Gzxzxyzyzxyxyzzyyxx21上式表明：應變莫爾圓與應力莫爾圓幾何相似，且成上式表明：應變莫爾圓與應力莫爾圓幾何相似，且成正比。正比。 金屬塑性成形原理應力應

9、變關系Gzxzxyzyzxyxyxzxzzyzyyxyx21及廣義虎克定律還可以寫成廣義虎克定律還可以寫成比例及差比比例及差比的形式的形式 14應力與應變完全成線性關系。應力與應變完全成線性關系。應力主軸與全量應變主軸重合應力主軸與全量應變主軸重合彈性變形是彈性變形是可逆可逆的，與應變歷史的，與應變歷史（加載過程無關），應力與應變（加載過程無關），應力與應變之間存在統一的之間存在統一的單值關系單值關系. .彈性變形時，應力張量使物體產彈性變形時，應力張量使物體產生體積變化，泊松比小于生體積變化，泊松比小于0.5.0.5.彈性變形時的應力應變關系的特點彈性變形時的應力應變關系的特點5 . 002

10、1, 021，即：mmE15體積不變，泊松比體積不變，泊松比v=0.5v=0.55.2 5.2 塑性變形時應力應變關系特點塑性變形時應力應變關系特點5 . 0021, 021，即：mmE應力、應變為非線性關系應力、應變為非線性關系 全量應變與應力主軸不一定重合全量應變與應力主軸不一定重合 塑性變化不可逆塑性變化不可逆無單值一一無單值一一對應關系對應關系與加載路徑有關與加載路徑有關 對于應變硬化材料，卸載后的屈對于應變硬化材料，卸載后的屈服應力比初始屈服應力高。服應力比初始屈服應力高。165-2 5-2 彈性、塑性應力應變關系特點（彈性、塑性應力應變關系特點（歸納歸納）應力與應變應力與應變線形關

11、系線形關系 應力應變應力應變對應關系對應關系 彈性變形彈性變形應力與應應力與應變主軸變主軸 塑性變形塑性變形 線形關系線形關系 非線形非線形 單值關系單值關系一一對應一一對應 不一一對應，與加載不一一對應，與加載歷史加載路線有關歷史加載路線有關 重合重合 全量應變與應力主軸，全量應變與應力主軸，不一定重合，增量應變不一定重合，增量應變與應力主軸，重合與應力主軸，重合 體積變化體積變化 為泊松比5 . 00ezeyex0pzpypx0215 . 0體積不變體積不變 17理想塑性材料應力應變非單值性理想塑性材料應力應變非單值性s同一同一e e 可對應不同的應變可對應不同的應變值值 e e 、f f

12、 同一同一s s可對應不同的應變值可對應不同的應變值1 1、2 2 塑性應力應變為不一一對應應力應變為不一一對應虛線為理想塑性材料虛線為理想塑性材料18為什么塑性變形與加載路徑和加載歷史有關？為什么塑性變形與加載路徑和加載歷史有關？ 從單拉實驗可以看到，屈服后加載才有新的塑性變形發生。但從單拉實驗可以看到，屈服后加載才有新的塑性變形發生。但怎樣加載？是一直加載還是加載卸載、再加載？怎樣加載？是一直加載還是加載卸載、再加載？這里存在一個路徑這里存在一個路徑問題問題，也即應力點在應力空間或，也即應力點在應力空間或平面變動的軌跡問題。不同的路平面變動的軌跡問題。不同的路徑或者歷史會產生不同的塑性變形

13、。徑或者歷史會產生不同的塑性變形。 19 以金屬薄壁管拉扭復合作用為例。設其屈服面為如圖以金屬薄壁管拉扭復合作用為例。設其屈服面為如圖所示。所示。薄壁管受軸向拉力薄壁管受軸向拉力和扭矩作用和扭矩作用P PP PM MM Mxyxy20 路徑路徑1 1為為OACEOACE先拉伸至先拉伸至 點，然后扭矩逐漸增大，拉力點，然后扭矩逐漸增大，拉力逐漸減小，使應力點沿逐漸減小，使應力點沿CECE變載至變載至 點，這時總的塑性變形點，這時總的塑性變形為（為（P Pc c）。）。 路徑路徑2 2為為OFEOFE，從原點加載徑，從原點加載徑F F點到達點到達E E點，塑性變形為點，塑性變形為（P PE E、P

14、 PE E）。）。盡管路徑盡管路徑1 1和路徑和路徑2 2都有相同的都有相同的最最終應力終應力狀態，但產生的狀態，但產生的塑性變形塑性變形不同。不同。因此，欲求因此，欲求-關系，就必須弄關系，就必須弄清是清是哪條路徑下哪條路徑下的的-關系。關系。21 加載路線加載路線ACAC，應力為，應力為c c ，而應變為，而應變為1 1=c c ，2 2=3 3 = -= -c c/2/2。 若卸載至若卸載至E E點，由于點，由于塑性變形不可逆塑性變形不可逆，E E點應變仍然為點應變仍然為C C點應變，再施加切應力點應變，再施加切應力EFEF，此時應力為，此時應力為F F、F F，而，而F F點應變仍然為

15、點應變仍然為C C點應變，因此，點應變，因此，F F點點C C點點應變狀態相同應變狀態相同( (即即1 1=c c，2 2=3 3=-=-c/2c/2。) )，而，而應力不同應力不同，不一一對應。，不一一對應。22 因此，一般情況下只能建立起應力和應變因此，一般情況下只能建立起應力和應變增增量量之間的關系，僅在之間的關系，僅在簡單加載簡單加載的條件下，應力主的條件下，應力主軸與應變主軸重合，才可以建立全量關系。軸與應變主軸重合，才可以建立全量關系。 由于加載路線不同，由于加載路線不同，同一種應力狀態同一種應力狀態可以對可以對應應不同的應變狀態不同的應變狀態; ; 同一種應變狀態同一種應變狀態，

16、也可以對應幾種應力狀態，也可以對應幾種應力狀態，而且應力與應變主軸不一定重合。而且應力與應變主軸不一定重合。23J JI IA AD DB BC C),(ffFFE EO O初始屈服軌跡初始屈服軌跡后繼屈服軌跡后繼屈服軌跡b )b )24JIADBC),(ffFFEO初始屈服軌跡后繼屈服軌跡b )251 1、塑性變形時，同一種應力狀態，就有多種應變狀態。、塑性變形時，同一種應力狀態，就有多種應變狀態。2 2、同一種應變狀態，就有多種應力狀態而且應力應變主軸不一定、同一種應變狀態，就有多種應力狀態而且應力應變主軸不一定重合。重合。3 3、對于硬化材料，簡單加載時，它們之間有對應關系，而且應力、對

17、于硬化材料，簡單加載時，它們之間有對應關系，而且應力應變主軸重合。應變主軸重合。 簡單加載的定義：簡單加載的定義：在加載（或卸載）過程中，從一開始按某一參在加載（或卸載）過程中，從一開始按某一參數成比例變化，即中間無停頓和變化，這時應力和應變就會遵循一數成比例變化，即中間無停頓和變化，這時應力和應變就會遵循一定的規律。定的規律。結論：結論：1 12 23 34 4O O 加載途徑加載途徑復雜加載途徑復雜加載途徑簡單加載途徑簡單加載途徑26 5-3 5-3 塑性變形的增量理論（流動理論）塑性變形的增量理論（流動理論） 當受力物體的一點應力狀態滿足屈服條當受力物體的一點應力狀態滿足屈服條件而進入塑

18、性階段后件而進入塑性階段后, ,彈性本構關系對該點就彈性本構關系對該點就不適用。不適用。 因而因而, ,需要建立塑性階段的本構關系來描述需要建立塑性階段的本構關系來描述塑性階段的應力和應變之間塑性階段的應力和應變之間或或應力增量和應應力增量和應變增量之間的關系。變增量之間的關系。27 前面講到前面講到: :塑性階段的應力和應變之關系的重塑性階段的應力和應變之關系的重要特點是它的要特點是它的非線性和不唯一性非線性和不唯一性. . 所謂的所謂的非線性非線性是指應力和應變關系不是線性關是指應力和應變關系不是線性關系系; ; 所謂的所謂的不唯一性不唯一性是指應力和應變不能由應力是指應力和應變不能由應力

19、唯唯一一確定。確定。 因此因此, ,在塑性階段在塑性階段, ,應變狀態不但與應力狀態有應變狀態不但與應力狀態有關關, ,而且依賴于整個的應力歷史而且依賴于整個的應力歷史, ,或者說或者說, ,應變是應應變是應力和應力力和應力歷史的函數。歷史的函數。28 以上說明，塑性應變與加載路徑有關，所以，以上說明，塑性應變與加載路徑有關，所以，我們必須討論應力的變化特征和應變的的變化。并我們必須討論應力的變化特征和應變的的變化。并且將進一步限定從考慮其無窮小的變化，計算其全且將進一步限定從考慮其無窮小的變化，計算其全部加載歷史過程的部加載歷史過程的增量增量，之后用積分或求和的辦法，之后用積分或求和的辦法求

20、出求出總應變總應變，這就是為什么塑性理論，這就是為什么塑性理論具有增量特性具有增量特性的原因。的原因。 因此塑性本構關系本質上是因此塑性本構關系本質上是增量增量關系。因而關系。因而, ,在一般情況下，難以一概像虎克定律那樣建立全量在一般情況下，難以一概像虎克定律那樣建立全量的塑性應力應變關系。的塑性應力應變關系。 以下討論增量理論以下討論增量理論. .29 增量理論又稱增量理論又稱流動理論流動理論，是描述材料處，是描述材料處于塑性狀態時，應力與于塑性狀態時，應力與應變增量應變增量或或應變速率應變速率之間關系的理論。之間關系的理論。 由于它是針對加載過程的每一瞬間，認為由于它是針對加載過程的每一

21、瞬間，認為應力狀態確定的不是全量應變，而是該瞬時應力狀態確定的不是全量應變，而是該瞬時的的應變增量，這樣就撇開了加載路線和加載應變增量，這樣就撇開了加載路線和加載歷史的影響。歷史的影響。增量理論的定義增量理論的定義30 前面我們講過對于理想塑性材料，即使在單向前面我們講過對于理想塑性材料，即使在單向應力狀態下，應力應變也不能成為單值關系，對應力狀態下，應力應變也不能成為單值關系，對于于硬化材料硬化材料的復雜應力狀態下，應變也不能象彈的復雜應力狀態下，應變也不能象彈性問題那樣單值的確定的，性問題那樣單值的確定的，而是依賴于加載過程而是依賴于加載過程。理想塑性材料應力應變非單值性理想塑性材料應力應

22、變非單值性31 在塑性理論中，在塑性理論中，增量理論提出增量理論提出的比的比全量理論全量理論早早，科學家，科學家LevyLevy（列維）于（列維）于18711871年提出了塑性變年提出了塑性變化應力化應力應變關系，但當時并沒有被人們所知。應變關系，但當時并沒有被人們所知。 不過對大多數金屬而言，最令人滿意的是不過對大多數金屬而言，最令人滿意的是Mises在在1913年發表的準則，同時年發表的準則，同時Mises還還獨立獨立地地提出類似于列維的方程。提出類似于列維的方程。自從自從Mises的屈服準則及的屈服準則及應力應變應力應變關系發表以后，引起強烈的反應，使塑關系發表以后，引起強烈的反應，使塑

23、性力學得到重大的進展。由于性力學得到重大的進展。由于MisesMises提出了相同提出了相同的的方程，后來被人們接受，所以被稱為方程，后來被人們接受，所以被稱為列維列維米塞米塞斯方程斯方程，以后又產生了普郎特，以后又產生了普郎特勞斯方程。勞斯方程。 321937年那達依年那達依(Nadai)考慮了材料的加工硬化，建立了大考慮了材料的加工硬化，建立了大變形情況下的應力應變關系。變形情況下的應力應變關系。1943年依留申年依留申()的的“微小彈塑性變形理論微小彈塑性變形理論”相相繼問世，由于計算更方便得到歡迎。繼問世，由于計算更方便得到歡迎。1924年漢基年漢基(Henky)又采用又采用米塞斯米塞

24、斯屈服準則提出另一理屈服準則提出另一理論，對于解決論，對于解決塑性微小變形問題塑性微小變形問題很方便。很方便。1920年路易斯年路易斯(Reuss)依照普朗特依照普朗特(Pandtl)觀點，考慮觀點，考慮了了彈性應變分量彈性應變分量，把普朗特所得二階方程式推廣到三階，把普朗特所得二階方程式推廣到三階表達式，使表達式，使列維列維米塞斯米塞斯理論完善化。理論完善化。331 1 理論方程（適用于服從理論方程（適用于服從MisesMises準則的理想剛塑性）準則的理想剛塑性）四個基本假設：四個基本假設：1 1）對于）對于理想剛塑性材料理想剛塑性材料，彈性應變增量為零，塑性應變增量就，彈性應變增量為零，

25、塑性應變增量就是總應變增量是總應變增量2 2）材料符合）材料符合MisesMises屈服準則，屈服準則，3 3）塑性變形時，體積不變）塑性變形時，體積不變4 4）應力主軸與應變增量主軸重合）應力主軸與應變增量主軸重合s一、一、 Levy-MisesLevy-Mises方程方程Y Y0dddddd321zyxijijdd3434在以上基本假設基礎上，應變在以上基本假設基礎上，應變增量增量與應力與應力偏張量成正比，即偏張量成正比，即ddijijY Y35ddijij式中：式中：d dij ij 為應變增量為應變增量ijij為應力偏張量為應力偏張量d d 為正的瞬時比例常數。為正的瞬時比例常數。即應

26、變即應變增量增量與應力偏張量成正比與應力偏張量成正比2 2 基本方程式：基本方程式：方程式反映了如下概念：方程式反映了如下概念：塑性塑性應變應變增量增量偏量與應力偏張量主軸重合，即偏量與應力偏張量主軸重合，即塑性塑性應變應變增量增量與應力主軸重合。與應力主軸重合。應變應變增量增量與應力偏張量成正比。與應力偏張量成正比。36說明：說明：該理論僅使用于理想剛塑性材該理論僅使用于理想剛塑性材料，即增量中的料，即增量中的彈性彈性為零。（也即為為零。（也即為應變增量只含有塑性應變增量。）應變增量只含有塑性應變增量。）利用等比定律將利用等比定律將Levy-MisesLevy-Mises方程化為：方程化為：

27、 或或 （ a a） （b b） 上式說明應力莫爾圓和應變增量莫爾圓在幾何圖形上是相似的，但上式說明應力莫爾圓和應變增量莫爾圓在幾何圖形上是相似的，但圓點的位置不同。圓點的位置不同。yxyxdddzyzyddxzxzdd2121ddd3222dd1313dd37塑性應力莫爾圓與應變增量莫爾圓金屬塑性成形原理應力應變關系m38由金屬塑性成形原理應力應變關系222dddyxyx222dddzyzy222dddxzxzddxyxyddzyzyddzxxz得22266ddxyxy （C） （d）22266ddxzzx22266ddzyzydd的求法：為了確定比例系數的求法：為了確定比例系數 dd將（將

28、（a a）式變成：）式變成：39將（c）,（d）對應相加得：2yxdd2zydd2xzdd)(6222zxzyxyddd)(6)()()(2222222zxyzxyxzzyyxd對于理想塑性材料 s2222222692zxzyxyxzzyyxdddddddddd2)(6)()()(21222222zxyzxyxzzyyx222229dddd23d 等效應變增量ddijij2340Levy-Mises方程可寫成： 金屬塑性成形原理應力應變關系)(21zyxxdd)(21xzyydd)(21yxzzddxyxydd23zyzydd23zxzxdd23Levy-Mises方程 上式中i=j 的式子d

29、ddmxxx)()(2132zyxd)(21zyxd41&利用利用Levy-MisesLevy-Mises方程的推證的結論：可以證方程的推證的結論：可以證明明0zdyxz21& 1）塑性平面應變時， 有420zyxddd由0yxdd得代入yxdd,值得簡化得yxz210zd0)2()2(ddzxyzyx證明：因為：證明：因為：)(21yxzzdd或直接代入43mmP即dddd證明：(2)(2)某些軸對稱狀態（例如圓柱體無摩擦均勻鐓粗等）某些軸對稱狀態（例如圓柱體無摩擦均勻鐓粗等）44（1 1）已知已知應變增量應變增量和特定的材料的和特定的材料的s s，可以求，可以求出出應力偏量

30、分量應力偏量分量或或正應力之差正應力之差（1 12 2）、（）、（2 23 3）、（）、（3 31 1），但），但一般求不出正應力一般求不出正應力1 1、2 2、3 3值值，因為這時，因為這時平均應力不知道。平均應力不知道。（2 2）已知應力分量，能求出應力偏量，只能求已知應力分量，能求出應力偏量，只能求得得應變增量的比值應變增量的比值，但不能求出具體數值，但不能求出具體數值，也即也即對于理想塑性材料應變的分量與應力分量之間無對于理想塑性材料應變的分量與應力分量之間無單值關系。單值關系。4 4 對對Levy-MisesLevy-Mises方程的幾點說明方程的幾點說明45y（3 3）若兩若兩個個

31、應力相等，則由于應力分量應力相等，則由于應力分量偏量相偏量相同同，相應的應變增量也相同，反之亦然。，相應的應變增量也相同，反之亦然。（4 4）若某一方向的應變增量為零，則該方向的）若某一方向的應變增量為零，則該方向的正應力等于平均應力正應力等于平均應力m m ，在平面應變時，在平面應變時，若有若有1 12 23 3，以及沿，以及沿2 2方向上的方向上的應變增量為零，應變增量為零，則有則有2312m46提問：提問：1 1本構關系本構關系2 2增量理論增量理論3 3彈性變形應力應變關系有何特點？彈性變形應力應變關系有何特點？4 4塑性變形應力應變關系有何特點？塑性變形應力應變關系有何特點？5 5L

32、evy-MisesLevy-Mises增量理論有哪些基本假設？增量理論有哪些基本假設？47判斷題（正確為判斷題（正確為T T，錯誤為，錯誤為F F）1 1塑性變形時應力與應變之間存在線塑性變形時應力與應變之間存在線性性關系。關系。（） 2 2彈性變形時，應力與應變成線性關系。（彈性變形時，應力與應變成線性關系。（ ） 3 3塑性變形時，同一種應力狀態，就有多種應變塑性變形時，同一種應力狀態，就有多種應變狀態。狀態。 （ ） 4 4塑性變形時，同一種應變狀態，就有多種應力塑性變形時，同一種應變狀態，就有多種應力狀態。狀態。 （ ） 5 5對于理想剛塑性材料，塑性應變增量就是總應對于理想剛塑性材料

33、，塑性應變增量就是總應變增量。變增量。 （ ） 486 6已知應變增量和特定的材料的已知應變增量和特定的材料的ss，可以求出正，可以求出正應力值。應力值。 （ ） 7 7若若已知應力分量，能求得應變增量具體數值。已知應力分量，能求得應變增量具體數值。 （ ） 8 8對于理想塑性材料應變的分量與應力分量之間對于理想塑性材料應變的分量與應力分量之間無單值關系。無單值關系。 （ ） 9 9若兩個應力相等，則相應的應變增量也相同。若兩個應力相等，則相應的應變增量也相同。 （ ） 1010平面應變時，不變形方向上的正應力等于平均平面應變時，不變形方向上的正應力等于平均應力應力m m。 （ ） 49111

34、1塑性變形與加載路徑和加載歷史有關。塑性變形與加載路徑和加載歷史有關。 （ ）1212彈性變形與加載路徑和加載歷史有關。彈性變形與加載路徑和加載歷史有關。 （ ） 1313彈性變形包括體積的變化和形狀的變化。彈性變形包括體積的變化和形狀的變化。 （ ） 1414增量理論是描述材料處于塑性狀態時，應力與增量理論是描述材料處于塑性狀態時，應力與應變全量之間關系的理論。應變全量之間關系的理論。 （ ） 1515 Levy-Mises Levy-Mises增量理論認為應變增量與應力球增量理論認為應變增量與應力球張量成正比。張量成正比。 （ ） 501616 Levy Levy MisesMises方程

35、適用于理想彈塑性材料方程適用于理想彈塑性材料。 （ ） 1717在簡單加載條件下，應力摩爾圓與應變摩爾圓在簡單加載條件下，應力摩爾圓與應變摩爾圓在幾何圖形上是相似的。在幾何圖形上是相似的。 （ ） 1818塑性變形包括體積的變化和形狀的變化。塑性變形包括體積的變化和形狀的變化。 （ ）19主平面上只有法向應力即主應力，而無剪應主平面上只有法向應力即主應力，而無剪應力；最大剪應力面上無正應力。力；最大剪應力面上無正應力。（）20只要應力不變量對應相等，則為同一應力狀只要應力不變量對應相等，則為同一應力狀態，只是坐標不同而已。態，只是坐標不同而已。（）512121軸對稱應力狀態時，兩個準則的差別最

36、大，達軸對稱應力狀態時，兩個準則的差別最大，達15.515.5。（ ）2222平面應變狀態時，兩個屈服準則是一致的。平面應變狀態時，兩個屈服準則是一致的。 （ ）2323一點應力狀態，一點應力狀態，如果滿足米塞斯，一定滿足屈如果滿足米塞斯，一定滿足屈雷斯加準則。雷斯加準則。 （ ）2424在塑性階段在塑性階段, , 應變是既是應力的函數和又是應應變是既是應力的函數和又是應力歷史的函數。力歷史的函數。（ ）2525Levy-MisesLevy-Mises增量理論，考慮了材料彈性變形部增量理論，考慮了材料彈性變形部分。分。（ ）52例題例題: :已知某點應力狀態三個主應力如下所示，試已知某點應力狀

37、態三個主應力如下所示，試求求塑性應變增量塑性應變增量的比值。的比值。 sa1)(032, 0)(1bs32, 0)(21cs3sd21)(0353解解 （a a）平均應力為）平均應力為 33321sm應力偏量的分量為應力偏量的分量為 sm3211sm3122sm3133ddijijp由由Levy-MisesLevy-Mises方程方程 得塑性應變增量的比值為得塑性應變增量的比值為 1:1:2:321pppdddsa1)(03254 1:1:2:321pppddd323321smsm3211sm3122sm3133得塑性應變增量的比值為得塑性應變增量的比值為應力偏量的分量為應力偏量的分量為 （b

38、 b）, 0)(1bs32552:1:1:321pppddd33321smsm3111sm3122sm3233應力偏量的分量為應力偏量的分量為 （c c）, 0)(21cs356（d d）2:1:1:321pppddd323321smsm3111sm3122應力偏量的分量為應力偏量的分量為 塑性應變增量的比值為塑性應變增量的比值為sm3233sd21)(0357雖然應力狀態（雖然應力狀態（a a）和（）和（b b）應力分量與應力球張）應力分量與應力球張量均不相同，但其塑性應變增量的比值卻是相同量均不相同，但其塑性應變增量的比值卻是相同，說明兩者（即，說明兩者（即單向拉伸與雙向壓縮單向拉伸與雙向

39、壓縮）的塑性變）的塑性變形方式相同；應力狀態（形方式相同；應力狀態（c c）和（）和（d d）也有同樣結）也有同樣結果，說明果，說明單向壓縮與雙向拉伸單向壓縮與雙向拉伸的變形方式相同，的變形方式相同，請同學們考慮其原因。請同學們考慮其原因。 sa1)(032, 0)(1bs32, 0)(21cs3sd21)(0358例題：試確定例例題：試確定例3-33-3兩端封閉的薄壁圓筒，半徑為兩端封閉的薄壁圓筒，半徑為r r，壁厚，壁厚為為t t，受內壓，受內壓p p的作用，產生塑性變形時，筒壁的的作用，產生塑性變形時，筒壁的周向、軸周向、軸向和徑向的應變比例向和徑向的應變比例（設徑向的應力可以忽略）（設

40、徑向的應力可以忽略）1prt3022zprt解解tprm23321tprm211022mtprm2331:0:1:321pppddd可知這是可知這是平面應變狀態平面應變狀態。P P2 2r rt tz zpzP P59二二 應力應力應變速率方程（應變速率方程（SaintSaintVenantVenant塑性流塑性流動方程）動方程） 塑性狀態的本構關系還可以用塑性狀態的本構關系還可以用應變速率應變速率張量來表示。張量來表示。圣維南于圣維南于18701870年提出了一種方程，也稱年提出了一種方程，也稱塑性流動方程塑性流動方程。它。它是由是由LevyLevyMisesMises方程方程ddijij=

41、ijijd d 對時間求導得：對時間求導得： ijij即即式中式中卸載時，卸載時， 0, 0不產生進一步的變形，不產生進一步的變形，其中其中 稱為應變速率張量，稱為應變速率張量， 稱為等效應變速率稱為等效應變速率ijijijdtddtd23dtdaaa60)(632222222zxyzxyxzzyyx)(21zyxx)(21xzyy)(21yxzzxyxy23yzyz23zxzx23應力應力應變速率方程應變速率方程應力應力應變速率方程應變速率方程若不考慮若不考慮應變速率對材料應變速率對材料性質的影響，則兩方程一致，例如有些材性質的影響，則兩方程一致，例如有些材料的硬化值和應變值對應速率很敏感。

42、尤其是對料的硬化值和應變值對應速率很敏感。尤其是對超塑性條件下超塑性條件下的材的材料，圣維南方程與料，圣維南方程與LevyLevyMisesMises方程不能通用。方程不能通用。61eijpijijddd金金屬屬塑塑性性成成形形原原理理應應力力應應變變關關系系普郎特普郎特勞斯方程是在勞斯方程是在MisesMises方程的基礎上發展的理論。他們認方程的基礎上發展的理論。他們認為：為：對于對于大塑性大塑性變化問題，可以忽略變化問題，可以忽略彈性變形彈性變形。但在但在小塑性變形時小塑性變形時，例如當彈性應變與塑性應變部分相比屬，例如當彈性應變與塑性應變部分相比屬于同一數量級時，略去彈性應變會帶來較大

43、誤差，于同一數量級時，略去彈性應變會帶來較大誤差，因而提出在塑性區要考慮因而提出在塑性區要考慮彈性變形彈性變形部分。即總應變增量為塑部分。即總應變增量為塑性應變增量與彈性應變增量之和。即：性應變增量與彈性應變增量之和。即：三、普郎特三、普郎特勞斯（勞斯（PrandtlPrandtlRuessRuess）方程）方程62OYOYb b 理想彈塑性理想彈塑性c c 理想剛塑性理想剛塑性63其中：塑性應變增量：其中：塑性應變增量： pijd23ijpijdd彈性應變增量彈性應變增量ijmijijedEdGd2121ddEdGdijijmijij2121形狀變化形狀變化體積變化體積變化彈性應變增量彈性應

44、變增量塑性應變增量塑性應變增量OY理想彈塑性理想彈塑性64按偏張量和球張量形式表達：按偏張量和球張量形式表達：ddEdGdijijmijij2121ddGdijijij21ijmmdEd21偏張量偏張量球球張量張量65對普郎特對普郎特勞斯方程的幾點說明：勞斯方程的幾點說明： 1 1）該方程主要用于小應變求解彈性回彈和殘余應力問）該方程主要用于小應變求解彈性回彈和殘余應力問題。一般金屬成形工藝過程都大應變范圍，可忽略彈性變題。一般金屬成形工藝過程都大應變范圍，可忽略彈性變形，采用形，采用LevyLevyMisesMises方程較為方便。方程較為方便。 但對于某些工藝過程，如板料彎曲與拉延中的但對

45、于某些工藝過程，如板料彎曲與拉延中的回彈問回彈問題題，冷擠壓和強力旋壓中的殘余應力問題可采用普郎特，冷擠壓和強力旋壓中的殘余應力問題可采用普郎特勞斯方程。勞斯方程。 2 2）對于理想塑性材料，不）對于理想塑性材料，不能由能由ijij 確定出確定出ddijij值，這時值，這時dd無法確定。對于硬化材料，無法確定。對于硬化材料，可由可由ddijij確定出確定出ijij ，因為變，因為變形過程每瞬時的形過程每瞬時的dd為定值。為定值。66Prandtl-ReussPrandtl-Reuss理論與理論與Levy-MisesLevy-Mises理論的差別在于前者考慮理論的差別在于前者考慮彈性變彈性變形形

46、而后者不考慮而后者不考慮都指出了塑性都指出了塑性應變增量應變增量與與應力偏應力偏量之間量之間的關系的關系整個變形由整個變形由各個瞬時變形累加各個瞬時變形累加而而得，能表達加載過程的歷史對變得，能表達加載過程的歷史對變形的影響，能反映出復雜的加載形的影響，能反映出復雜的加載情況情況卸載時仍按虎克定律求解卸載時仍按虎克定律求解pijdpijdS321O面平行于S沿著屈服表面的法線方向1234O復雜加載途徑復雜加載途徑增量理論特點67Levy-MisesLevy-Mises與與PrandtlPrandtlRuessRuess的的相同點相同點和和不同點不同點相同點：相同點：PrandtlPrandtl

47、RuessRuess理論與理論與Levy-MisesLevy-Mises的基本假設相似。的基本假設相似。兩理論都著重指出了塑性應變增量的偏量與應力偏量的關兩理論都著重指出了塑性應變增量的偏量與應力偏量的關系。系。不同點：不同點：PrandtlPrandtlRuessRuess考慮了塑性區的彈性應變部分因而得到了考慮了塑性區的彈性應變部分因而得到了不同的應力應變表達式。不同的應力應變表達式。685-4 5-4 塑性變形的全量理論（形變理論）塑性變形的全量理論（形變理論） 全量理論又稱全量理論又稱形變理論形變理論，它是要建立塑性變形的，它是要建立塑性變形的全量全量應變與應力之間的關系。應變與應力之

48、間的關系。 若已知應變的變化歷史，即知道了加載路徑，則沿這若已知應變的變化歷史，即知道了加載路徑，則沿這個路徑可以積分得出應力與應變全量的關系，個路徑可以積分得出應力與應變全量的關系， 而全量理論則企圖而全量理論則企圖直接建立用全量形式直接建立用全量形式表示的與加載表示的與加載路徑無關的本構關系路徑無關的本構關系, ,即即建立全量理論建立全量理論或形變理論，可把或形變理論，可把增量理論中的增量符號增量理論中的增量符號“d d”取消即可。取消即可。 在在簡單加載條件不成立簡單加載條件不成立（復雜加載條件）的情況下全（復雜加載條件）的情況下全量理論是不成立的。量理論是不成立的。69定義定義全量理論（形變理論）：在小塑性形變以及全量理論（形變理論）：在小塑性形變以及“簡簡單加載單加載”（各應力分量都按同一比例增長）的條（各應力分量都按同一比