1、數學思想與數學文化第二講 數學科學概觀內容一. 前言二. 數學科學的內容三. 數學進展的大致概況四. 數學學科的特點五. 數學家的思維六. 數學家介紹（華羅庚、陳省身）一. 前言 被后人稱為“數學王子”的德國大數學家高斯（Gauss, 1777-1855）曾說過：“數學是科學之王，數論是數學之王，它常常屈尊去為天文學和其他自然科學效勞，但在所有的關系中，它都堪稱第一” 隨著科學技術的迅猛發展，數學的地位也日益提高，這是因為當今科學技術發展的一個重要特點是高度的、全面的定量化定量化實際上就是數學化因此，人們把數學看成是與自然科學、社會科學并列的一門科學，叫數學科學二.數學科學的內容數學科學按其內

2、容可分成五個大學科：1）純粹（基礎）數學（Pure mathematics）2）應用數學（Applied mathematics）3）計算數學（Computational mathematics）4）運籌與控制（Operational research and control）5）概率論與數理統計（Probability and mathematical statistics）三. 數學進展的大致概況 數學發展的歷史非常悠久，大約在一萬年以前，人類從生產實踐中就逐漸形成了“數”與“形”的概念，但真正形成數學理論還是從古希臘人開始的公元300多年以前，希臘數學家歐幾里德（Euclid，公元前33

3、0-前275）寫了幾何原本一書，這是自古以來所有科學著作中發行量最廣、沿用時間最長的巨著 兩千多年來，數學的發展大體可以分為三個階段：17世紀以前是數學發展的初級階段，其內容主要是常量數學，如初等幾何、初等代數、；從文藝復興時期開始，數學發展進入第二個階段，即變量數學階段，產生了微積分、解析幾何、高等代數；從19世紀開始，數學獲得了巨大的發展，形成了近代數學階段，產生了實變函數、泛函分析、非歐幾何、拓撲學、近世代數、計算數學、數理邏輯等新的數學分支初等數學階段進代數學階段現代數學階段時 間17世紀前17-18世紀19世紀-對 特象 點數常量形簡單圖形變量曲線（形與數統一）曲面集合、空間構件、流

4、形（以集合和映射 為工具）代 表課 程初等代數立體幾何數學分析、高等代數、解析幾何（老三樣）泛函分析、近世代數、拓撲學（新三樣） 近半個多世紀以來，現代自然科學和技術的發展，正在改變著傳統的學科分類與科學研究的方法“數、理、化、天、地、生”這些曾經以縱向發展為主的基礎學科與日新月異的技術相結合，使用數值、解析和圖形并舉的方法，推出了橫跨多種學科門類的新興領域，在數學科學內也產生了新的研究領域和方法，如混沌（Chaos）、分形幾何（Fractal geometry）、小波分析（Wavelet transform）等可以這樣說，數學發展至今，已經擁有100多個分支的科學體系，盡管如此， 數學科學的

5、核心領域還是： -代數學研究數的理論； -幾何學研究形的理論； -分析學溝通形與數且涉及極限運算的部分總結 數學發展到現在，已經成為科學世界中擁有100多個主要分支學科的龐大的“共和國”。大體說來，數學中研究數的部分屬于代數學的范疇；研究形的部分，屬于幾何學的范籌；溝通形與數且涉及極限運算的部分，屬于分析學的范圍。這三大類數學構成了整個數學的本體與核心。在這一核心的周圍，由于數學通過數與形這兩個概念，與其它科學互相滲透，而出現了許多邊緣學科和交叉學科。 四. 數學學科的特點 1. 抽象性 2. 精確性 3. 應用的廣泛性1. 抽象性 數學研究的“形”和“數”與現實世界中的物質內涵沒有直接聯系。

6、 全部數學概念都具有抽象性。但都有非常現實的背景。 數學抽象的特點在于： I.在數學抽象中保留了量的關系和空間形式而舍棄了其他； II.數學的抽象是一級一級逐步提高的,它們所達到的抽象程度大大超過了其他學科中的一般抽象; III.數學本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們相互關系的圈子之中.2. 精確性 數學的精確性表現在數學定義的準確性，推理和計算的邏輯嚴格性以及數學結論的確定無疑與無可爭辯性。 數學中的嚴謹推理和一絲不茍的計算，使得每個數學結論都是牢固的、不可動搖的。這種思想方法不僅培養了科學家，而且它也有助于提高人的科學文化素質，它是全人類共有的精神財富。 數學理論的嚴密性就要求學數學的人在學

7、習的過程中，不僅要做習題,掌握解題方法，而且要重視和學會證明結論的思想和技巧，理解數學問題背后的精神、方法。3. 應用的廣泛性 1959年5月，著名數學家華羅庚教授在人民日報上發表了大哉數學之為用的文章，精辟的敘述了數學的各種運用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各方面，無處不有數學的貢獻。” 凡是出現“量”的地方就少不了用數學，研究量的關系，量的變化關系，量的關系的變化等現象都少不了數學，數學之為用貫穿到一切科學部門的深處，而成為它們的得力助手與工具，缺少了它就不能準確刻畫出客觀事物的變化，更不能由已知數據推出其他數據，因而就減少了科學預見的準確性。

8、例子： -飛機制造 -沙漠風暴與數學戰 -通訊技術五. 數學家的思維 數學家的思維特點取決于數學的特點 數學家的思維特點歸納起來就是思維的嚴謹性、思維的抽象性（廣闊性）、思維的靈活性及思維的批判性此外，還有數學家的直覺和想象、美感和審美能力 還要特別強調數學家的拼搏精神和奉獻精神，他們為了發展數學，廢寢忘食、勤奮鉆研，甚至忘記了自我數學家對數學之所以如此執著、甚至癡迷，是因為他們喜愛數學，不斷地用數學中的“美”來陶冶自己 數學是一個生機勃勃的科學，有無數未解決的問題，有許多形形色色的未開墾的處女地，等待有想象力、有創新精神和堅忍不拔毅力的學者去征服！六. 數學家介紹（華羅庚、陳省身） 1. 華

9、羅庚（1910-1985） -初中文憑，獨步中華 華羅庚，1910年11月12日出生于江蘇金壇縣。父親以開雜貨鋪為生。他幼時愛動腦筋，因思考問題過于專心常被同伴們戲稱為“羅呆子”。他進入金壇縣立初中后，其數學才能被老師王維克發現，并盡心盡力予以培養。初中畢業后，華羅庚曾入上海中華職業學校就讀，因拿不出學費而中途退學，故一生只有初中畢業文憑。 此后，他開始頑強自學，每天達10個小時以上。他用5年時間學完了高中和大學低年級的全部數學課程。1928年，他不幸染上傷寒病，雖挽回性命，卻落下左腿殘疾。20歲時，他以一篇論文轟動數學界，被清華大學（算學系主任熊慶來）破例于1931年請去任數學系助理員。 從

10、1931年起，華在清華大學邊工作邊學習，用一年半時間學完了數學系全部課程。他自學了英、法、德文，在國外雜志上發表了3篇論文后，被破格任用為助教。 1936年夏，華羅庚被保送到英國劍橋大學進修，與著名數學家相互切磋，兩年中發表了10多篇論文，引起國際數學界贊賞。 1938年，在抗日的烽火中，華毅然回國，在西南聯大任教。在昆明郊外一間牛棚似的小閣樓里，他艱難地寫出名著堆壘素數論。 1946年3月，他應邀訪問蘇聯，回國后不顧反動當局的限制，在昆明為青年作“訪蘇三月記”的報告。 1946年9月，華羅庚應紐約普林斯頓大學邀請去美國講學，并于1948年被美國伊利諾依大學聘為終身教授。 1949年10月1日

11、中華人民共和國成立，華羅庚毅然放棄伊力諾依大學的優裕生活攜全家返回祖國。在歸國途中發表了致中國全體留美學生的公開信，他在信中深情地說：“梁園雖好，非久居之鄉，歸去來兮！” 1950年3月，他到達北京，隨后擔任了清華大學數學系主任、中科院數學所所長等職。50年代，他在百花齊放、百家爭鳴的學術空氣下著述頗豐，還發現和培養了王元、陳景潤等數學人才。 1956年，他著手籌建中科院計算數學研究所。 1958年，他擔任中國科技大學副校長兼數學系主任。 從1960年起，華羅庚開始在工農業生產中推廣統籌法和優選法，足跡遍及27個省自治區直轄市，創造了巨大的物質財富和經濟效益。 1978年3月，他被任命為中科院

12、副院長并于翌年入黨。 晚年的華羅庚不顧年老體衰，仍然奔波在建設第一線。他還多次應邀赴歐美及香港地區講學，先后被法國南錫大學、美國伊利諾依大學、香港中文大學授予榮譽博士學位，還于1984年以全票當選為美國科學院外籍院士。1985年6月12日，他在日本東京作學術報告時，因心臟病突發不幸逝世，享年74歲。 華羅庚初中學歷，自學成才，經過艱苦的努力成為國際公認的世界級大數學家，在他研究的數論、代數、矩陣幾何學、多復變函數論、調和分析與應用數學的眾多領域中，都有以他的名字命名的定理與方法。華羅庚為中國和世界的數學事業作出了巨大貢獻。華羅庚的名言-聰明在于學習，天才在于 積累。-埋頭苦干是第一，熟練生 出

13、百巧來，勤能補拙是良 訓，一份辛勤一份才。-人做了書的奴隸，便把活 人帶死了。把書作為人的 工具，則書本上的知識 便活了，有生命了。2. 陳省身（1911-2004） 1911年10月26日生于浙江嘉興少年時就喜愛數學，覺得數學既有趣又較容易，并且喜歡獨立思考，自主發展，常常“自己主動去看書，不是老師指定什么參考書才去看” 1927年進入南開大學數學系，該系的姜立夫教授對陳省身影響很大在南開大學學習期間，他還為姜立夫當助教 1930年畢業于南開大學，1931年考入清華大學研究院，成為中國國內最早的數學研究生之一在孫光遠博士指導下，發表了第篇研究論文，內容是關于射影微分幾何的1932年4月應邀來

14、華講學的漢堡大學教授布拉希克對陳省身影響也不小，使他確定了以微分幾何為以后的研究方向 1934年，他畢業于清華大學研究院，同年，得到漢堡大學的獎學金，赴布拉希克所在的漢堡大學數學系留學在布拉希克研究室他完成了博士論文，研究的是嘉當方法在微分幾何中的應用 1936年獲得博士學位從漢堡大學畢業之后，他來到巴黎1936年至1937年間在法國幾何學大師E嘉當那里從事研究E嘉當每兩個星期約陳省身去他家里談一次，每次一小時“聽君一席話，勝讀十年書”大師面對面的指導，使陳省身學到了老師的數學語言及思維方式，終身受益陳省身數十年后回憶這段緊張而愉快的時光時說，“年輕人做學問應該去找這方面最好的人” 陳省身先后

15、擔任我國西南聯大教授，美國普林斯頓高等研究所研究員，芝加哥大學、伯克利加州大學終身教授等，是美國國家數學研究所、南開大學數學研究所的創始所長 陳省身的數學工作范圍極廣，包括微分幾何、拓撲學、微分方程、代數、幾何、李群和幾何學等多方面 他是創立現代微分幾何學的大師早在40年代，他結合微分幾何與拓撲學的方法，完成了黎曼流形的高斯博內一般形式和埃爾米特流形的示性類論他首次應用纖維叢概念于微分幾何的研究，引進了后來通稱的陳氏示性類（簡稱陳類）為大范圍微分幾何提供了不可缺少的工具他引進的一些概念、方法和工具，已遠遠超過微分幾何與拓撲學的范圍，成為整個現代數學中的重要組成部分 。 陳省身還是一位杰出的教育家，他培養了大批優秀的博士生他本人也獲得了許多榮譽和獎勵，例如1975年獲美國總統頒發的美國國家科學獎，1983年獲美國數學會“全體成就”靳蒂爾獎，1984年獲沃爾夫獎中國數學會在1985年通過決議設立陳省身數學獎被國際數學界尊為“微分幾何之父”韋伊曾說，“我相信未來的微分幾何學史一定會認為他是嘉當的繼承人”。 菲爾茲獎（1983年）得主、華人數學家丘成桐這樣評價他的老師：“陳省身是世界上領先的數學家沒有什么障礙可以阻止一個中國人成為世界級的數學家” 2004