1、因式分解復習課因式分解復習課 一般地，把一個多項式轉化成幾個整式的一般地，把一個多項式轉化成幾個整式的的形式，的形式，叫做叫做，有時我們也把這一過程叫做，有時我們也把這一過程叫做。1.什么叫做因式分解？什么叫做因式分解？整式的積整式的積多項式多項式整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解的一般步驟：因式分解的一般步驟：一一提：提：先看多項式各項有無公因式，如有公因式則要先先看多項式各項有無公因式，如有公因式則要先提取公因式；提取公因式；二二套：套：再看有幾項，如兩項，則考慮用平方差公式；如三再看有幾項，如兩項，則考慮用平方差公式；如三項，則考慮用完全平方公式；項，則考慮用完全平方公式；四四查查

2、：最后用整式乘法檢驗一遍，并看各因式能否再分解：最后用整式乘法檢驗一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，應分解到不能再分解為止。，如能分解，應分解到不能再分解為止。三三分分：若以上兩步都不行，則將考慮將多項式變形，使：若以上兩步都不行，則將考慮將多項式變形，使之能之能“提提”或能或能“套套”。如如(x+y)(x+y)-x-y=(x+y)(x+y-1-x-y=(x+y)(x+y-1）提公因式法：提公因式法：ma+mb+mc =m(a+b+c)應用平方差公式應用平方差公式:a-b =(a+b)(a-b)應用完全平方公式應用完全平方公式: a2ab+b =(ab)因式分解的一般方法：因式分解的一般方

3、法：2.我們學了哪些常用的因式分解的方法？我們學了哪些常用的因式分解的方法？（1）提公因式法）提公因式法 （2）套用公式法）套用公式法把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。這個多項式因式分解。練習：練習：1、下列從左到右是因式分解的是（、下列從左到右是因式分解的是（ ）a. x(ab)=axbx b. x2 1+y2=(x1)(x+1)+y2c. x21=(x+1)(x1) d. ax+bx+c=x(a+b)+c c2、下列因式分解中，正確的是（、下列因式分解中，正確的是（ ）a3m26m=m(3m6) ba2b

4、+ab+a=a(ab+b)cx2+2xyy2=(xy)2 dx2+y2=(x+y)2c提取公因式法提取公因式法1、 中各項的公因式是中各項的公因式是_。公因式：一個多項式每一項都含有的相同的因式，叫做這公因式：一個多項式每一項都含有的相同的因式，叫做這個多項式各項的個多項式各項的公因式。公因式。322236129xyyxyx3xy2找公因式的方法：找公因式的方法：1：系數為：系數為 ； 2、字母是、字母是 ；3、字母的次數、字母的次數 。各系數的最大公約數各系數的最大公約數相同字母相同字母相同字母的最低次數相同字母的最低次數練習：練習：5x225x的公因式為的公因式為 ；2ab24a2b3的公

5、因式為的公因式為 ，多項式多項式x21與與(x1)2的公因式是的公因式是 。5x-2ab2x-1如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成乘積的形式。這種分解因式的方法叫外面，將多項式寫成乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。做提公因式法。提取公因式法提取公因式法練習：練習：1、把多項式、把多項式m2(a2)+m(2a)分解因式等于（分解因式等于（ ）a(a2)(m2+m)b(a2)(m2m)cm(a2)(m1)dm(a2)(m+1)c222axyyxa2、把下列多項式分解因式、把下列多項式分解因式(1)(2)

6、(3)cabababc249714yxyxm2公式法公式法公式法：利用平方差和完全平方公式，將多項式因式分解公式法：利用平方差和完全平方公式，將多項式因式分解的方法。的方法。a2-b2= (a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2練習：練習：1、分解因式、分解因式 =_。2、分解因式、分解因式 =_。3、分解因式、分解因式 =_。4、分解因式、分解因式 =_。5、分解因式、分解因式 =。6、式子、式子16+kx+9x2是一個完全平方，則是一個完全平方，則k 。xx42292x442 xx49142yxyxxyaaxyxy227183)yx(25)y2x

7、(4、722 。【例例1】 因式分解：因式分解：-3an-1+12an-12an+1(n1的正整數的正整數). 解：原式解：原式=-3an-11-4an-(n-1)+4a(n+1)-(n-1) =-3an-1(1-4a+4a2) =-3an-1(2a-1)2【例【例2】 因式分解：因式分解：(1)m3+2m2-9m-18； 典型例題解析典型例題解析解：解：(1)原式原式=(m3+2m2)-(9m+18) =m2(m+2)-9(m+2) =(m+2)(m2-9) =(m+2)(m-3)(m+3)或者：或者：原式原式=(m3-9m)+(2m2-18) =m(m2-9)+2(m2-9) =(m2-9

8、)(m+2) =(m-3)(m+3)(m+2)【例例3】 求證：對于自然數求證：對于自然數n，2n+4-2n能被能被30整除整除. 解：解：2n+4-2n=2n(2-1)=2n(16-1)=152n =1522n-1=302n-1.n為自然數時，為自然數時，2n-1為整數，為整數，2n+4-2n能被能被30整除整除.【例【例4】 分解因式：分解因式：x3+6x2+11x+6. 解：方法一：原式解：方法一：原式=x3+3x2+3x2+9x+2x+6 =x2(x+3)+3x(x+3)+2(x+3) =(x+3)(x2+3x+2) =(x+3)(x+1)(x+2) 典型例題解析典型例題解析方法二：原

9、式方法二：原式=x3+2x2+4x2+8x+3x+6=x2(x+2)+4x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x2+4x+3)=(x+2)(x+1)(x+3)方法三：原式方法三：原式=x3+x2+5x2+5x+6x+6=x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)=(x+1)(x2+5x+6)=(x+1)(x+2)(x+3)方法四：原式方法四：原式=(x3+5x2+6x)+(x2+5x+6)=x(x2+5x+6)+(x2+5x+6)=(x2+5x+6)(x+1)=(x+2)(x+3)(x+1) 典型例題解析典型例題解析1.1.因式分解應進行到底因式分解應進行到底. .如：分解因式：如：分解因

10、式：x x4 4-16=(x-16=(x2 2+4)(x+4)(x2 2-4)-4)=(x=(x2 2+4)(x+2)(x-2)+4)(x+2)(x-2)2.2.不要將因式分解的結果又用整式的乘法展開而還原不要將因式分解的結果又用整式的乘法展開而還原. .如如:(:(a a2 2+b+b2 2) )-4a-4a2 2b b2 2 =(a =(a2 2+b+b2 2+2ab)(a+2ab)(a2 2+b+b2 2-2ab)-2ab) =(a+b) =(a+b)2 2(a-b)(a-b)2 2 = =(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)2 2 =(a =(a2 2-b-b2 2) )2 2 =

11、a =a4 4-2a-2a2 2b b2 2+b+b4 4實際該題到第實際該題到第2 2個等于號就分解到底了，不能再向下個等于號就分解到底了，不能再向下計算了計算了! !3.3.注意解題的技巧的應用，不能死算注意解題的技巧的應用，不能死算. .如：分解因式如：分解因式( (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9= =(x+1)(x+7)(x+1)(x+7)(x+3)(x+4)(x+3)(x+4)-9-9=(x=(x2 2+8x+7)(x+8x+7)(x2 2+8x+15)-9+8x+15)-9= =( (x x2 2+8x+8x)+7)+7( (x

12、 x2 2+8x+8x)+15)+15-9-9=(=(x x2 2+8x+8x) )2 2+22(+22(x x2 2+8x+8x)+105-9)+105-9=(=(x x2 2+8x+8x) )2 2+22(+22(x x2 2+8x+8x)+96)+96=(=(x x2 2+8x+8x +6)( +6)(x x2 2+8x+8x +16) +16)=(x=(x2 2+8x+6)(x+4)+8x+6)(x+4)2 2練習：練習：1、下列各多項式中，可用平方差公式分解因式的是（、下列各多項式中，可用平方差公式分解因式的是（ ）aa2+4ba22a ca2+4 da242、分解因式：、分解因式：(x2+y2)24x2y23、分解因式：、分解因式：x2(y1)+(1y) 4、分解因式：、分解因式：(ab)(3a+b)2+(a+3b)2(ba) 5、分解因式：、分解因式：x(x+y)(x-y)-x(x-y)26、分解因式：、分解因式：(a+2b)2-2(a+2b)(b-2a)+(2a-b)2例題：已知多項式例題：已知多項式2x3-x2-13x+k分解因式后有一個因式為分解因式后有一個因式為2x+1。求