1、隨機過程 第一次大作業 2016年秋季學期譜估計尹凱凱 2012011109（清華大學電子工程系無37班）【摘要】 譜分析是信號分析的一種工具。功率譜估計就是基于有限的數據尋找信號、隨機過程或系統的頻率成分。它表示隨機信號頻域的統計特征，有著明顯的物理意義，是信號處理的重要研究內容。研究隨機信號在頻域的功率分布情況，即功率譜密度或功率譜，功率譜估計有著廣泛的應用。【關鍵詞】 譜估計 周期圖方法 MUSIC方法 1譜估計譜估計技術是現代信號處理的一個重要部分，還包括空間譜估計，高階譜估計等。功率譜估計是數字信號處理的主要內容之一，主要研究信號在頻域中的各種特征，目的是根據有限數據在頻域內提取被淹

2、沒在噪聲中的有用信號。在一般工程實際中，隨機信號通常是無限長的，例如，傳感器的溫漂，不可能得到無限長時間的無限個觀察結果來獲得完全準確的溫漂情況，即隨機信號總體的情況，一般只能在有限的時間內得到有限個結果，即有限個樣本，根據經驗來近似地估計總體的分布。有時，甚至不需要知道隨機信號總體地分布，而只需要知道其數字特征，如均值、方差、均方值、相關函數、功率譜的比較精確的情況即估計值。功率譜估計(PSD)是用有限長的數據估計信號的功率譜，它對于認識一個隨機信號或其他應用方面都是重要的，是數字信號處理的重要研究內容之一。功率譜估計可以分為經典譜估計(非參數估計)和現代譜估計(參數估計)。1.1背景英國科

3、學家牛頓最早給出了“譜”的概念。后來，1822年，法國工程師傅立葉提出了著名的傅立葉諧波分析理論。該理論至今依然是進行信號分析和信號處理的理論基礎。傅立葉級數提出后，首先在人們觀測自然界中的周期現象時得到應用。19世紀末，Schuster提出用傅立葉級數的幅度平方作為函數中功率的度量，并將其命名為“周期圖”（periodogram）。這是經典譜估計的最早提法，這種提法至今仍然被沿用，只不過現在是用快速傅立葉變換（FFT）來計算離散傅立葉變換（DFT），用DFT的幅度平方作為信號中功率的度量。周期圖法和自相關法都可用快速傅立葉變換算法來實現，且物理概念明確，因而仍是目前較常用的譜估計方法。周期圖

4、較差的方差性能促使人們研究另外的分析方法。現代譜估計主要是針對經典譜估計的分辨率差和方差性能不好的問題而提出的。現代譜估計從方法上大致可分為參數模型譜估計和非參數模型譜估計兩種，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指數模型等；后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。1.2周期圖方法周期圖的基本原理是對觀測到的數據直接進行傅里葉變換，然后取模的平方就是功率譜。取平穩隨機信號x(n)的有限個觀察點x0、x1x(n-1)，則傅里葉變換為XN(e-j)=n=0N-1x(n)e-jn，進行譜估計；P=1N|XN(e-j)|2=1N|n=0N-1x(n)e-jn|2基本地周期圖法可以提

5、高計算效率，不需要計算自相關函數，但譜分辨率較低。當數據長度N太大時，譜曲線起伏加劇，當N太小，譜的分辨率又不好。1.3 MUSIC方法MUSIC法功率譜估計是基于矩陣特征分解的一種功率譜估計的非參數方法。這種譜分析方法把相關數據矩陣的信息分類，把信息分配到信號的子空間或噪聲的子空間。它適合于普遍情況下的正弦信號參數估計的方法，是多信號分類法的簡稱。MUSIC法譜估計在偏差和方差可以達到較好的平衡。2問題介紹 隨機過程Xt=10*sin0.34t+1+5*sin0.36t+2+et， t=1,264；et是零均值、方差為1的白噪聲；1和2是0, 2均勻分布的隨機變量，1、2與e(t)三者相互獨

6、立。請用50次樣本分析下面問題：1）給出周期圖方法與MUSIC方法對兩個頻率的估計值，比較它們對這兩個頻率的分辨能力；2）改變噪聲功率，分析信噪比對兩種方法頻率分辨能力的影響；3）改變兩個正弦波分量的相對強度，分析信號分量相對強度對兩種方法頻率分辨能力的影響。3結果3.1、 當噪聲功率為2=1，相對幅值為2:1（10:5）時：Xt=10*sin0.34t+1+5*sin0.36t+2+et， t=1,264周期圖譜和MUSIC 譜如下：3.2、相對幅值為2:1（10:5）不變，改變噪聲功率 當噪聲功率為2=4：Xt=10*sin0.34t+1+5*sin0.36t+2+et， t=1,264當

7、噪聲功率為2=16：Xt=10*sin0.34t+1+5*sin0.36t+2+et， t=1,264當噪聲功率為2=25：Xt=10*sin0.34t+1+5*sin0.36t+2+et， t=1,2643.3、噪聲功率2=1不變，相對幅值為改變當相對幅值為20:1（100:5）Xt=100*sin0.34t+1+5*sin0.36t+2+et， t=1,2644結論與思考1.經過上述的仿真結果可以看出MUSIC 法求出的兩個頻率分別為0.34pi、0.36pi；周期圖不能分辨出兩個頻率。因此在頻率分辨率方面MUSIC方法比周期圖法的頻率分辨率高的多。2.通過改變噪聲功率，逐漸提高信噪比，兩種方法的頻率分辨能力都會有所下降下降。由上圖可以看出，當噪聲2=25時，MUSIC方法已經不能分辨0.34*pi 和0.36*pi 兩個頻率了。進一步的實驗發現，噪聲功率上升時，周期圖譜法的頻率分辨率也降低。兩者相比較來說在抗噪聲的性能上MUSIC法要強于周期圖法。3. 改變兩個正弦波分量的相對強度， MUSIC法的頻率分辨能力變化不明顯，但而周期圖法的頻率分