1、全微分與鏈式法則 第八章 8.38.3.1、全微分、全微分全微分與鏈式法則8.3.2、鏈式法則、鏈式法則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 全微分與鏈式法則)( xoxA一元函數 y = f (x) 的微分)()(xfxxfyxxf)(常數A與x 無關,僅與x 有關),(yxfz 對),(),(yxfyxxf 關于x 的高階無窮小 xyxfx),(對 x 的偏增量 對 x 的偏微分 ),(),(yxfyyxfyyxfy),(對 y 的偏增量 對 y 的偏微分 yd8.3.1、全微分、全微分全微分與鏈式法則引例引例: 一塊長方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了設面積為 A , 則0y

2、y面積的增量為0000)(yxyyxxA)(00yxyxxyyx 000yxAxy 0yx 關于x,y的線性主部故yxxyA00稱為函數在 的全微分),(00yx0 x變到,0 xx分別由其邊長機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0y變到,0yy多少?0 xx時0, 0yx比 較高22yx階無窮小全微分與鏈式法則定義定義: 如果函數 z = f ( x, y )在定義域 D 的內點( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關，稱為函數),(yxf在點 (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz

3、 dd若函數在域 D 內各點都可微,22)()(yx則稱函數 f ( x, y ) 在點( x, y) 可微可微，處全增量則稱此函數在在D 內可微內可微.一般地一般地yBxA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 全微分與鏈式法則(2) 偏導數連續),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個定理給出了可微與偏導數的關系:(1) 函數可微函數 z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx由微分定義 :得zyx00lim0),(yxf函數在該點連續偏導數存在 函數可微 即全微分與鏈式法則定理定理1 1(必要條件)若函數 z = f (x, y)

4、在點(x, y) 可微可微 ,則該函數在該點偏導數yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同樣可證,Byzyyzxxzzd證證: 因函數在點(x, y) 可微, 故 , )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到對 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA全微分與鏈式法則反例反例: 函數),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏導數存在函數 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx時

5、例如沿路徑0 xy因此,函數在點 (0,0) 不可微 .全微分與鏈式法則定理定理2 (充分條件)yzxz,（證略）若函數),(yxfz 的偏導數,),(連續在點yx則函數在該點可微分.yyzxxzzddd于是，全微分例例1. 計算函數在點 (2,1) 處的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(yz,yxeyyxex)d2d(2yxe習慣上,yx ,分別記為yx d,d全微分與鏈式法則例例2. 計算函數的全微分. yxxyz)tan(解解: xzyz)(cos12xyyy12121x)(cos12xyxx23)21

6、(y)(cos2xyyxxyd21)(cos2xyxyyyxd 2yyzxxzzddd全微分與鏈式法則例例3.3.計算的近似值. 02. 204. 1解解: 設yxyxf),(,則),(yxfx取, 2, 1yx則)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx全微分與鏈式法則內容小結內容小結1. 微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關系:)( o偏導數存

7、在偏導數存在函數可微函數可微偏導數連續偏導數連續機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 全微分與鏈式法則一元復合函數)(),(xuufy求導法則xuuyxydddddd本節內容本節內容:一、多元復合函數求導的鏈式法則一、多元復合函數求導的鏈式法則二、多元復合函數的全微分二、多元復合函數的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法則8.3.2、多元復合函數求導的鏈式法則、多元復合函數求導的鏈式法則全微分與鏈式法則)(),(ttfz定理定理. 若函數,)(, )(可導在點ttvtu),(vufz 處偏導連續, ),(vu在點在點 t 可導, tvvztuuztzddddddz則復合函數且有鏈式法則

8、vutt機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( 全導數公式全導數公式 )全微分與鏈式法則,0t令,0,0vu則有to)(tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 時,根式前加“”號)tvtvtutudd,dd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 tvvztuuztzdddddd全微分與鏈式法則推廣推廣:1) 中間變量多于兩個的情形. 例如, ),(wvufz 設下面所涉及的函數都可微 .tzdd321fff2) 中間變量是多元函數的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxt

9、tttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(, )(, )(twtvtu全微分與鏈式法則3),(, ),(yxvvxfz當它們都具有可微條件時, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里xzxfxz表示固定 y 對 x 求導,xf表示固定 v 對 x 求導xfxvvfyvvf與不同,v機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 口訣口訣 : 連線相乘, 分叉相加, 單路全導, 叉路偏導全微分與鏈式法則例例1. 設設,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)

10、cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 全微分與鏈式法則例例2. 設 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全導數,teu ,costv 解解:tusintcos機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 全微分與鏈式法則例例3. 求 yxyxz2422)3(的偏導數.解解: 設,24,322yxvyxu于是zvuyxyxxzxuuzxvvz,vuz 1vvux6uuvln4yzyuuzyvvz12422

11、)3)(24(6yxyxyxx)3ln()3(4222422yxyxyx1vvuy2uuvln2全微分與鏈式法則例例4.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 全微分與鏈式法則),(1zyxzyxf例例5. 設 f 具有二階連續偏導數, ),(zyxzyxfw求.xw解解: 令,zyxvzyx

12、uxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則21,ff機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 全微分與鏈式法則多元復合函數的全微分多元復合函數的全微分設函數),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復合函數) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表達 形式都一樣, 這性質叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.全微分與

13、鏈式法則8.3.3 一個方程所確定的隱函數及其導數一個方程所確定的隱函數及其導數定理定理1.1. 設函數),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程00),(xyxF在點單值連續函數 y = f (x) , )(00 xfy 并有連續yxFFxydd(隱函數求導公式)定理證明從略，僅就求導公式推導如下： 具有連續的偏導數;的某鄰域內某鄰域內可唯一確定一個在點的某一鄰域內滿足,0),(00yxFy滿足條件導數全微分與鏈式法則0)(,(xfxF兩邊對 x 求導0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數為方程設yxFxfy在),(00yx的某鄰域內則全微分與鏈式法

14、則若F( x , y ) 的二階偏導數也都連續,22ddxy2yF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy2yF二階導數 :)(yxFFxxyxxydd則還可求隱函數的 xxyyxxFFFFxyyyyxFFFF)(yxFF全微分與鏈式法則例例4. 求由方程0 xxeyy解法一解法一 令所確定的y是x的函數的導數.),(yxFxxeyyxFyFyxe11yeyxFFxyddyyxee11yyxee11解法二解法二 方程兩邊對 x 求導01)dd(ddxyxeexyyyxyddyyxee11全微分與鏈式法則定理定理2 . 若函數 ),(000zyxP),(zyx

15、FzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內具有連續偏導數連續偏導數 ;則方程0),(zyxF在點),(00yx并有連續偏導數, ),(000yxfz 定一個單值連續函數 z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導公式推導如下:滿足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在點滿足:某一鄰域內可唯一確全微分與鏈式法則0),(,(yxfyxF兩邊對 x 求偏導xFzxFFxzzyFFyz同樣可得,0),(),(所確定的隱函數是方程設zyxFyxfz則zFxz00),(000zFzyx的某鄰域內在全微分與鏈式法則例例5. 設,04222zzyx解法解法1 利用隱函數求導0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再對 x 求導全微分與鏈式法則解法解法2 利用公式設zzyxzyxF4),(222則,2xFxzxFFxz兩邊對 x 求偏導)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz