1、數值計算方法復習試題一、填空題：1、，則A的LU分解為 。答案：2、已知，則用辛普生（辛卜生）公式計算求得,用三點式求得 。答案：2.367，0.253、，則過這三點的二次插值多項式中的系數為 ，拉格朗日插值多項式為 。答案：-1， 4、近似值關于真值有( 2 )位有效數字；5、設可微,求方程的牛頓迭代格式是( )；答案6、對,差商( 1 ),( 0 )；7、計算方法主要研究( 截斷 )誤差和( 舍入 )誤差；10、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，則二次Newton插值多項式中x2系數為( 0.15 )；11、 兩點式高斯型求積公式( )，代數精度為( 5 )；12、 解線性方程組

2、Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為零)。13、 為了使計算 的乘除法次數盡量地少，應將該表達式改寫為 ，為了減少舍入誤差，應將表達式改寫為 。14、 計算積分,取4位有效數字。用梯形公式計算求得的近似值為 0.4268 ，用辛卜生公式計算求得的近似值為 0.4309 ，梯形公式的代數精度為 1 ，辛卜生公式的代數精度為 3 。15、 求解方程組的高斯塞德爾迭代格式為 ，該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑= 。16、 設,則 ，的二次牛頓插值多項式為 。17、 求積公式的代數精度以( 高斯型 )求積公式為最高，具有( )次代數精度。18、 已知f (1)=1,f (3)

3、=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求( 12 )。19、 設f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三點式求( 2.5 )。23、是以整數點為節點的Lagrange插值基函數，則( 1 )，( )，當時( )。26、改變函數 ()的形式，使計算結果較精確 。29、若用復化梯形公式計算，要求誤差不超過，利用余項公式估計，至少用 477個求積節點。30、寫出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式 ，迭代矩陣為 ，此迭代法是否收斂 收斂 。31、設,則 9 。32、設矩陣的，則 。33、若，則差商 3 。34、數值積分公式的代數精度為 2 。35、 線性方程組的最小二乘解為 。

4、36、設矩陣分解為，則 。二、單項選擇題：1、 Jacobi迭代法解方程組的必要條件是（ C ）。 AA的各階順序主子式不為零 B C D 2、設，則為( C ) A 2 B 5 C 7 D 34、求解線性方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是( B )。A 對稱陣 B 正定矩陣 C 任意陣 D 各階順序主子式均不為零 5、舍入誤差是( A )產生的誤差。A. 只取有限位數 B模型準確值與用數值方法求得的準確值C 觀察與測量 D數學模型準確值與實際值 6、3.141580是的有( B )位有效數字的近似值。 A 6 B 5 C 4 D 7 7、用 1+x近似表示ex所產生的誤差是( C

5、 )誤差。A 模型 B 觀測 C 截斷 D 舍入 8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是( A )。A控制舍入誤差 B 減小方法誤差C防止計算時溢出 D 簡化計算 9、用1+近似表示所產生的誤差是( D )誤差。 A 舍入 B 觀測 C 模型 D 截斷 10、-3247500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效數字。 A 5 B 6 C 7 D 811、設f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數為( A )。 A 05 B 05 C 2 D -213、( D )的3位有效數字是0.23610。(A) 0.002354910 (B) 2354.

6、8210 (C) 235.418 (D) 235.541014、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，則f(x)=0的根是( B )。(A) y=j(x)與x軸交點的橫坐標 (B) y=x與y=j(x)交點的橫坐標(C) y=x與x軸的交點的橫坐標 (D) y=x與y=j(x)的交點15、用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為( A ) 。(A) 4 (B) 3 (C) 4 (D)916、拉格朗日插值多項式的余項是( B ),牛頓插值多項式的余項是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，

7、(B) (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D) 17、等距二點求導公式f(x1) ( A )。18、用牛頓切線法解方程f(x)=0，選初始值x0滿足( A ),則它的解數列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。19、為求方程x3x21=0在區間1.3,1.6內的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )。(A) (B)(C)(D)21、解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是（ ）。（1）, (2) , (3) , (4) 22、在牛頓-柯特斯求積公式：中，當系數是負值時，公式的穩定性

8、不能保證，所以實際應用中，當（ ）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），23、有下列數表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次25、取計算，下列方法中哪種最好？（）(A)； (B)； (C) ； (D) 。27、由下列數表進行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數是（）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A)； (B)； (C) ； (D) 。29、計算的Newton迭代格式為( )(A) ；(B)；(C) ；(D)

9、。 32、設是以為節點的Lagrange插值基函數，則( )(A)； （B）； （C）； （D）。 33、5個節點的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有( )次代數精度(A)5； (B)4； (C)6； (D)3。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是( )(A)； (B)； (C)； (D)。36、由下列數據012341243-5確定的唯一插值多項式的次數為( )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。四、計算題：1、 用高斯-塞德爾方法解方程組 ，取，迭代四次(要求按五位有效數字計算)。答案：迭代格式 k000012.75003.8125 2.537520.20938 3.

10、17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、 求A、B使求積公式的代數精度盡量高,并求其代數精度；利用此公式求(保留四位小數)。答案：是精確成立，即 得求積公式為當時，公式顯然精確成立；當時，左=，右=。所以代數精度為3。 3、 已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，并求的近似值（保留四位小數）。答案： 差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10 5、已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-22201000

11、00313111334254816102001510034341正規方程組為 6、已知區間0.4，0.8的函數表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節點才能使誤差最小？并求該近似值。答案：解： 應選三個節點，使誤差 盡量小，即應使盡量小，最靠近插值點的三個節點滿足上述要求。即取節點最好，實際計算結果， 且 7、構造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來，。答案：解：令 .且，故在(0,1)內有唯一實根.將方程變形為 則當時，故迭代格式 收斂。取，計算結果列表如下：n012

12、30.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且滿足 .所以. 8利用矩陣的LU分解法解方程組 。答案：解： 令得，得. 9對方程組 （1） 試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由；（2） 取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。解：調整方程組的位置，使系數矩陣嚴格對角占優故對應的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經7步迭代可得：. 11、用列主元素消元法求解方程組 。解： 回代得 。 12、取節點,求函數在區間0,1上的二次

13、插值多項式,并估計誤差。解： 又 故截斷誤差 。14、給定方程1) 分析該方程存在幾個根；2) 用迭代法求出這些根，精確到5位有效數字；3) 說明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程 （1）改寫為 （2） 作函數，的圖形（略）知（2）有唯一根。2) 將方程（2）改寫為 構造迭代格式 計算結果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463) ，當時，且所以迭代格式 對任意均收斂。15、用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7, 計算三次，保留五位小數。解：是的正根，牛頓迭代公式

14、為， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多項式及f (1，5)的近似值，取五位小數。解：17、n=3,用復合梯形公式求的近似值（取四位小數）,并求誤差估計。解：，時，至少有兩位有效數字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組 =，取x(0)=(0,0,0)T,列表計算三次，保留三位小數。解：Gauss-Seidel迭代格式為：系數矩陣嚴格對角占優，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)T，列表計算如下:11.6670.889-2.195

15、22.3980.867-2.38332.4610.359-2.52620、（8分）用最小二乘法求形如的經驗公式擬合以下數據：1925303819.032.349.073.3解： 解方程組 其中 解得： 所以 ， 21、（15分）用的復化梯形公式（或復化 Simpson公式）計算時，試用余項估計其誤差。用的復化梯形公式（或復化 Simpson公式）計算出該積分的近似值。解：22、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）對應迭代格式；(2)對應迭代格式；（3）對應迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數點后第三位。解：（1），故收斂；（2），故收

16、斂；（3），故發散。選擇（1）：， ，23、（8分）已知方程組，其中，（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2） 求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：， 27、（10分）已知數值積分公式為： ，試確定積分公式中的參數，使其代數精確度盡量高，并指出其代數精確度的次數。解：顯然精確成立； 時，；時，；時，；時，；所以，其代數精確度為3。28、（8分）已知求的迭代公式為： 證明：對一切，且序列是單調遞減的，從而迭代過程收斂。證明： 故對一切。又 所以，即序列是單調遞減有下界，從而迭代過程收斂。29、（9分）數

17、值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數精度是多少？解：是。因為在基點1、2處的插值多項式為 。其代數精度為1。30、(6分)寫出求方程在區間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(6分)，n=0,1,2, 對任意的初值,迭代公式都收斂。31、(12分)以100,121,144為插值節點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755532、

18、(10分)用復化Simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為。 或利用余項： ，36、(6分)構造代數精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數精度：取f(x)=1,x，令公式準確成立，得：， ，f(x)=x2時，公式左右=1/4; f(x)=x3時，公式左=1/5, 公式右=5/24 公式的代數精度=237、（15分）已知方程組，其中，（1）寫出該方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判斷（1）中兩種方法的收斂性，如果均收斂，說明哪一種方法收斂更快；解：（1）Jacobi迭代法的分量形式 Gauss-Seidel迭代法的分量形式 （2）Jacobi迭代法的迭代矩陣為， ，Jacobi迭代法收斂 Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣為， ，Gauss-Seidel迭代法發散 40、(10分)已知下列函數表：012313927(1)寫出相應的三次Lagrange插值多項式；(2)作均差表，寫出相應的三次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：（1） （2）均差表： 42、(10分)取5個等距節點 ，分別用復化梯形公式