1、WORD格式.可編輯無限循環小數如何化為分數由于小數部分位數是無限的，所以不可能寫成十分之幾、百分之 幾、千分之幾的數。轉化需要先“去掉”無限循環小數的“無限 小數部分”。一般是用擴倍的方法，把無限循環小數擴大十倍、一百 倍或一千倍使擴大后的無限循環小數與原無限循環小數的“無限小數部分”完全相同，然后這兩個數相減，這樣“大尾巴”就剪掉 了。方法一：（代數法）類型1：純循環小數如何化為分數例題:如何把0.33和0.4747 化成分數例1:0.33X 10= 3.330.33X 10-0.33=3.33一0.33(10-1) X 0.33 =3即9X 0.33=3那么0.33=3/9=1/3例2:

2、0.4747 X 100= 47.4747 0.4747 X 100- 0.4747 =47.4747 一0.4747 (100 1) X 0.4747 =47即 99X 0.4747 =47那么0.4747=47/9由此可見，純循環小數化為分數，它的小數部分可以寫成這樣的 分數：純循環小數的循環節最少位數是幾，分母就是由幾個 9組成的 數；分子是純循環小數中一個循環節組成的數。練習：(1) 0.3 =3/ (10-1 ) = 1/3(2) 0.31 31 =31/ (100-1 ) = 31/99。(3) 0.312 312 =類型2:混循環小數如何化為分數例題：把0.4777和0.3256

3、56化成分數例3:0.4777X 10=4.7770.4777 X 100=47.77 用一即得：0.4777 X 90=47- 4所以：0.4777 =43/90例 4:0.325656X 100=32.56560.325656 X 10000=3256.56用一即得：0.325656 X 9900=3256.565632.56560.325656 X 9900=3256- 32所以：0.325656 =3224/9900練習：(1) 0.366 =(2) 1.25858(3) 6.23898989 =可見，無限循環小數是有理數，是有理數就可以化成分數。方法二：(方程法)用一元一次方程求解1

4、. 把0.232323. 化成分數。設 X=0.232323因為 0.232323. = 0.23 + 0.002323所以 X = 0.23 + 0.01X解得：X = 23/992. 把 0.1234123412341234.化成分數。解：設 X=0.1234123412341234.因為 0.1234123412341234. = 0.1234 + 0.000012341234.所以 X = 0.1234 + 0.0001X解得：X = 1234/99993. 把 0.56787878.化成分數，因為 0.56787878.= 0.56 + 0.01 * 0.787878.所以設 X=0

5、.787878.則 X=0.78 + 0.01X所以 X = 78/99所以 原小數 0.56787878.=0.56+0.01X = 0.56 + 0.078/99 =2811/4950其它無限循環小數，請仿照上述例題去作方法三：任意一個無限循環小數都可以看成一個有限小數加上一個等比數列的極限和比如說0.233333333就可以看成0.2加上一個首項為0.03，公比為 0.1 的等比數列。那么問題就很簡單了0.233333333=0.2+0.03心-0.1)=1/5+1/30=7/30。也就是說任意一個有限循環小數化成分數有如下方法：首先找出選環節，如上面的例子就是3,然后計算選環節的單位長

6、度，如上題就是1,如0.232323.就是2, 0.123123123.就是3,這里記為q，然后寫出不是循環節的部分，如上題就是 0.2，這里記為a， 再寫出第一個循環節，如上題就是 0.03，女口 0.01789789789.就是 0.00789，這里記為b，分數的形式就是a+b/(1-1/(10Aq)，這里的 a,b,q都是有限小數，可方便化為分數。在高中學完了數列、極限以后，就會知道下面的方法：一，純循環小數化分數：循環節的數字除以循環節的位數個 9組成的 整數。例如：0.3333 =3/9=1/3 ;0.285714285714=285714/999999= 2/7.二，混循環小數：(

7、例如：0.24333333)不循環部分和循環節構 成的的數減去不循環部分的差，再除以循環節位數個9添上不循環部 分的位數個0。例如：0.24333333=(243-24)/900=73/3000.9545454=(954-9)/990=945/990=21/221位循環0.X X X X =X/92位循環 0.XY XY XY=XY/993 位循環 0.XYZ XYZ =XYZ/999N 位循環 0.a1a2a3 an a1a2a3 an二a1a2a3 an/9999 9(n 個9)推理依據：0.X X X X =0.X + 0.0X + 0.00X + 0.000X +=X * (0.1 +

8、 0.01 + 0.001 + 0.0001 +)=X * 0.1/(1-0.1 )無限等比數列和 Sn二a1/(1-q)首項/ (1-公比)=X * 1/90.XY XY XY =0.XY + 0.00XY + 0.0000XY +=XY * (0.01 + 0.0001 + 0.000001 +)=XY * 0.01/(1-0.01 )=XY * 1/990.X YZ XYZ XYZ =0.X YZ + 0.000X YZ + 0.000000X YZ +=XYZ * (0.001 + 0.000001 + 0.000000001 +)=XYZ * 0.001/(1-0.001 )=XYZ

9、 * 1/9990.a1a2a3 an a1a2a3 an=0.a1a2a3 an+0.000 0a1a2a3an(n 個 0) + =a1a2a3an * 0.00 01(n-1 個 0)/(1- 0.00 01)=a1a2a3 an * 1/9999 9(n 個 9)用幕的形式也可。0.0001（n-1個0）表示為1/105x = 0.333333.10x = 3.33333.10x - x = 3x = 1/3純循環小數，循環節有幾個數字，分母就有幾個9,分子是循環節的數字混循環小數，循環節有幾個數字，分母就有幾個9,循環節前到小 數點間有幾位數字，分母9后面就有幾個0,分子是混循環數字

10、減去 循環節前數字的差或者用極限解，還有就是樓上的樓上的方法我們可以將無限小數按照小數部分是否循環分成兩類：即無限循環小 數和無限不循環小數。無限不循環小數不能化成分數，而無限循環小 數是可以化成分數的。那么，無限循環小數又是如何化分數的呢？由 于它的小數部分位數是無限的，顯然不可能寫成十分之幾、百分之幾、 千分之幾的數。其實，循環小數化分數難就難在無限的小數位數。 所以我就從這里入手，想辦法去掉無限循環小數的循環的部分。策略就是用擴大倍數的方法，把無限循環小數擴大十倍、百倍或千倍 使擴大后的無限循環小數與原無限循環小數循環的部分完全相同，然后這兩個數相減，這樣就把循化的部分去掉了，我們的目的

11、就達到了， 我們來看兩個例子：例1 把0.4747和0.33化成分數。解法 1:0.4747 X 100=47.47470.4747 X 100- 0.4747 =47.4747 一0.4747 (100 1) X 0.4747 =47即 99X 0.4747 =47那么 0.4747=47/99解法2:0.33X 10= 3.330.33 X 10 0.33 =3.33一0.33 (10-1) X 0.33 =3即9X 0.33=3那么0.33=3/9=1/3由此可見，純循環小數化分數，它的小數部分可以寫成這樣的分數：純循環小數的循環節最少位數是幾，分母就是由幾個9組成的數；分子是純循環小數

12、中一個循環節組成的數。把0.4777和0.325656化成分數。想1: 0.4777X 10=4.7770.4777 X 100=47.77 用一即得：0.4777 X 90=47- 4所以，0.4777 =43/90想 2: 0.325656X 100=32.56560.325656 X 10000=3256.56用一即得：0.325656 X 9900=3256.565632.56560.325656 X 9900=3256- 32所以,0.32565 6=3224/9900由以上例題可以看出，一個混循環小數的小數部分可以化成分數，這個分數的分子是第二個循環節以前的小數部分組成的數與小數部

13、分 中不循環部分組成的數的差，分母的頭幾位數是9,末幾位是0。9的個數與循環節中的位數相同，0的個數與不循環部分的位數相同。從上面例題可知，一個純循環小數的小數部分可以化成分數，這個分 數的分子是一個循環節表示的數，分母的各位數都是 9，9的個數與 循環節的個數相同.最后能約分再約分。把無限循環小數化為分數給定一個無限循環小數，我們是否能把它化為分數呢？其實方法也很 簡單，其關鍵在于利用無限循環這一點。例如，給定小數0.272727.，如何把它化為分數呢？我們可以先把它寫成1 x 0.272727.= 0.272727.(1)由于這個小數包含兩個循環數字，我們把它乘以100:100 x 0.2

14、72727.=27.2727.(2)接著用減(1)，利用無限循環的特點，把小數點后的數字全部去掉,99 x 0.272727.= 27 接著把化簡，得0.272727.=3/11當循環數字并非包括小數點后所有數字時，我們便需要多一點工夫例如要把小數0.11345345 化為分數，可以這樣做：100 x 0.11345345.=11.345345.100000 x 0.11345345.=11345.345.99900 x 0.11345345.=113340.11345345.=11334/99900=1889/16650利用上述方法，我們還可以獲得某些意想不到的結果。試把0.99.化為分數：

15、1 x 0.99.= 0.99.10 x 0.99.= 9.999 x 0.99.= 90.99.=1于是，我們得到1的無限循環小數表達式除了是1.00.夕卜，還可以是0.99.。事實上，我們可以證明，凡是除得盡的分數，除可表達為以無限個0結尾的循環小數外，還可表達為以無限個9結尾的 循環小數將純循環小數改寫成分數，分子是一個循環節的數字組成的數； 分母 各位數字都是9, 9的個數與循環節中的數字的個數相同.將混循環小數改寫成分數，分子是不循環部分與第一個循環節連 成的數字組成的數，減去不循環部分數字組成的數之差； 分母的頭幾 位數字是9,末幾位數字是0, 9的個數跟循環節的數位相同，0的個 數跟不循環部分的數位相同.無限循環小數，先找其循環節(即循環的那幾位數字)，然后將其展開為一等比數列、求出前n項和、取極限、化簡。例如：0.333333循環節為3則 0.3=3*10八(-1)+3*10八(-2)+ +3八10( - n)+ 前 n 項和為：30.1(1-(0.1)A(n)(1-0.1)當n趨向無窮時(0.1 ) a 5)=0因此 0.3333 =0.3/0.9=1/3注意：mAn的意義為m的n次方。方法二：設零點三，三循環為x，可知10x-x二三點三，三循環-零點三，三循環9x=3x=1/3第二種：如，將 3.30503