1、2015屆普陀區高三二模數學試卷（理科）2015.04一、填空題（共14題，每題4分，滿分56分）1.不等式的解集為 .2.若（為虛數單位），則實數 .3.若函數的最小正周期為，則 .4. 集合，則 .5. 若，則函數的單調遞增區間為 .6.如圖，若，則以為長半軸，為短半軸，為左焦點的橢圓的標準方程為 .7.函數，若函數是偶函數，則 .8.一個圓錐與一個球的體積相等且圓錐的底面半徑是球半徑的2倍，若圓錐的高為1，則球的表面積為 .9.已知直線和曲線的極坐標方程分別為和，若和相交于兩點，則 .10.如圖，機車甲、乙分別停在處，且，甲的速度為4千米/小時，乙的速度是甲的，甲沿北偏東的方向移動，乙沿

2、正北方向移動，若兩者同時移動100分鐘，則它們之間的距離為 千米.11.一個袋子中有7個除顏色外完全相同的小球，其中5個紅色，2個黑色.從袋中隨機地取出3個小球.其中取到黑球的個數為，則 （結果用最簡分數作答）.12.若正方形的邊長為1，且則 .13.已知復數滿足，若，則在復平面上對應的點組成的圖形的面積為 .14.，用記號 表示不小于實數的最小整數，例如，；則函數的所有零點之和為 .二、選擇題（共4題，每題5分，滿分20分）15. 表示直線，表示平面，下列命題正確的是（ ）a.若，則 b. 若， ，則c. 若，則 d.若，則16.”直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個公共點”的（ ）a

3、.充分非必要條件 b.必要非充分條件c.充要條件 d.非充分非必要條件17. 在的展開式中，若第五項的系數與第三項的系數之比為56：3，則展開式中的常數項是（ ）a.第2項 b.第3項 c.第4項 d.第5項18.已知均為正整數，記為矩陣中第行、第列的元素，且，（其中，）；給出結論：；若為常數，則.其中正確的個數是（ ）a.0個b.1個c.2個d.3個三、解答題（本大題共5題，寫出必要的文字說明與步驟）19.（本題滿分12分，第1小題6分，第2小題6分） 已知函數，.（1）若直線是函數的圖像的一條對稱軸，求的值；（2）若，求的值域.20.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）在正方體中

4、，是棱的中點.（1）求直線與平面所成角的大小（結果用反三角函數表示）（2）在棱上是否存在一點，使得平面，若存在，指明點的位置，若不存在，請說明理由.20.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知函數的反函數為（1）若，求實數的值；（2）若關于的方程在區間內有解，求實數的取值范圍；22.（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題7分，第3小題5分）如圖，射線所在的直線的方向向量分別為，點在內，于，于；（1）若，求的值；（2）若，的面積為，求的值；（3）已知為常數，的中點為，且，當變化時，求動點軌跡方程；23.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知數列的前項和為，

5、且，（1）若，求數列的前項和；（2）若，求證：數列為等比數列，并求出其通項公式；（3）記，若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍.2015屆普陀區高三二模數學試卷（理科）答案2015.04一、填空題（共14題，每題4分，滿分56分）1.不等式的解集為 .2.若（為虛數單位），則實數 .3.若函數的最小正周期為，則 2 .4. 集合，則 .5. 若，則函數的單調遞增區間為 .6.如圖，若，則以為長半軸，為短半軸，為左焦點的橢圓的標準方程為 .7.函數，若函數是偶函數，則 1 .8.一個圓錐與一個球的體積相等且圓錐的底面半徑是球半徑的2倍，若圓錐的高為1，則球的表面積為 .9.已知直線和曲線的極坐標

6、方程分別為和，若和相交于兩點，則 .10.如圖，機車甲、乙分別停在處，且，甲的速度為4千米/小時，乙的速度是甲的，甲沿北偏東的方向移動，乙沿正北方向移動，若兩者同時移動100分鐘，則它們之間的距離為 千米.11.一個袋子中有7個除顏色外完全相同的小球，其中5個紅色，2個黑色.從袋中隨機地取出3個小球.其中取到黑球的個數為，則 （結果用最簡分數作答）.12.若正方形的邊長為1，且則 5 .13.已知復數滿足，若，則在復平面上對應的點組成的圖形的面積為 .14.，用記號 表示不小于實數的最小整數，例如，；則函數的所有零點之和為 .二、選擇題（共4題，每題5分，滿分20分）15. 表示直線，表示平面

7、，下列命題正確的是（ d ）a.若，則 b. 若， ，則c. 若，則 d.若，則16.”直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個公共點”的（ a ）a.充分非必要條件 b.必要非充分條件c.充要條件 d.非充分非必要條件17. 在的展開式中，若第五項的系數與第三項的系數之比為56：3，則展開式中的常數項是（ b ）a.第2項 b.第3項 c.第4項 d.第5項18.已知均為正整數，記為矩陣中第行、第列的元素，且，（其中，）；給出結論：；若為常數，則.其中正確的個數是（ b ）a.0個b.1個c.2個d.3個三、解答題（本大題共5題，寫出必要的文字說明與步驟）19.（本題滿分12分，第1小題6

8、分，第2小題6分） 已知函數，.（1）若直線是函數的圖像的一條對稱軸，求的值；（2）若，求的值域.解：（1），其對稱軸為，因為直線線是函數的圖像的一條對稱軸，所以，又因為，所以即.(2)由（1）得所以的值域為.20.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）在正方體中，是棱的中點.（1）求直線與平面所成角的大小（結果用反三角函數表示）（2）在棱上是否存在一點，使得平面，若存在，指明點的位置，若不存在，請說明理由.解：（1）（2）存在，在棱的中點.(提示：用空間向量)21.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知函數的反函數為（1）若，求實數的值；（2）若關于的方程在區間內有解，求實數的取值范圍；解：（1）（2）.22.（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題7分，第3小題5分）如圖，射線所在的直線的方向向量分別為，點在內，于，于；（1）若，求的值；（2）若，的面積為，求的值；（3）已知為常數，的中點為，且，當變化時，求動點軌跡方程；解：（1）；（2）；（3）設，設直線的傾斜角為，則，根據題意得代入化簡得動點軌跡方程為.23.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知數列的前項和為，且，（1）若，求數列的前項和；（2）若，求證：數列為等比數列，并求出其通項公式；（3）記，若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）(2