1、概率的運(yùn)算法則概率的運(yùn)算法則2. 條件概率條件概率3. 乘法公式乘法公式5. 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式內(nèi)容提要內(nèi)容提要4. 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 1. 概率的加法概率的加法。)()()()(ABPBPAPBAPSAB返回主目錄對(duì)任意的兩個(gè)事件對(duì)任意的兩個(gè)事件A，B概率的加法公式概率的加法公式()( )( )( )P ABCP AP BP C推論2）若）若A,B,C為兩兩互不相容的事件，則為兩兩互不相容的事件，則1）當(dāng)事件）當(dāng)事件A，B互不相容時(shí)互不相容時(shí)()( )( )P ABP AP B3）若）若A1，A2,An為兩兩互不相容的事件，則為兩兩互不相容的事件，則1212

2、(.)()().()nnP AAAP AP AP A4）事件）事件 為互相對(duì)立事件為互相對(duì)立事件( )1( )P AP A 3）若）若A1，A2,An為完備事件組，則為完備事件組，則1212()().()(.)1nnP AP AP AP AAA,A A5) 若事件若事件A B,則則P(A-B)=P(A)-P(B) 例例1n盒中有盒中有32只紅球只紅球, 4只白球只白球,從中任取從中任取2支支,求求: 至少有至少有1只白球的概率只白球的概率.n解：解：P(恰好恰好1只白球只白球)=P(A) =2032. 0/23613214CCC0095. 023624CCP(恰好恰好2只白球只白球)=P(B)

3、 =P(至少至少1只白球只白球)=P(A+B) =P(A)+P(B) =0.2032+0.0095 =0.2127解法解法2:2:2127.01)(1)(236232CCDPDP例例2 2 小王參加小王參加“智力大沖浪智力大沖浪”游戲游戲, , 他能答他能答出甲、乙二類問題的概率分別為出甲、乙二類問題的概率分別為0.70.7和和0.2,0.2, 兩類問題都能答出的概率為兩類問題都能答出的概率為0.1. 0.1. 求小王求小王解解 事件事件A,BA,B分別表示分別表示“能答出甲能答出甲, ,乙類問題乙類問題”(1)6 . 01 . 07 . 0)()()(ABPAPBAP(1) (1) 答出甲類

4、而答不出乙類問題的概率答出甲類而答不出乙類問題的概率 (2) (2) 至少有一類問題能答出的概率至少有一類問題能答出的概率 (3) (3) 兩類問題都答不出的概率兩類問題都答不出的概率(2)8 . 0)()()()(ABPBPAPBAP(3)2 . 0)()(BAPBAP 在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在某些附加信息某些附加信息(條件條件)下求事件的概率下求事件的概率.如在事件如在事件發(fā)生的條件下求事件發(fā)生的條件下求事件發(fā)發(fā)生的概率，將此概率記作生的概率，將此概率記作P(|). 一般一般 P(|) P() ， 那么那么 P(|) ？ 條件概率條件概率 光明玩具廠

5、光明玩具廠-有職工有職工500人，男女各半，人，男女各半，男女職工中非熟練工人分別為男女職工中非熟練工人分別為40人與人與10人，現(xiàn)人，現(xiàn)從該廠任取一人，問：從該廠任取一人，問：1）改職工時(shí)非熟練工人的概率是多少？）改職工時(shí)非熟練工人的概率是多少？2）若已知選出的是女職工，）若已知選出的是女職工， 她是非熟練工人她是非熟練工人的概率是多少？的概率是多少？ A B=設(shè)選出的工人是非熟練工人選出的工人是女職工例例 1501) ( )0.1,500102(|0.04250P AP A B）解：解： 將一枚硬幣拋擲兩次將一枚硬幣拋擲兩次 ,觀察其正反面發(fā)生觀察其正反面發(fā)生情況。情況。設(shè)設(shè) A= “至少

6、有一次為正面至少有一次為正面”, B=“兩次擲出同一面兩次擲出同一面”. 現(xiàn)在來求已知事件現(xiàn)在來求已知事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事已經(jīng)發(fā)生的條件下事件件 B 發(fā)生的概率發(fā)生的概率.分析分析 , , , .HH HT TH TT( )21( ).( )42N BP BN. , 為反面為反面為正面為正面設(shè)設(shè)TH例例 2,TTHHBTHHTHHA ( )3( ),( )4N AP AN易知易知,)(？考考慮慮 ABP )(ABP).(BP )()(ANABN 在已知在已知發(fā)生的條件下考慮發(fā)生的條件下考慮，樣本空間減縮為，樣本空間減縮為,AHH HT TH 而而 中只有一個(gè)樣本點(diǎn)中只有一個(gè)樣本點(diǎn),BHH

7、 故故()()N ABN31 ()( )(|)( )( )N ABNP B AN A N.)()(APABP . 1)( ABN即即易知易知)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得為事件為事件 B 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率.)()()(, 0)(,條件概率條件概率發(fā)生的發(fā)生的發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件為在事件為在事件稱稱且且是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件設(shè)設(shè)BAAPABPABPAPBA (2) 定義定義,0)(時(shí)時(shí) BP例例 某種動(dòng)物由出生算起活某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為歲以上的概率為0.8, 活到活到25歲以上的概率為歲以上的概率為0.

8、4, 如果現(xiàn)在有一個(gè)如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物歲的這種動(dòng)物, 問它能活到問它能活到25歲以上的概率是歲以上的概率是多少多少? 設(shè)設(shè) A =“ 能活能活 20 歲以上歲以上 ” 的事件，的事件， B= “ 能活能活 25 歲以上歲以上”的事件的事件,則所求概率為則所求概率為, 8 . 0)( AP因?yàn)橐驗(yàn)?)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所以所以解解).()(.)()()()(12122112112121 nnnnnAAAAPAAAAPAAAPAAPAPAAAP則有則有且且, 0)(121

9、nAAAP, 2,:221 nnAAAn個(gè)事件個(gè)事件為為設(shè)設(shè)推廣推廣則有則有且且為事件為事件設(shè)設(shè)推廣推廣, 0)(,:121321 AAPAAA).()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP ).()()(, 0)(BPBAPABPBP 則有則有設(shè)設(shè)乘法公式乘法公式例例3 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時(shí)第一次落下時(shí)打破的概率為打破的概率為1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落第二次落下打破的概率為下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破若前兩次落下未打破, 第三第三次落下打破的概率為次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落

10、下三次而未試求透鏡落下三次而未打破的概率打破的概率.解解以以B 表示事件表示事件“透鏡落下三次而未打破透鏡落下三次而未打破”.,321AAAB 因?yàn)橐驗(yàn)?()(321AAAPBP 所以所以)()()(213121AAAPAAPAP )1091)(1071)(211( .2003 ,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透鏡鏡第第表表示示事事件件以以iiAi n引例：華夏保安公司有行政管理人員引例：華夏保安公司有行政管理人員100名，其中年輕名，其中年輕人人40名，該公司規(guī)定每天從所有行政人員中隨機(jī)挑選名，該公司規(guī)定每天從所有行政人員中隨機(jī)挑選一人為當(dāng)天值班人員，且不論其是否前一天剛好值過

11、一人為當(dāng)天值班人員，且不論其是否前一天剛好值過班，現(xiàn)計(jì)算下列兩個(gè)事件的概率。班，現(xiàn)計(jì)算下列兩個(gè)事件的概率。n1）已知第一天選出的是年輕人，）已知第一天選出的是年輕人， 第二天選出的也是第二天選出的也是年輕人的概率；年輕人的概率；n2）第二天選出的是年輕人的概率。）第二天選出的是年輕人的概率。解解: 設(shè)設(shè)A=第一天選出的是年輕人第一天選出的是年輕人 B=第二天選出的是年輕人第二天選出的是年輕人事件的相互獨(dú)立性事件的相互獨(dú)立性4040(|), ( ) (|)( )100100P A BP BP A BP B.,)()()(,獨(dú)立獨(dú)立簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱相互獨(dú)立相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是

12、兩事件是兩事件設(shè)設(shè)BABABPAPABPBA 事件事件 A 與與 事件事件 B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,是指事件是指事件 A 的的發(fā)生與事件發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無(wú)關(guān)發(fā)生的概率無(wú)關(guān).說明說明 （2）定義定義事件的相互獨(dú)立性事件的相互獨(dú)立性兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 AB,21)(AP若例如例如兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系.請(qǐng)同學(xué)們思考請(qǐng)同學(xué)們思考二者之間沒二者之間沒有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系A(chǔ)兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 ABAB例如例如兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系

13、兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系.請(qǐng)同學(xué)們思考請(qǐng)同學(xué)們思考二者之間沒二者之間沒有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系,21)(,21)( BPAP若若兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 ABA,21)(,21)( BPAP若若B).()()(BPAPABP 則則例如例如由此可見由此可見兩事件兩事件相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，但兩事件但兩事件不互斥不互斥.兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系.請(qǐng)同學(xué)們思考請(qǐng)同學(xué)們思考二者之間沒二者之間沒有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系A(chǔ)BAB21)(,21)( BPAP若若. )()()(BPAPABP 故故由此可見由此可見兩事件

14、兩事件互斥互斥但但不獨(dú)立不獨(dú)立., 0)( ABP則則,41)()( BPAPA，B互斥互斥（3）三事件兩兩相互獨(dú)立的概念）三事件兩兩相互獨(dú)立的概念.,),()()(),()()(),()()(,兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個(gè)事件是三個(gè)事件設(shè)設(shè)定義定義CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 注意注意三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立（4）三事件相互獨(dú)立的概念）三事件相互獨(dú)立的概念.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互獨(dú)立相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是

15、三個(gè)事件是三個(gè)事件設(shè)設(shè)定義定義CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA ),()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21為相互獨(dú)立的事件為相互獨(dú)立的事件則稱則稱nAAAn 個(gè)事件相互獨(dú)立個(gè)事件相互獨(dú)立n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立具有等式具有等式任意任意如果對(duì)于任意如果對(duì)于任意個(gè)事件個(gè)事件是是設(shè)設(shè),1),1(,2121niiinkknAAAkn 推廣推廣12,(2),(2).nA AAnkkn注意： 若事件相互獨(dú)立 則其中任意個(gè)事件也是相互獨(dú)立證明證明)()()(APABPABP )()()()(BPAPBPAP ).()(BP

16、ABP .).()(,. 0)(,反之亦然反之亦然則則互獨(dú)立互獨(dú)立相相若若且且是兩事件是兩事件設(shè)設(shè)BPABPBAAPBA 定理定理必要性必要性充分性充分性)()()(BPAPABP 由由).()(BPABP 由由)()()|()(BPAPABPAP )()()(BPAPABP .,也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立與與與與與與則下列各對(duì)事件則下列各對(duì)事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立若若BABABABA 定理定理例例 觀察表明，觀察表明， 一家醫(yī)院的掛號(hào)處，新到者是一一家醫(yī)院的掛號(hào)處，新到者是一急診病人的概率是急診病人的概率是1/6.求第求第 r 個(gè)到達(dá)的病人為首個(gè)到達(dá)的病人為首例急診病人的概率例急診病人的概率.設(shè)各到達(dá)

17、的病人是否為急診設(shè)各到達(dá)的病人是否為急診病人相互獨(dú)立病人相互獨(dú)立. 1,2, irDiiAr解記為“第 個(gè)到達(dá)者為急診病人”，為“第 個(gè)到達(dá)者為首例急診病人”，rrrDDDDA121 則則.61)611()()()()()(1121 rrrrDPDPDPDPAP例題講解例題講解例例 某一治療方法對(duì)一個(gè)病人有效的概率為某一治療方法對(duì)一個(gè)病人有效的概率為0.9 ，今對(duì)今對(duì)3個(gè)病人進(jìn)行了治療，求對(duì)個(gè)病人進(jìn)行了治療，求對(duì)3個(gè)病人的治療個(gè)病人的治療中，至少有一人是有效的概率中，至少有一人是有效的概率.設(shè)對(duì)各個(gè)病人的設(shè)對(duì)各個(gè)病人的治療效果是相互獨(dú)立的治療效果是相互獨(dú)立的.“3,1,iAAi解設(shè)對(duì) 個(gè)病人治

18、療中 至少 人有效的“對(duì)第 個(gè)人有效”則)(1)(APAP 31 (1 0.9)0.999 )(1321AAAP )(1)(1)(1(1321APAPAP )(321AAAP ,(1 2),.p p 甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽 每局甲勝的概率為問對(duì)甲而言 采用三局二勝制有利 還是采用五局三勝制有利 設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立例例解解,甲最終獲勝甲最終獲勝采用三局二勝制采用三局二勝制:勝局情況可能是勝局情況可能是“甲甲甲甲”, “乙乙甲甲甲甲”,“甲甲乙乙甲甲”;,容容由于這三種情況互不相由于這三種情況互不相:獲勝的概率為獲勝的概率為于是由獨(dú)立性得甲最終于是由獨(dú)立性得甲最終).1(2221pppp ,3,

19、局局至至少少需需比比賽賽甲甲最最終終獲獲勝勝采采用用五五局局三三勝勝制制.,局局而而前前面面甲甲需需勝勝二二且且最最后后一一局局必必需需是是甲甲勝勝,比比賽賽四四局局例例如如:則則甲甲的的勝勝局局情情況況可可能能是是“甲甲乙乙甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲甲甲”,“甲甲甲甲乙乙甲甲”;,容容由于這三種情況互不相由于這三種情況互不相:,甲甲最最終終獲獲勝勝的的概概率率為為在在五五局局三三勝勝制制下下.)1(24)1(2323332pppppp :且由獨(dú)立性得)312156(23212 pppppp由于由于).12()1(322 ppp;,2112ppp 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).21,2112 ppp時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). ,

20、21制有利制有利對(duì)甲來說采用五局三勝對(duì)甲來說采用五局三勝時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng) p. 21,21都都是是相相同同的的概概率率是是兩兩種種賽賽制制甲甲最最終終獲獲勝勝的的時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) p121212,(i), ,1,2, ;(ii).,.nijnnEB BBEB Bij i jnBBBB BB 定義設(shè)為試驗(yàn) 的樣本空間為的一組事件 若則稱為樣本空間的一個(gè)劃分(1) 完備事件組（完備事件組（樣本空間的劃分）樣本空間的劃分）1B2B3B1 nBnB全概率公式全概率公式21 有三個(gè)罐子有三個(gè)罐子,1號(hào)裝有號(hào)裝有 2 紅紅 1 黑球黑球 , 2號(hào)裝有號(hào)裝有 3 紅紅 1 黑球，黑球，3號(hào)裝有號(hào)裝有 2 紅紅 2 黑球

21、黑球. 某人從中隨機(jī)取某人從中隨機(jī)取一罐，再?gòu)闹腥我馊〕鲆磺颍还蓿購(gòu)闹腥我馊〕鲆磺颍笕〉眉t球的概率求取得紅球的概率.3引例：引例： 如何求取得紅球的概率？如何求取得紅球的概率？(2) 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式121122,()0(1, 2, ),( )() ()() ()() ()ninnEAEB BBP BinP AP A B P BP A BP BP A BP B定理設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為為的事件為的一個(gè)劃分 且則 jiBB由由 )(jiABAB)()()()(21nABPABPABPAP 圖示圖示A1B2B3B1 nBnB證明證明12()nAAABBB .21nABAB

22、AB ).()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP 化整為零各個(gè)擊破它可以將一個(gè)復(fù)雜它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問事件的概率計(jì)算問題題,分解為若干個(gè)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問題算問題,最后應(yīng)用最后應(yīng)用概率的可加性求出概率的可加性求出最終結(jié)果最終結(jié)果.21解解 記記 Bi = 球取自球取自 i 號(hào)罐號(hào)罐 i=1, 2, 3; A = 取得紅球取得紅球 有三個(gè)罐子有三個(gè)罐子,1號(hào)裝有號(hào)裝有 2 紅紅 1 黑球黑球 , 2號(hào)裝有號(hào)裝有 3 紅紅 1 黑球，黑球，3號(hào)裝有號(hào)裝有 2 紅紅 2 黑球黑球. 某人從中隨某人從中隨機(jī)取一罐，再?gòu)闹腥我馊〕鲆磺颍?/p>

23、機(jī)取一罐，再?gòu)闹腥我馊〕鲆磺颍笕〉们笕〉眉t球紅球的概率的概率.31)|()()(yiiiBAPBPAP由全概率公式得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P( (A) ) 0.639 . 3再看引例再看引例 依題意依題意: P(A|B1)=2/3, P(A|B2 )=3/4,P(A|B3 )=1/2,3/1)(iBP例： 甲、乙、丙三車間的次品率分別為甲、乙、丙三車間的次品率分別為1%，1.5%，2%，且全廠各車間產(chǎn)品所占比例為，且全廠各車間產(chǎn)品所占比例為25%，35%，40%，求全廠的次品率？，求全廠的次品率？解：設(shè)設(shè)Ai (I=1,2,3):分別為抽得甲、乙、丙三車間的產(chǎn)品分別為抽得甲、乙、丙

24、三車間的產(chǎn)品 B：表示抽到次品。：表示抽到次品。則：P（B）niiiABPAP1)()(%2%40%5 . 1%35%1%25%6 . 1引例：引例：某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自是紅球，求該球是取自 1號(hào)罐的概率號(hào)罐的概率.213這是這是“已知結(jié)果求原已知結(jié)果求原因因”的問題是求一個(gè)條的問題是求一個(gè)條件概率件概率.下面就介紹為解決這類問題而引出的下面就介紹為解決這類問題而引出的 Bayes( (貝葉斯貝葉斯) )公式公式Bayes(貝葉斯貝葉斯)公式公式稱此為稱此為貝葉斯公式貝葉斯公式.121.,( )0,()0,(1,2, ),() (

25、)(),1,2, .() ()niiiinjjjEAEBBBP AP BinP A B P BP B AinP A BP B定理設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為為的事件為的一個(gè)劃分 且則 (3) 貝葉斯公式貝葉斯公式貝葉斯資料貝葉斯資料證明證明)()()(APABPABPii ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝葉斯(Bayes)給出給出. 它是在觀察到事件它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率發(fā)生的每個(gè)原因的概率.某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)

26、是紅球，求該球是取自是紅球，求該球是取自 1號(hào)罐的概率號(hào)罐的概率.再看引例再看引例 21解解 記記 Bi = 球取自球取自 i 號(hào)罐號(hào)罐 i=1, 2, 3; A = 取得紅球取得紅球 B1,B2,B3是樣本空間的一個(gè)劃分是樣本空間的一個(gè)劃分 31)|()()()|()|(iiiBAPBPBPBAPABP由由貝貝葉葉斯斯公公式式得得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：3其中其中P(A|B1)=2/3, P(A|B2 )=3/4,P(A|B3 )=1/2,P(Bi)=1/3,i=1,2,3， )|(ABP0.3478;,)1.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概概率率求求它它是是次次品品的的元元件件在在倉(cāng)倉(cāng)庫(kù)庫(kù)中中隨隨機(jī)機(jī)地地取取一一只只無(wú)無(wú)區(qū)區(qū)別別的的標(biāo)標(biāo)志志且且倉(cāng)倉(cāng)庫(kù)庫(kù)中中是是均均勻勻混混合合的的設(shè)設(shè)這這三三家家工工廠廠的的產(chǎn)產(chǎn)品品在在提提供供元元件件的的份份額額次次品品率率元元件件制制造造廠廠的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)根根據(jù)據(jù)以以往往的的記記錄錄有有以以下下件件制制造造廠廠提提供供的的的的元元件件是是由由三三家家元元某某電電子子設(shè)設(shè)備備制制造造廠廠所所用用例例.