1、平行公理的研究(公元前3世紀至1800年)A+B+C=2非歐幾何的孕育非歐幾何的孕育歐幾里得普萊菲爾(蘇格蘭, 1748-1819)勒讓德(法, 1752-1833) 若一直線落在兩直線上所構成的同旁內角和小于兩直角若一直線落在兩直線上所構成的同旁內角和小于兩直角, , 那那么把兩直線無限延長么把兩直線無限延長, , 它們都在同旁內角和小于兩直角的一側它們都在同旁內角和小于兩直角的一側相交相交. .n 勒讓德勒讓德( (法法, 1752-1833) , 1752-1833) 幾何學原理幾何學原理：這條關：這條關于三角形的三個內角和的定理應該認為是那些基本于三角形的三個內角和的定理應該認為是那些

2、基本真理之一。這些真理是不容爭論的，它們是數學永真理之一。這些真理是不容爭論的，它們是數學永恒真理的不朽的例子。恒真理的不朽的例子。(1832)(1832)n 17331733年薩凱里年薩凱里( (意意, 1667-1733), 1667-1733)歐歐幾里得無懈可擊幾里得無懈可擊非歐幾何的孕育非歐幾何的孕育非歐幾何的孕育非歐幾何的孕育n 17661766年蘭伯特年蘭伯特( (法法, 1728-1777), 1728-1777)平行線理論平行線理論不認為銳角假不認為銳角假設矛盾設矛盾, , 認識到如果一組假設不引起矛盾認識到如果一組假設不引起矛盾, , 就提供了一種就提供了一種可能的可能的幾何

3、幾何n 17631763年，克呂格爾年，克呂格爾( (德德, 1739-, 1739-1812)1812)第一位對平行線公設是否第一位對平行線公設是否能由其它公理加以證明能由其它公理加以證明表示懷表示懷疑疑的數學家的數學家n 18201820年年FF鮑約鮑約( (匈匈, 1775-1856): “, 1775-1856): “我經過了我經過了這個長夜的渺無希望的黑暗這個長夜的渺無希望的黑暗, , 在這里埋沒了我在這里埋沒了我一生的一切亮光和一切快樂一生的一切亮光和一切快樂,或許這個無或許這個無底洞的黑暗將吞食掉一千個猶如燈塔般的牛頓底洞的黑暗將吞食掉一千個猶如燈塔般的牛頓, , 而使大地永無光

4、明。而使大地永無光明?！?)非歐幾何非歐幾何n 18131813年高斯年高斯( (德德, , 1777-1855)1777-1855)：非歐幾：非歐幾里得幾何里得幾何n 18321832年波約年波約( (匈匈, , 1802-1860)1802-1860)絕對空絕對空間的科學間的科學l 幾何學上的哥白尼幾何學上的哥白尼n 18261826年羅巴切夫斯年羅巴切夫斯基基( (俄俄, 1792-1856), 1792-1856)簡要論述平行線定簡要論述平行線定理的一個嚴格證明理的一個嚴格證明羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基( (蘇聯蘇聯, , 1951)1951)非歐幾何非歐幾何l羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基(

5、 (俄俄, 1792-1856), 1792-1856)，喀山大學教，喀山大學教授、校長授、校長l18151815年著手研究平行線理論，試圖給出平行年著手研究平行線理論，試圖給出平行公設的證明公設的證明l18261826年在物理數學系會議宣讀年在物理數學系會議宣讀簡要論述平簡要論述平行線定理的一個嚴格證明行線定理的一個嚴格證明l18291829年論文年論文幾何學原理幾何學原理在在喀山大學通喀山大學通報報全文發表全文發表l直至羅巴切夫斯基去世的直至羅巴切夫斯基去世的3030年內，沒能贏得年內，沒能贏得社會的承認和贊美社會的承認和贊美鮑約(羅馬尼亞, 1960)非歐幾何非歐幾何鮑約父子之墓內蘊幾何

6、，流形曲率18541854年黎曼年黎曼( (德德, 1826-1866), 1826-1866)關于幾何基礎的假設關于幾何基礎的假設 )( )( )( 歐氏幾何率曲零羅氏幾何負常曲率黎曼幾何正常曲率常曲率空間 拋物幾何雙曲幾何橢圓幾何非歐幾何非歐幾何非歐幾何非歐幾何 18461846年進入哥廷根大學專修語言和神學年進入哥廷根大學專修語言和神學 1847-18481847-1848年到柏林大學年到柏林大學, , 進入數學領域進入數學領域 1849-18511849-1851年在哥廷根大學年在哥廷根大學, , 取得博士學位取得博士學位, , 學位論文學位論文“單復變函數一般理論基礎單復變函數一般理

7、論基礎” 18541854年講師職位講演年講師職位講演: : 關于幾何基礎的假設關于幾何基礎的假設, 1857, 1857年副教年副教授授, 1859, 1859年教授年教授 18621862年得肺結核年得肺結核, 1866, 1866年在意大利逝世年在意大利逝世 18761876年出版年出版黎曼全集黎曼全集( (發表論文發表論文1818篇篇, , 遺稿遺稿1212篇篇) ) 偉大的分析學家：復變函數論、阿貝爾函數論、超幾何偉大的分析學家：復變函數論、阿貝爾函數論、超幾何級數與常微分方程、解析數論、實分析、幾何學、數學物級數與常微分方程、解析數論、實分析、幾何學、數學物理、物理學理、物理學黎曼

8、(德, 1826-1866) “ “ 黎曼是一個富有想象的天才黎曼是一個富有想象的天才, , 他的想法即使沒有證明他的想法即使沒有證明, , 也鼓舞了整整一個世紀的數學家也鼓舞了整整一個世紀的數學家.”.”l模型與相容性模型與相容性l 18681868年貝爾特拉米年貝爾特拉米( (意意, 1835-1899), 1835-1899)非歐幾何非歐幾何曳物線偽球面l 18711871年克萊因年克萊因( (德德, 1849-1925), 1849-1925)l 18821882年龐加萊年龐加萊( (法法, 1854-1912), 1854-1912)非歐幾何非歐幾何克萊因克萊因- -龐加萊圓龐加萊圓

9、 蒙日(法國, 1953)l 18031803年卡爾諾年卡爾諾( (法法, 1753-1823), 1753-1823)的的位置幾何學位置幾何學卡爾諾(法國, 1950)l 17991799年蒙日年蒙日( (法法, 1746-1818), 1746-1818)的的畫法幾何學畫法幾何學射影幾何射影幾何l 早期開拓者早期開拓者: : 德沙格德沙格( (法法, 1591-1661), , 1591-1661), 帕斯卡帕斯卡( (法法, 1623-, 1623-1662)1662)l綜合方法綜合方法連續性原理連續性原理對偶原理對偶原理18221822年龐斯列年龐斯列( (法法, 1788-, 178

10、8-1867)1867)的的論圖形的射影論圖形的射影性質性質射影幾何射影幾何l 代數方法代數方法默比烏斯(德, 1790-1868)18271827年默比烏斯年默比烏斯( (德德, 1790-, 1790-1868)1868)的的重心計算重心計算18291829年普呂克年普呂克( (德德, 1801-1868), 1801-1868)的三線坐標的三線坐標普呂克(德, 1801-1868)射影幾何射影幾何射影幾何射影幾何施陶特(德, 1798-1867)l 18471847年施陶特年施陶特( (德德, 1798-1867), 1798-1867)的的位置幾何位置幾何學學l 凱萊凱萊( (英英,

11、1821-1895), 1821-1895)在射影幾何基礎上建立在射影幾何基礎上建立歐氏幾何和非歐幾何歐氏幾何和非歐幾何凱萊(英, 1821-1895)所謂幾何學，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質的學科，或者說任何一種幾何學只是研究與特定的變換群有關的不變量。 18721872年克萊因年克萊因( (德德, 1849-1925), 1849-1925)的的愛爾朗根綱領愛爾朗根綱領統一的幾何學統一的幾何學18651865年進入波恩大學年進入波恩大學( (建于建于17861786年年) )學習生學習生物物 1866-18681866-1868年普呂克年普呂克( (德德, 1801-186

12、8), 1801-1868)的博的博士士 1869-18861869-1886年年: : 哥廷根大學、柏林大學、哥廷根大學、柏林大學、普法戰爭、埃爾朗根大學、慕尼黑工業大學、普法戰爭、埃爾朗根大學、慕尼黑工業大學、萊比錫大學、哥廷根大學萊比錫大學、哥廷根大學 克萊因使哥廷根這座具有高斯、黎曼傳統克萊因使哥廷根這座具有高斯、黎曼傳統的德國大學更富有科學魅力，吸引了一批有的德國大學更富有科學魅力，吸引了一批有杰出才華的年青數學家，使之成為杰出才華的年青數學家，使之成為2020世紀初世紀初世界數學的中心之一世界數學的中心之一愛爾朗根綱領射影幾何仿射幾何單重橢圓幾何二重橢圓幾何雙曲幾何歐幾里得幾何其它仿射幾何統一的幾何學統一的幾何學克萊因：克萊因：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。的一切?！睅缀螌W的公理化幾何學的公理化 1899年希爾伯特幾何基礎n 選擇和組織公理系統的原則 連續公理平行公理合同公理順序公理關聯公理 完備性獨立性相容