1、排列組合問題題型方法總結排列組合常用方法題型總結【知識內容】1. 基本計數原理加法原理分類計數原理：做一件事，完成它有”類辦法， 在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦 法中有種方法，在第類辦法中有“種不同的方法.那么完成這件事共有 N = + 叫 + +mH 種不 同的方法.又稱加法原理.乘法原理分步計數原理：做一件事，完成它需要分成個 子步驟，做第一個步驟有“種不同的方法，做第 二個步驟有“種不同方法，,做第個步驟有 叫種不同的方法.那么完成這件事共有 N = 叫X” X. .5”種不同的方法.又稱乘法原理.加法原理與乘法原理的綜合運用如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這

2、件事的方法數時，使用分類 計數原理.如果完成一件事的各個步驟是相互聯系的，即各個步驟都必須完成，這件審 才告完成，那么計算完成這件事的方法數時，使用分步計數原理.分類計數原理、分步計數原理是推導排列數、組合數公式的理論基礎，也是求解排列、 組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學好，并正確地靈活加以應用.2. 排列與組合排列：一般地，從“個不同的元素中任取m（m n）個元素，按照一定的順序排成一列， 叫做從“個不同元素中取出加個元素的一個排列.（其中被取的對象叫做元素） 排列數：從個不同的元素中取出加伽W”）個元素的所有排列的個數，叫做從個不同 元素中取出川個元素的排列數，用符號A

3、：表示.排列數公式：A；： =”（一 1）（”-2）.（“-? +1）,/eN+ ,并且加 W.全排列：一般地，“個不同元素全部取出的一個排列，叫做“個不同元素的一個全排列. 的階乘：正整數由1到的連乘積，叫作“的階乘，用川表示.規定：0! = 1組合：一般地，從個不同元素中，任意取出“I （用W “）個元素并成一組，叫做從個 元素中任取山個元素的一個組合.組合數：從“個不同元素中，任意取出加個元素的所有組合的個數，叫做從個 不同元素中，任意取出加個元素的組合數，用符號C；表示.組合數公式：c；y 5 2）（”-川+ 1）=._ 也，心疋N+，并且ml】!（“一】）！組合數的兩個性質：性質仁C

4、； = C：-ra :性質2: C：4=C：+C：I（規定C=l）排列組合綜合問題解排列組合問題，首先要用好兩個計數原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是 分步，是排列還是組合，同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法：1. 特殊元素、特殊位置優先法元素優先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素； 位置優先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位JL;2. 分類分步法：對于校復雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做 到分類明確，層次清楚，不重不漏.3. 排除法，從總體中排除不符合條件的方法數，這是一種間接解題的方法.4. 捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先

5、將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它 元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內部排列.5. 插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空.6. 插板法：個相同元素，分成m（m n）組，每組至少一個的分組問題把個元 素排成一排，從”-1個空中選L1個空，各插一個隔板，有.7. 分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）.有等分、不等分、部分等分之別.一 般地平均分成“堆（組），必須除以“！，如果有加堆（組）元素個數相等，必須除以 m !8. 錯位法：編號為1至“的個小球放入編號為1到“的“個盒子里，每個盒子放一個 小球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當

6、“ =2, 3, 4, 5 時的錯位數各為1, 2, 9, 44.關于5、6、7個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法 轉化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題.1. 排列與組合應用題，主要考查有附加條件的應用問題，解決此類問題通常有三種途 徑： 元素分析法：以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； 位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； 間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列數或組 合數.求解時應注意先把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題：再通過分析確定運用分類計 數原理還是分步計數原理；然后分析題目條件，避免“選取”時

7、重復和遺漏；最后列出 式子計算作答.2. 具體的解題策略有： 對特殊元素進行優先安排； 理解題意后進行合理和準確分類，分類后要驗證是否不重不漏； 對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排，以防出現重覆； 對于元素相鄰的條件，采取擁綁法；對于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法; 順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉化為直排問題處理； 對于正面考慮太復雜的問題，可以考慮反面. 對于一些排列數與組合數的問題，需要構造模型.【排列組合題型總結】直掛法勺.特殊元素法例1用1, 2, 3, 4, 5, 6這6個數字組成無重復的四位數，試求滿足下列條件的四位 數各有多少個(1)數字1不排在個

8、位和千位(2)數字1不在個位，數字6不在千位。分析：(1)個位和千位有5個數字可供選擇；，其余2位有四個可供選擇；，由乘法原理：瑟右=2402.特殊位置法（2）當1在千位時余下三位有=60, 1不在千位時，千位有種選法，個位有劃科,余下的有爲，共有況A；坷二m2所以總共有192+60=252二 間接法 當直接法求解類別比校大時，應采用間接法。如上例中（2）可用間接法Eg有五張卡片，它的正反面分別寫0與1, 2與3, 4與5, 6與7, 8與9,將它們任 意三張并排放在一起組成三位數，共可組成多少個不同的三位數？分析：任取三張卡片可以組成不同的三位數個，其中o在百位的有個，這是不合題意的。故共可

9、組成不同的三位教C； x 2 x _cj x 2 x A一彳32Eg三個女生和五個男生排成一排女生必須全排在一起有多少種排法（捆綁法）女生必須全分開（插空法須排的元素必須相鄰兩端不能排女生兩端不能全排女生如果三個女生占前排，五個男生站后排，有多少種不同的排法 插空法當需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例3 在一個含有8個節目的節目單中，臨時插入兩個歌唱節目，且保持原節目 順序，有多少中插入方法？分析：原有的8個節目中含有9個空檔，插入一個節目后，空檔變為10個，故有xAio=100中插入方法。捆綁法 當需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。1.四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中

10、，若使每個盒子不空，則不同的放法有,2,某市植物園要在30天內接待20所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其 中有一所學校人數校多，要安排連續參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內不同的安排方法有（注意連續參觀2天，即需把30天科的連續兩天捆綁看成 一天作為一個整體來選有；9其余的就是19所學校選28天進行排列）閣板法 名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例5某校準備組建一個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學生組成，每班至 少一人，名額分配方案共 種。分析：此例的實質是12個名額分配給8個班，每班至少一個名額，可在12個名額種的11個空當中插入7塊閘板，一種插法對應一

11、種名額的分配方式,五平均分推問題eg 6本不同的書按一下方式處理，各有幾種分發？平均分成三堆，平均分給甲乙丙三人一堆一本，一堆兩本，一對三本甲得一本，乙得兩本，丙得三本(一種分組對應一種方案一人的一本，一人的兩本，一人的三本分析：1,分出三堆書(a1,a2) , (a3,a4), (a5, a6)由順序不同可以有心二6種，而C：CC；這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有 人； 曰5種2,六本不同的書，平均分成三堆有x種，平均分給甲乙丙三人就有xAs種C6C4C23, C：C；C； 5, A；C：C；C；合并單元格解決染色問題Eg如圖1, 一個地區分為5個行政區域，現給地

12、圖著色，要求相鄰區域不 得使用同一 顏色，現有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種(以數字作答)。分析：顏色相同的區域可能是2、3、4、5.下面分情況討論：(i) 當2、4顏色相同且3、5顏色不同時，將2、4合并成一個單元格，此時不同的著色方法相當于4個元素(ii) 當2、4顏色不同且3、5顏色相同時，與情形(i )類似同理可得種著色法.(iii) 當2、4與3、5分別同色時，將2、4； 3、5分別合并，這樣僅有三個單元格Q 3從4種顏色中選3種來著色這三個單元格，計有G A科方法.由加法原理知：不同著色方法共有2=48+24=72 （種）練習1 (天津卷(文)將3種作物種植12345在如圖的5塊試驗田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物, 不同的種植方法共種(以數字作答)(72)2.某城市中心廣場建造一個花圃，花圃6分為個部分(如圖3),現要栽種4種顏色的 花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種 同一樣顏色的話，不同的栽種方法有 種（以數字作答）.（120）3. 如圖4,用不同的5種顏色分別為ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色, 但同一種顏色