1、高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算數量關系數量關系 第八章第一部分第一部分 向量代數向量代數第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中: 點點, , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標法坐標法; ; 向量法向量法坐標坐標, , 方程（組）方程（組）空間解析幾何與向量代數 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算 第一節一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運算二、向量的線性運算 三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其線

2、性運算 第八八章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算(2)向量的模 :12,M M一、向量的概念一、向量的概念(1) 向量:1M2M既有大小, 又有方向的量:(3)自由向量:與起點無關的向量;(4)單位向量:(5)零向量:M1 M2 ,或 a ;a或記作 e 或e ;.00或，記作(6)向量的相等:大小相等, 方向相同;目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算（規定: 零向量與任何向量平行.）可平移到同一直線上; (9)向量的共線：記作a ;(7)向量的平行： 方向相同或相反;(8)向量的負向量： 模相同, 但方向相反，(1

3、0)向量的共面：可平移到同一平面上。注：(9)(10)中的平移，指將起點放在同一點上，終點與公共起點在一條直線或同一平面上。目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算二、向量的線性運算二、向量的線性運算1. 向量的加法向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規律 : 交換律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba cba目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算s3a4a5a2a1a54321aaaaas目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學

4、(高等教育出版社)D81向量及運算2. 向量的減法向量的減法三角不等式ab)( ab有時特別當,ab aa)( aababaabababa0baba目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算3. 向量與數的乘法向量與數的乘法規定 :時，0,0時,0時總之:運算律 : 結合律分配律因此，同向與aa 與 a 的乘積是一個新向量, 記作.a，反向與aa.0aaa)(aa)(aa)( aaba)(ba, 0a若ae則有單位向量.1aaaeaa 定理定理1. 設 a 為非零向量 , 則( 為唯一實數)abab目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量

5、及運算例例1. 設 M 為MBACD解解:ABCD 對角線的交點,ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算xyz三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數軸按右手規則組成一個空間直角坐標系. 坐標原點 坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點 O , 坐標面 卦限(八個)1. 空間直角坐標系的基本概念空間直角坐標系的基本概念O面xOy面yOzzOx面目錄 上頁 下頁 返回 結束

6、 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算在直角坐標系下xyz向徑 11坐標軸上的點 P, Q , R ;坐標面上的點 A , B , C點點 M特殊點的坐標 :有序數組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR), 0(zyB(稱為點 M 的坐標坐標)原點 O(0,0,0) ;rOr)0 ,(yxAM), 0 ,(zxC目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算坐標軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzO目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社

7、)D81向量及運算2. 向量的坐標表示向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設點 M , ),(zyxM則沿三個坐標軸方向的分向量分向量,),(zyxxOyzMNBCA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標為此式稱為向量 r 的坐標分解式坐標分解式 ,任意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMONOMOCOBOA記記 , ixOA , jyOB rkzjyix稱為向量,kzOC kzjyixrikjr.,的坐標稱為向量 rzyx目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算則),(zzyyxxbababa),(z

8、yxaaaxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對應坐標成比例:，為實數設),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb baa,0 時當aab ab目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算例例2. 求解以向量為未知元的線性方程組解解: 2 3 , 得)10, 1,7(代入得)16,2,11(ayx35byx23.211,212），（），（其中babax32)3(21bxy目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算例例3. 已知兩點在AB所在直線上求一點 M , 使解解: 設 M 的坐標為, ),(zyx如圖所示A

9、BMo11AB, ),(111zyxA),(222zyxB及實數, 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOBAOOM )(OMOBOMOBOA(M目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算說明說明: 由得定比分點公式定比分點公式:,121xx,121yy121zz,1時當點 M 為 AB 的中點 ,于是得x,221xx y,221yy z221zz ),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點公式中點公式:ABMoABM目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算五、向

10、量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點間的距離公式向量的模與兩點間的距離公式222zyx則有222OROQOPxOyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得兩點間的距離公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對兩點與, ),(222zyxB, rOM作NMON BABAOAOBBA),(zyxr 設OMr OMr OROQOP目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算例例4. 求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M21MM 2)4

11、7( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算例例5. 在 z 軸上求與兩點)7, 1 ,4(A等距解解: 設該點為, ),0,0(zM,BMAM因為 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點為及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考:(1) 如何求在 xOy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與

12、A , B 等距離之點的軌跡方程 ?離的點 . 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算(1) 如何求在 xOy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?)7, 1 ,4(A)2,5,3(B提示提示:(1) 設動點為, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2) 設動點為, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6. 已知兩點),3, 1 ,7()5,0,4(BA和解解:141)2,1,3(142,141,143BABA求AB的單位向量 e .e目錄 上頁 下頁 返回 結

13、束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算Oyzx2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設有兩非零向量 任取空間一點 O ,OAB稱 =AOB (0 ) 為向量 的夾角. 類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . 與三坐標軸的夾角 , , 為其方向角方向角.cos222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. ,aOA 作, bOB ,baba,0),(zyxr給定r稱),(ba記作),(ab或rxr目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算Oyzxrcos222zyxxcos222zyxycos222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質:)co

14、s,cos,(cosrxryrzrrer:的單位向量向量 r目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算例例7. 已知兩點)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算例例8. 設點 A 位于第一卦限,解解: 已知角依次為,43求點 A 的坐標 . ,4,3則222coscos1cos41因點 A 在第一卦限 , 故,21

15、cos于是6,cos,coscos)3,23,3(故點 A 的坐標為 . )3,23,3(向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 ,6AO且OA第二節 OAeAO6,21,2221目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算uOuuaa)(Prj或記作M3. 向量在軸上的投影向量在軸上的投影第二節 Oua則 a 在軸 u 上的投影為 例如, ),(zyxaaaa 在坐標軸上的投影分別為 設 a 與 u 軸正向的夾角為 ,M, 即 cos)(aaucosazyxaaa,投影的性質投影的性質2) uuaa)()(1) uuubaba)()()(為實數) MM目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算例例9.第二節 設立方體的一條對角線為OM, 一條棱為 OA, 且 , aOA 求OA 在 OM 方向上的投影. 解解: 如圖所示, 記 MOA = , cosAOMOMOA313a本節重點本節重點: 空間直角坐標系中點與向量的坐空間直角坐標系中點與向量的坐標及其相關概念的運算標及其相關概念的運算。acosPrjOAOAOM目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學(高等教育出版社)D81向量及運算練習題練習題解解: 因1. 設求向量在 x 軸上的投影及在 y 軸上的