1、第第5章章 微弱信號檢測原理微弱信號檢測原理5.1 微弱信號檢測的基本概念微弱信號檢測的基本概念5.2 頻域的窄帶化檢測原理頻域的窄帶化檢測原理5.3 時頻的取樣平均檢測原理時頻的取樣平均檢測原理取樣積分器取樣積分器5.4 微弱信號檢測儀器微弱信號檢測儀器低噪聲放大器低噪聲放大器第第5章章 微弱信號檢測原理微弱信號檢測原理5.1 微弱信號檢測的基本概念微弱信號檢測的基本概念5.1.1 何謂微弱信號檢測何謂微弱信號檢測 目前，除少數基本“量”的測量方法（如時間、長度、質量），可以用“原器”或“準原器”與被測對象作比較而得到。大量的物理、化學、工程技術參量的測量，是利用相關的物理現象做成的傳感器，

2、來進行測量的。如溫度的測量，可用最簡單的熱脹冷縮現象作的溫度計，將溫度的變化轉換成長度變化進行。由于當前電學及電子學技術的發展，大量的參數測量被轉換成電信號的測量。無論是電傳感器或者是其它傳感器，在作信息轉換時或轉換后作信息測量時，都不可避免的會帶進些“噪聲”。這些噪聲包括：傳感器本身的噪聲、測量儀表系統的噪聲以及其它隨機偶然誤差。此外，被測對象本身，在測量時間內的起伏也應作測量中的噪聲。 按傳統觀念，若信號低于噪聲是不可能進行測量的。故通常講，各種噪聲之和本質上決定了測量的精度，也就決定測量的靈敏度（對較強或中等強度信號），及可檢測下限（對弱信號）。因此，要想降低測量下限，首先是設法降低各種

3、噪聲的水平，其中尤以降低傳感器的噪聲為關鍵。 降低噪聲是提高測量精度的關鍵，但并不是惟一的方法。人們開創了幾種從噪聲中提取信號的方法，從而使測量下限可低于測量系統的噪聲水平。這就是微弱信號檢測，與非微弱信號檢測的關鍵差別。微弱信號檢測的英語名稱是Weak Signal Detection（簡記為WSD）。 各種微弱信號檢測法，都是基于研究噪聲的規律（如噪聲幅度、頻率、相位等），和分析信號特點（如信號頻譜、相干性等）的基礎上的。然后利用電子學、信息論和其它物理、數學方法來對被噪聲覆蓋的弱信息進行提取、測量。微弱信號檢測學，就是研究從噪聲中提取信息的方法及技術的學科。由于目前對電子噪聲研究較成功，

4、微弱信號檢測與電子技術聯系密切，發展較快，與其它方面的聯系尚有發展余地。5.1.2 噪聲的基本性質噪聲的基本性質 噪聲是無處不在，總與信號共存。WSD技術，總是首先設法盡量抑制噪聲，然后再進行噪聲中的信號提取。因此，從某種意義上講，WSD是一種專門與噪聲作斗爭的技術。故研究微弱信號檢測，首先需要對噪聲有所了解。（1）噪聲的定義與種類）噪聲的定義與種類 從廣義講，噪聲可以分為兩類，即干擾和噪聲（狹義）。干擾是指非被測信號或非測量系統所引起的噪聲。它來自于外界的影響，而造成的非信號測量值。這些外界干擾可能來自于宇宙（如宇宙射線、電磁干擾），也有可能是來自于人為的其它器件（如開關的電火花、汽車火塞的

5、電火花、強廣播、強電視信號等）。 最常見的是市電的干擾和附近的有強電的外部器件。從理論上講，干擾是屬于理想上可排除的噪聲。值得注意是：在弱信號檢測時，電源干擾必須引起足夠的重視。常見的電源干擾有：供電線路中的嚴重超載引起的電壓降低，大負載切斷時造成的超壓，非線性功率因子負載，引起的正弦波失真，電源頻率與相位漂移，配電盤后的其它用電設備引入的共模干擾，配電盤前的輸電線受外界的影響帶入的常模噪聲，瞬變尖峰干擾。 狹義噪聲是指來自于被測對象、傳感器、比較測定系統內部的廣義噪聲。其特點 ：不可能徹底排除，只能設法減少，這些噪聲是隨機的。如果最終測量是電信息，自然，主要噪聲也是電噪聲，常稱這類噪聲為電子

6、噪聲（如常見的：熱噪聲、暗電流噪聲、散粒噪聲和低頻噪聲）。（2）電子噪聲）電子噪聲 由前面所知，電子噪聲主要有熱噪聲、暗電流噪聲、散粒噪聲和低頻噪聲等，下面分別介紹如下：1）熱噪聲）熱噪聲 任何電子器件，其中總有電傳導載流子，當處于一定溫度環境下，這些載流子作無規則運動。這種熱運動將使器件中載流子的定向流動有起伏變化，這就形成器件閉路時的熱噪聲電流。即使器件開路，熱運動也會形成開路噪聲電壓。奈奎斯特從熱力學出發，獲得了與實驗一致的規律。熱噪聲電壓有效值為：214fkTRVN（5.1）式中 波爾茲曼常數； 絕對溫度； 器件的等效負載電阻； 系統的頻帶寬度。kTRf其熱噪聲電流有效值為：21/4R

7、fkTIN（5.2） 由此可知，熱噪聲有效值與系統允許通過的電信號之頻寬的方根成正比。帶寬越寬、噪聲越大。因此，可認為熱噪聲有各種頻率，其低頻、高頻的熱噪聲幅度（只要帶寬相同）是相同的。故通常稱熱噪聲是“白”噪聲。要減小熱噪聲，首要的是降溫；同時，也可以采用減窄系統允許通過的帶寬的辦法。但需注意：改變等效負載電阻，對熱噪聲電壓和電流效果是不相同的。2）散粒噪聲）散粒噪聲 即使進入探測器的光強，宏觀上是穩定的，但從光的量子特性可知，相等測量時間內，進入探測器的光子數是有漲落的。這在測量中，就會形成散粒噪聲。另外，光電傳感器作光電轉換時，有轉換效率問題。平時的量子效率只是一平均值，實際也是變化起伏

8、的，它也是一種散粒噪聲。同理，宏觀上恒定的電流，實際上在相等的測量時間內，載流子數目也必定起伏，也會出現散粒噪聲。經研究表明：各種散粒噪聲都是白噪聲，遵守下述規律：2122122fReIVfeIINN平平（5.3） 式中 平均轉換電流； 電子電量。平Ie若設 為信號光功率， 為背景光功率，假設光子產生的載流子的電荷量為 ，量子效率為 ，則平均轉換電流為： sPbPehvPPeIbs平（5.4） 若光電測量時傳感器有內增益系數，則實際散粒噪聲也將放大倍。減小散粒噪聲的有效方法是減小背景光和接收器帶寬。3）暗電流噪聲）暗電流噪聲 許多電傳感器，即使沒有信號輸入，也有電流輸出，稱為暗電流。產生的機理

9、，隨器件不同而不同。例職場致發射，熱激發載流子等等。它們也是隨機起伏的，因此會形成暗電流噪聲，此種噪聲遵守：2122122fReIVfeIINN暗暗（5.5） 式中 平均暗電流。由此可知，暗電流也是白噪聲。減小暗電流噪聲，除減小外，主要是降溫來減小。暗I4）低頻噪聲）低頻噪聲 低頻噪聲又稱閃爍噪聲。其產生的原因比較復雜，它與材料的表面狀態，或PN結的漏電流等多種因素相關。例如，表面折污染與損傷，材料中的晶體缺陷，重金屬離子的沉積，以及反型溝道的存在等等因素，都會影響低頻噪聲。根據對薄膜電阻、半導體器件、微音器和接觸電阻的測量，閃爍噪聲服從下述經驗公式：ffAIIN/（5.6） 式中 實驗常數；

10、 系數，在1與2之間； 系數，約在0.9與1.35之間，通常，值取為1。 工作頻率越低，1/ 噪聲越大，在1000Hz以下有相當量級。Af（3）噪聲的度量）噪聲的度量 噪聲是隨時而變的，不同時刻測得的噪聲值不同。從數學含義上講，噪聲是隨機變量。但并不是絕對無規律可衡量的。本小節主要介紹一些常見度量參量。 1）有效噪聲水平）有效噪聲水平 對于一個穩定的信號，噪聲使測量值在信號值上、下起伏，即噪聲有正、有負。并且大量的起伏值集中在一定的范圍內。為此，通常噪聲用其均方值來度量，此值稱為有效噪聲水平。對于一電壓測量系統，其有效噪聲電壓是：2112212/miiNiNNmVVV（5.7） 式中 表示第

11、次測量時的噪聲值； 是測量的總次數；iNVmi同理，對于一個電流測量系統，可以用有效噪聲電流來描述，即：2112212/miiNiNNmIII（5.8） 對于其它物理量測量系統，可類似有相關的有效噪聲值。2）等效噪聲功率）等效噪聲功率 雖然，傳感器類型繁多，但從物理角度看，任何傳感器必須輸入一定的能量，才能將輸入的信息變換成所需要的輸出信息。當然信息輸出時，同樣也要輸出能量。如：光電傳感器要能輸出信號電壓，就必須有光能輸入，入射光強時，輸出信號電壓大。為了方便對同類傳感器的性能進行比較，通常用響應度（即物理量輸入信號功率與輸出信號值）來描述傳感器的靈敏度。對于電壓傳感器，其電壓響應度定義為：P

12、VRV0（5.9） 式中 是輸出的電壓； 輸入信號的功率。0VP 對于電流傳感器，電流靈敏定義為：PISd0（5.10） 式中 是輸出電流。0I 傳感器無信號輸入時，也會有噪聲輸出。若假設此有效噪聲值，是相當功率的輸入信號造成的，則此功率值可作為此傳感器的噪聲水平的衡量，此值稱為噪聲等效功率（NEP）。對于電壓傳感器和電流傳感器，分別有：NsdNNsVNIIPSINEPVVPRVNEP（5.11） 噪聲等效功率通常用于傳感器性能研究中，也應用于后繼放大器系統。有時也用噪聲等效功率的倒數（稱為探測度）來衡量傳感器可測的最低信號功率。 3）信噪比和信噪比改善）信噪比和信噪比改善為了衡量信號與噪聲的

13、相對比例，以判斷噪聲對測量精度的影響，通常用信噪比來描述。其定義為：NSSNR （5.12） 式中 信號值； 噪聲有效值。由此可知，信噪比越大，信號測量越容易精確。對于一個測量系統而言，有輸入的信噪比和輸出信噪比，通常定義這兩者的比值為系統的信噪比改善，即：SinoutSNRSNRSNIR N（5.13） 通常，該參量是用來衡量系統本身的噪聲引入情況，及對信號的提取能力與放大情況。對于大多數系統而言，要求具有噪聲抑制及信號放大能力，所以通常要求是可大于1的。 除此之外，關于噪聲的度量，還要噪聲功率譜密度、噪聲因子、等效噪溫度、等效噪聲電阻、噪聲指數等度量參量，將在后面介紹，它們將可應用于不同場

14、合。（4）噪聲的相關函數）噪聲的相關函數 噪聲雖然是一種隨機過程，即各時刻取值是隨機的，但兩個不同時刻的噪聲值仍存在一定的關系。研究噪聲（或指一般隨機過程）在不同時刻取值之間的相關性，也是電噪聲的一個主要統計特征。1）噪聲的自相關函數）噪聲的自相關函數 自相關函數指一個隨機過程在不同時刻及取值的相關性，其定義為： 2121,tntnEttRn（5.14） 對于具有各態經歷的平穩隨機過程，則統計平均又可用時間平均表示，而且由于統計特征量與時間起點無關，故可以令，則 ，簡記為 。于是，平穩隨機過程的噪聲自相關函數為：tttt21,ttRttRnn,21 nR dttntnTtntnERTTTn21

15、lim（5.15） 電噪聲的自相關函數具有下列重要特性： 僅與時間差 有關，而與計算時間 的起點無關； 隨 的增加逐漸衰減，表示在時間上相關性逐漸減少。特別是對零均值噪聲，可以證明當 時， 。 nRt nR 0nR 是一種偶函數，即 ，因此自相關函數又可以寫為： nR nnRR dttntnTtntnERTTTn21lim（5.16） 當 時， 具有最大值，且0 nR 2210limnEdttntnTRTTTn（5.17） 對于電路噪聲而言，自相關函數 及功率譜密度 之間具有如下重要關系（下標 省略）： RfSn 0022dconRfSdfconfSR（5.18） 2）噪聲的互相關函數）噪聲的

16、互相關函數 與自相關函數類似，兩個不同的隨機過程 和 之間也可能有某種相關性。為此，可用互相關函數來描述兩個隨機過程的相關性，其定義為： tx ty 2121,tytxEttRxy（5.19） 對于具有各態經歷的平穩隨機過程 ，則可以寫成 ，其中 ，其互相關函數可表示為：21,ttRxy xyRtttt21, dttytxTRTTTxy21lim（5.20） 同理 dttytxTRTTTyx21lim （5.21） 互相關函數具有下列重要特性： 僅與時間差有關，而與計算時間的起點無關； ，當兩個隨機過程互不相關時，則一定有 。例如，被檢測信號與系統的觀察噪聲之間不存在相關性，因此采用互相關方法

17、有利于抑制觀察噪聲。從數學原理來看，兩個隨機過程的互相關函數與互功率譜密度存在以下重要關系： xyR yxxyRR 00yxxyRRR 0yxxyRR deSRjyxyx21 deRSjyxyx （5.22） （5.23） 互相關函數特性（3）對于從噪聲中檢測微弱信號極為有用。圖5.1所示為一種計算互相關函數的原理圖，又稱為互相關器。輸入信號為兩路，為被檢測的信號及混入的觀察噪聲；為參考信號，要求與被檢測信號相關。例如，為正弦信號時，則要求為同頻的正弦信號。延時電路 tnt stxtyt y TdtT021 syR圖5.1 互相關函數計算電路經互相關器輸出的信號為互相關函數 nysyTTTxy

18、RRdttytntsTR21lim（5.24） 由于觀察噪聲 與信號 及參考信號 不相關，因此有 ，從而互相關器輸出為： tn ts ty 0nyR syxyRR（5.25） 可見，只要測量互相關器的輸出值，就可以檢測到混在噪聲中的信號。理論上只要 足夠長，則一定有 ，從而檢測到極微弱的信號，但實際上因測量時間 有限，故輸出仍有一些噪聲。T 0nyRT（5）噪聲系數、噪聲因子）噪聲系數、噪聲因子1）噪聲系數（）噪聲系數（ ） 一個系統的噪聲性質，僅用其輸出噪聲的功率 或輸出噪聲的有效電壓 、有效電流 等來描述是不夠的。系統是否實用往往需看信號與噪聲的相對大小等因素。即使使用信噪比也不足以反映系

19、統對信號質量的影響。因為它并未提供系統本身產生的噪聲或對輸入噪聲的克服能力的信息。為此需用信噪比改善（SNIR，前面已介紹）或噪聲系數（F）來描述系統的噪聲性能。噪聲系數（ ）定義如下：FoutPNVNIFoutinSNRSNRSNIRF1（5.26） 由前面可知， 、 分別表示系統輸入、輸出端的信噪比，也可以是信號與噪聲電壓比，電流比，也可以是功率比。若設 為系統的功率增益，則有inSNRoutSNRKinNoutNinsoutsinNoutNinNoutsinNinsdKPPPPPPPPPPF,（5.27） 此式說明：除 的情況下，輸出的噪聲功率一般不等于輸入噪聲功率的 倍。值的大小能反映

20、系統自身噪聲的內在狀況。若用 表示系統內產生的噪聲功率，則因系統輸出噪聲功率 ，而有1FKANPANinNoutNPKPP,inNANPKPPF,1（5.28） 此式更為明顯的表明了 與 ， 之間的關系。若 ，則 ，系統信噪比不能改善。若 ，輸出信噪比小于輸入信噪比，說明系統不好。反之， 的系統，噪聲性能好。 PFANP,K0,ANP1PF1, 0,PoutNFP1PF同理，有電壓噪聲系數 （5.29） inNoutNVGVVF,式中 電壓增益系數；G若設 為系統內在的噪聲電壓，則有：ANV,212,2,inNANoutNGVVV（5.30） 故有：212,22,1inNANVVGVGF（5.

21、31） 可能小于1，若 不變情況下， 大，系統噪聲性能好。VFANV,G2）噪聲因子（）噪聲因子（NF）任一四端線性網絡系統（如放大器）內部會存在噪聲電流源和噪聲電壓源，有自己的輸入阻抗。如果輸入端接上一個信號源，則系統的噪聲電流會流經信號源內阻產生額外的噪聲電壓作用于系統的輸入端。而信號源內的各種噪聲電流源也要在系統的輸入電阻一產生噪聲電壓。故同一放大器接不同信號源會有不同輸入噪聲。為了描述此特性，引入了噪聲因子（NF）來描述其噪聲性能，其定義為：VPFFNFlg20lg10（5.32） 式中 表示功率測定的噪聲系數； 表示用電壓測定的噪聲系數。PFVF其中 分貝時，為理想無噪聲放大器。噪聲

22、因子越大，放大器的噪聲性能越差。為了研究方便，通常規定輸出內阻為 的信號源只存在熱噪聲。此時，放大器系統噪聲的等效電路圖如圖圖5.2 所示，由此可得輸出端的噪聲電壓為： 0NFSR21222,4fARIVKTRVSNNSoutN（5.33） 輸入端的信噪比為：214fKTRESNRSSin（5.34） 式中 放大器的電壓增益。由此可得噪聲因子的另一種表達方式：ASSNNSSNNKTRRIVKTRRIVNF41lg1041lg2022221222（5.35） 值得注意是： 為放大器單位頻率間隔內的噪聲，與頻率有關，即 是隨頻率變化的。此式表明 與信號源內阻 有關。也就是說：放大器與不同頻率、或不

23、同內阻信號源連接使用時，會具有不同的噪聲性能。NNIV ,NFSRNFA后續部分SRNV214SfRKTSLENI圖5.2 放大器的等效電路圖5.1.3 微弱信號檢測方法概述微弱信號檢測方法概述（1）提高信號檢測能力的途徑）提高信號檢測能力的途徑 提高信號檢測靈敏度或降低可檢測下限的基本方法有兩種：1）從傳感器及放大器入手，或降低它們的固有噪聲水平，或研制新的低噪聲傳感器；2）分析測量中的噪聲規律和信號規律，通過各種手段從噪聲中提取信號。但主要還是采用后一種方法。值得提醒的是：從噪聲中提取信息，首先需在盡量降低噪聲的基礎上進行。 對于傳感器而言，基本要求是：測量范圍寬、線性好、高靈敏、低噪聲、

24、寬譜段要均衡、響應快、好匹配、壽命長、要穩定。對于用于弱信號檢測的傳感器，高靈敏度、低噪聲是非常重要的。（2）頻域信號的窄帶化及相干檢測技術）頻域信號的窄帶化及相干檢測技術 單頻余弦（或正弦）信號，或頻帶很窄的正、余弦信號，屬于頻域信號。由于信號頻率固定，可以通過限制測量系統帶寬的方法把大量帶寬外的噪聲排除即為窄帶化技術。如果信號具有相干性，則可利用相干檢測技術，把相位不同于信號的噪聲部分排除，即可把與信號頻率相同，但相位不同的噪聲也大量排除。 窄帶化技術是利用相應的濾波器排除噪聲，當前電頻域信號檢測使用主要儀器是相干檢測，其基本原理是利用相敏檢波（PSD）既作變頻，又作相干降噪，再用直流放大

25、器作積分、濾波、最后作信號幅度測量。它比選頻放大的測量靈敏度可提高34個數量級。（3）時頻信號平均處理）時頻信號平均處理 對于脈沖信號，因信號有很寬的頻域，故相干檢測無能為力。此時，可根據噪聲是隨機的特性，多次測量平均即可排除噪聲的影響，接近信號真實值的特性，來進行測量，這種逐點多次采樣，求平均的方法稱為平均處理。Boxcar（積累平均器）是電信號時頻處理的主要設備。 （4）離散量的計數統計）離散量的計數統計 有些信號可看成是一些極窄的脈沖信號，往往感興趣的是單位時間到達的脈沖數，而不是脈沖形狀。這些脈沖的計數統計方法，要選擇或設計傳感器，能使信號有盡量相近的窄脈沖幅度輸出，要利用幅度甄別器，

26、大量排除噪聲計數，要利用信號的統計規律來決定測量參數和作數據修正。目前，常用的儀器是：光子計數器。（5）并行檢測）并行檢測 有些事件只發生一次，而常想從中獲取許多信息。例如對單次閃光光譜，就想從一次閃光中獲得其許多譜線的輻射強度；有時會希望同時獲得許多點的測量值，如一個區域的光強度（即獲得圖像）；或一個空間某一瞬間的電場分部等。這些均需要采用并行檢測的方法。并行檢測關健是采用傳感器列陣。實現并行檢測的基本條件是：多通道傳感器和信息的快速存取。（6）計算機數字處理）計算機數字處理 隨著計算機的發展，原來一些需要硬件完成的任務，可用軟件來實現，如利用曲線擬合（平滑）、逐點平均、數字濾波、快速傅里葉

27、變換及最大熵估計等方法對含有噪聲的信號進行處理，提高其信噪比。 總之，微弱信號檢測方法，是根據不同的信號和噪聲采取不同的方法。目前，尚有許多類型的信號要研究新的、更好的弱信號檢測方法。故弱信號檢測技術還將不斷發展和開拓。不管是理論方面，還是儀器、技術方面都有待于進一步發展。下面著重介紹比較成熟的兩種：頻域的窄帶化檢測原理、時域的取樣平均檢測原理。5.2 頻域的窄帶化檢測原理頻域的窄帶化檢測原理5.2.1 噪聲中微弱信號波形的恢復噪聲中微弱信號波形的恢復 對于微弱的頻域信號，有其獨特的從噪聲中提取信號、進行檢測的方法。頻域信號的測量比較成熟。但若信號很弱，已與噪聲同水平，則需采取選頻放大，甚至于

28、相干檢測的手段。選頻放大測量就是根據頻域信號具有窄頻帶，噪聲是寬頻帶的特點，采用濾波器，保留有用信號，將噪聲頻率排除，放大濾波后的信號來進行測量。選頻放大的關鍵是濾波。相干檢測也總是在濾波的前提下進行的，故濾波器對弱頻域信號的檢測，是十分重要的。 被噪聲污染的信號波形恢復稱為濾波。這是信號處理中經常采用的主要方法之一，具有十分重要的應用價值。現在，在各種信號檢測儀器中均采用了各種濾波器，它起到了排除干擾，分出信號的功能。目前，常用的濾波器是采用電感、電容等分立元件構成（如：RC低通濾波器、LC諧振回路等），它們僅應用于某些干擾譜線的濾波。對于混在隨機信號中的噪聲進行濾波時，因信號與噪聲均可能具

29、有連續的功率譜，則這種簡單的濾波器就不是最佳的濾波電路，故不可能做到完全濾掉噪聲和信號波形的不失真恢復。為此，需要尋找一種使誤差最小的最濾波方法即最佳濾波準則。下面將主要介紹此內容。（1）維納濾波理論）維納濾波理論 從噪聲中提取信號波形的各種估計方法中，維納濾波是一種最基本的方法，適用于需要從噪聲中分離出的有用信號是整個信號（波形），而不只是它的一個或某幾個參量。其基本依據就是最小均方誤差準則。1）最小均方差誤差準則）最小均方差誤差準則 如果某一濾波器的輸入端收到的信號 與噪聲 的混合波形為隨機函數 。通過濾波后，輸出端得到檢測信號 （如圖5.3所示）。一般而言，得到的信號仍可能有部分噪聲，同

30、時信號也會發生某種畸變。 ts tn tx ty tntstx jKty圖5.3 維納濾波器令期望輸出信號為 ，當 稱為信號波形復現， 稱為信號平滑， 則稱為信號預測，表示輸出信號波形從時間上比輸入信號 提前了時間 。由此可見，期望輸出不等于濾波器的實際輸出，即存在一定的偏差（誤差， ）。對于隨機函數，通常采用均方誤差來評價。對于平穩隨機過程，且具有各態歷經性，其均方誤差表示為： tsty0000 ts tytyt0 TTTdttytyTtytyt2020221lim（5.36） 顯然，此數值越小越好，這種能使該值獲得最小的濾波器稱之為最小均方誤差準則下的線性濾波器（即維納濾波器）。濾波器的頻

31、率特性及沖激響應分別用及來表示。從廣義上看，實際上屬于一種信號最佳估計。在此，最小均方誤差準則實際上屬于線性最小方差估計。如圖5.3所示的估計問題，要對噪聲中信號參量做出最佳估計，則線性最小方差估計（LMS）是指結果與真值（或期望值）之間應滿足：min2E（5.37） 2）維納濾波解的積分形式）維納濾波解的積分形式通常線性電路其輸出與輸入之間滿足下面關系式： dhtxty（5.38） 即屬于線性關系。 為了尋找濾波器的最佳頻率特性及沖激響應，使其具有最小均方誤差，將式（5.38）代入式（5.36）可得 ddhhRdhRRxxyy00202（5.39） 式中 輸入 自相關函數， ； 的均方值，

32、； 與 的互相關函數， 。xR tx txtxRx 00yR xyR0 ty0 ty0 tx tytyRy0000 txtyRxy00若使其達到極小，即 ，求出的 即為維納濾波器的沖激響應 。對此，有很多種方法描述，其中最基本的是積分形式，即：2min2 h th xyxRdRh0（5.40） 此式稱為維納霍夫方程（Wiener-Hopf）。滿足上式的 可以使均方誤差達到極小，即 th dhRRxyy0002min2（5.41） 對于可實現的維納濾波解， 要滿足因果關系，由此可得到維納霍夫方程為： th 00 xyxRdRh（5.42） dhRRxyy0002min（5.43） 式（5.42）

33、表明，最佳維納濾波器的沖激響應 ，完全由輸入自相關函數 以及輸入與期望輸出的互相關函數 所決定。實際應用時，求解積分方程有一定困難。因此，可以把維納濾波解變成遞推形式，引導出卡爾曼濾波。 對于維納濾波解，有許多種形式，如正交形式、離散解等。由于本書篇幅關系，請讀者參考其它有關文獻資料。下面專門討論積分形式表達的維納濾波器的實現。 th xR xyR0（2）維納濾波器的實現）維納濾波器的實現 1）維納濾波器的非因果解）維納濾波器的非因果解維納濾波器的非因果解是指不要求 有因果關系，也就是說不要求物理上可實現的解。這種解可以直接根據維納霍夫方程式（5.40）得到，根據卷積積分 th xyxRdRh

34、0（5.44） 對等式兩邊作傅里葉變換，即可得頻域的解為： xyxSSjK0（5.45） 根據 及 ，故 txtyERxy00 tsty0 sxxyRtxtsER0（5.46） 對相關函數進行傅里葉變換，即得： sxjxySeS0（5.47） 將上式代入式（5.45）可得維納濾波器的非因果解為： jxsxeSSjK（5.48） 實際上，維納濾波器的輸入 ，即 ，可見有 ，其中 為信號功率譜密度， 為觀察噪聲的功率譜密度。因信號及噪聲不相關，則有 tntstx nsxRRR nxSSS S tn tstsEtntstsEtxtsERsx（5.49） 故 ，代入式（5.48），得到維納濾波器的非因

35、果解為： SSsx jneSSSjK（5.50） 由此可得維納濾波器非因果解的均方差為： dSSSSxxyyx22min0021（5.51） 對于信號波形復現情況，即 ，上式可以簡化為： tsty0 dSSSSxn212min（5.52） 式（5.50）為計算維納濾波器非因果解的主要公式，其結果解釋如下：對 的頻率范圍內，由于 ，由式（5.50），一定有 ，表示由于沒有噪聲，故濾波器增益為1，從而保證信號不失真。其次，由式（5.52）可見，在這段頻率內，均方誤差的積分值為零。對 的頻率范圍內，由于 ，由式（5.50），一定有 ，表示由于沒有信號，故濾波器增益為零，從而完全阻止噪聲通過。同樣，由

36、式（5.52）可見，在這段頻率內，均方誤差的積分值為零。10 0nS1jK2 0S0jK21對 的頻率范圍內，由于 及 均不為零，則 ，一方面要阻止噪聲通過，另一方面要保證信號通過。因而，隨著 增加，由于 逐漸加大，故 逐漸減小，直至為零。式（5.50）中的移相因子 很明顯是為了使輸出信號 盡量接近期望輸出 ，因此，要靠放大器進行一定移相來達到。 S nS1jK nSjKje tyts2）維納濾波器的可實現解）維納濾波器的可實現解要做到維納濾波器為物理可實現形式，一定要在 的拉氏變換中去掉右半平面零極點。為此，把維納濾波器解式（5.50）寫成拉氏算子形式（即將 由拉氏算子 替代），得：jKjs

37、 sxesSsSsK（5.53） 由于 為功率譜形式，一定為正實數，故可以分解 為 ，則相應 xS xSjj*式（5.54）中 表示零極點在左半平面的因式，而 表示零極點在右半平面的因式，代入式（5.53）得到： sssSx*（5.54） s s* sessSssK*（5.55） 要求 為物理可實現的維納濾波器，則 均要求其極點在左半平面，換言之，式（5.53）的等式右邊只能保留左半平面的極點，而去掉右半平面的極點，從而得到維納濾波器的可實現解為： sK ssK sessSssK*1（5.56） 由上面分析可見，維納濾波器的可實現解嚴格說已經不具有最小均方誤差的性質，因此不能屬于真正的維納濾波

38、解，但其特點是物理上可實現的。5.2.2 選頻檢測的局限性與相干檢測原理選頻檢測的局限性與相干檢測原理（1）選頻放大的可檢測下限）選頻放大的可檢測下限一個頻域信號的選頻檢測系統通常包含有：信號源、傳感器、前置放大器、帶通濾波器，再加后級放大器與信號讀出儀表等。該系統的下限，主要決定于探測器與前放的噪聲水平，帶通濾波器的通帶寬度 及信號源與放大器的頻率穩定性。在系統的通帶寬度 內，噪聲幅度必須比信號幅度小，才能確保所測值基本是信號。因此，選頻放大的可檢測下限，必須等于或高于帶寬內的噪聲水平。即選頻放大系統的可檢測下限，應大于系統的噪聲水平。ff 任何探測器總有內阻（即使電抗性傳感器，也有損耗內阻

39、），即使不計暗電流噪聲、散粒噪聲、閃爍噪聲，其熱噪聲總是不可免的。通常，在10Hz范圍內有一微伏以上，即為一般選頻檢測的下限。對于無源濾波器無法通過再壓縮帶寬以降低噪聲。如果利用有源濾波器，雖然 有可能減小，但將會碰到BPF之中心頻率，或信號頻率的穩定性問題。所謂BPF穩定性問題指由于有源BPF中晶體管、電阻、電容的參數隨溫度變化，而造成 之漂移。這種漂移將造成離理想工作頻率較遠的噪聲通過。 由此可知，選頻放大測量儀器，測量電壓下限一般為微伏，測量電流下限一般為納安。f0f（2）相敏檢波原理）相敏檢波原理1）鎖相放大器的基本概念）鎖相放大器的基本概念 為了大幅度提高檢測下限和測量靈敏度，不僅要

40、減小測量系統的噪聲，而且要能從噪聲中提取信號，為此提出了相干檢測。其基本設想是： 首先使測量系統的主要部分，避開噪聲功率密度大的地方，從而使輸入噪聲較小。為此應設法使信號不失真的從低頻區移出（ 角以外）； 對不同的頻率信號，應該設法將其移頻至固定中心頻率，這樣可以使用固定中心頻率，固定帶寬的BPF； 從信號與噪聲的特征對比可知，信號與多數噪聲有頻率和相位兩方面不同。BPF只是利用頻率特征的識別。因此，如果再利用相位特征的識別，將可把同頻率、不同相位的噪聲大量排除。在f1光學中，對頻率和相位都進行區分的方法稱為相干法，故這種檢測叫相干檢測。在電子學中，這種方法稱為鎖定相位。 2) 鎖相放大器（鎖

41、相放大器（LIAlock in amplifier）的工作過程）的工作過程 信號通道把輸入信號選頻放大（初步濾除噪聲）后，輸入到相敏檢波器；參考通道在觸發信號的同步下，輸出相位可調的、與輸入信號同頻的，1：1方波；相敏檢波器則比較兩路信號，輸出直流信號，其幅度與兩路輸入信號幅度和它們的相位差成比例；直流放大器作低通濾波和進一步放大。其基本功能有： 放大的增益 ，可將 的信號放大到10V； 窄帶濾波消除噪聲，系統的等效噪聲帶寬（ENBW）可以小于0.0004Hz；工作頻率可以從低頻至幾百KHz，相對Q值可以達 ；dBG22001011nV1 . 0810 輸入的是交流信號，輸出的是直流電壓，輸出

42、正比于 ，其中 是指輸入信號與參考信號的相位差，此相位差可以任意調節，若 ，則輸出最大，即 值（正比于輸入信號）； LIA可以實現正交的矢量檢測，無需對信號進行矢量合成與分析。cose0e 鎖相放大器是根據頻域窄帶化和相干檢測原理而設計的。它只適用于作單頻和窄帶弱信號的檢測，不能用于可重復信號。本小節重點介紹可用于重復的周期和非周期弱信號的原理與技術。5.3.1 取樣積分器的基本原理取樣積分器的基本原理 圖5.4（a）為取樣積分器電路， 是與被測信號 同頻的參考信號（這里對波形不限為正弦波）。經延時 后形成取樣脈沖，作用到取樣開關 ，實現對輸入信號 的取樣。由于每隔周期 進行一次取樣，因此在電

43、容C上的電壓就得到取樣信號的積累（積分）。為防止積累造成溢出現象，在計算機的存儲器代替C的情況下，對存儲信號還要做平均處理，故又稱為積累平均。圖5.4（b）給出波形示意圖。5.3 時頻的取樣平均檢測原理時頻的取樣平均檢測原理取樣積分器取樣積分器 tr ts0tK tntstxT圖5.4 (a)取樣積分器原理圖5.4 (b) 取樣積分器原理經過 次積累平均，則輸出為n 對白噪聲形式的觀察噪聲，由于不同時刻噪聲值不相關，則有1001001000111nknknkkTtnnkTtsnkTtxnu（5.57） 01100nkkTtnn故輸出 010001tskTtsnunk（5.58） 由此可見，取樣

44、積分過程是一種很好的信號波形恢復方法。對于噪聲中周期脈沖信號的恢復有兩個過程，即信號波形的周期取樣及積累平均（用電容為積累元件時，為積分過程）。根據這種原理制成的取樣積分器，由于方法簡單，效果良好，得到廣泛應用，因此發展成為微弱信號檢測儀器的一個主要品種。下面分別加以介紹：（1）周期信號的取樣）周期信號的取樣 對連續信號取樣，其取樣間隔 必須滿足取樣定理。根據取樣定理，一個連續信號 可以按一定時間間隔 進行取值，即 為 ，其中 。設 的頻譜 有高端截止頻率 ，即當時 ， 。則當 滿足 txnx, 2 , 1n tx fGcfcff 0fGcf21（5.59） 時，則由離散取樣信號 可以不失真地

45、恢復 。有關取樣定理的證明及進一步了解，請讀者參閱有關信號處理著作。 取樣門脈沖寬 也不能選擇過寬，否則將會造成信號的高頻部分損失，從而使恢復的信號失真。以圖5.6的正弦信號為例，介紹取樣門脈沖寬 的選擇。在 時刻加入取樣脈沖使取樣門閉合，對正弦信號取樣，則信號取樣后的輸出電壓為nx txgTgT0t圖5.6 取樣門脈沖寬的選擇 22,sin00ggmTttTttUtu（5.60） 經RC積分后輸出為0220sin2sin2sin00tTUtdtUUgmTtTtmgg（5.61） 上式適合于任何 值。當頻率很低時， ，則上式近似為：0gT00sin22tTUUgm（5.62） 由式（5.61）

46、和式（5.62）可得，當頻率較高時，因 ，故其輸出電壓將會下降，從而引起信號中高頻分量的損失，其損失程度可以用比值 來表示，即22singgTTA22singgTTA（5.63） 上式表明 與 有關。由于工程中常用頻率 ，為此圖5.7給出了值 與 關系。可見，對給定的脈沖信號，設頻譜的高端截止頻率為 ，則對該頻率分量，其損失 應滿足，代入上式得AgTfAgfTcfA21A42. 0gcTf（5.64） 故取樣門脈沖寬cgfT42. 0（5.65） 此式表明：若取樣門的脈沖寬度 越小，則可以恢復的信號頻率越高，特別是對于要恢復的信號有很陡的上升前沿時，則門寬 必須很窄。gTgT圖5.7 值與 關

47、系AgfT（2）取樣信號的積累平均）取樣信號的積累平均 為了消除取樣得到的信號中噪聲，必須采用多次累加及平均，即稱為積累平均。從圖5.5所示的定點取樣為例，對同一信號多次定點取樣，得到的信號及噪聲分別為 及 ，其中 。對這 次取樣值積累平均后，信號及噪聲值分別為kTts0kTtn01, 1 , 0nkn信號：每次取樣得到同樣值，故 01001tskTtsnUnks（5.66） 噪聲：設觀察噪聲為白噪聲，功率 ，則2nnnnkTtnnUnnnkn2100211（5.67） 由此可以算出：輸入信噪比： nitsSNR0輸出信噪比： ntsSNRno/0（5.68） （5.69） 可見，經過取樣積分

48、，對 時刻的信噪比提高程度為0tnSNRSNRSNIRio（5.70） 此式稱為取樣積分器的 法則，它表示增加積累次數 ，可以更充分地抑制噪聲，達到提高信噪比，檢測更微弱信號的目的。nn值得注意：隨著積累次數的增加，所需要的測量時間 也同時增加。由此可見，這種微弱信號檢測方法也是以時間為代價，來換取信噪比的改善，這一點與鎖定放大器是相同的。5.3.2 模擬式取樣積分器模擬式取樣積分器 用模擬電路構成的取樣積分器現在仍得到廣泛應用，主要是因為用模擬門電路及放大器等均可以工作在甚高頻率。因此，對于高速脈沖信號的周期取樣及積分平均，仍用這類電路。下面，介紹儀器的組成、性能指標。（1）定點式取樣積分器

49、）定點式取樣積分器nT 定點式取樣積分器是對被噪聲覆蓋的信號在固定點取樣，并加以積分（積累平均）。圖5.8（a）為其原理圖，主要包括：交流放大、取樣門及積分電路、直流放大器、延時電路、取樣脈沖形成電路。當取樣脈沖到來時，取樣門開通，即可對輸入信號取樣。圖5.8（b）為測量脈沖信號幅度的示意圖。每次取樣得到波形振幅 。在取樣期間，該信號就可以對C充電，隨著取樣次數增加，電容上充電電壓會逐漸升高，而在取樣脈沖間隔期間，電容C上的電壓繼續不變。可見，只要形成取樣脈沖的參考信號（通常為觸發脈沖或正弦波經整形得到）與被測信號同頻率，就可以實現正確的取樣積分，使輸出信噪比按 法則得到提高。mUn圖5.8

50、定點式取樣積分器（a）定點式取樣積分器電路 圖5.8 定點式取樣積分器（b）定點式取樣積分器的工作過程 這種定點式取樣積分器可以實現對波形中某一時刻信號的恢復。如果要恢復整個信號波形，則必須要逐步改變延時 。因此，整個波形恢復所需要的時間是很長的。其次，由于在取樣間隔時間內，電容C本身漏電及經取樣門反向電阻和后接直流放大器的輸入電阻放電，使已經充在電容上的電壓會逐漸降低。所以，這種取樣積分器要求有漏電很小的電容及取樣門，以及高輸入阻抗的緩沖放大器，另外也不適宜用于信號頻率過低的情況。 定點式取樣積分器的參數選擇方法如下：1）累加次數）累加次數 值要根據信噪比提高程度（ ）來定，由式（5.70）

51、有：0tnnSNIR2SNIRn （5.71） 若要求 ，則 。對于極微弱信號檢測時，則 值要求更大。100SNIR410nn2）取樣脈沖門寬）取樣脈沖門寬 要根據被恢復信號的最高頻率 來確定，根據式（5.65），即gTgTcfcgfT42. 0（5.72） 可見，信號頻譜的最高頻率 越高，則 越小。cfgT3）積分器時間常數）積分器時間常數積分器時間常數 是指RC電路時間常數，即 。根據取樣積分器的工作原理，在每次取樣脈沖作用期間，對電容器充電時間為 ，故次積累時，總的充電時間為 ，在兩次取樣脈沖間隔，則電容不進行充電，故電容電壓繼續不變。因此，這種充電方式與恒定電源充電不同，電容上電壓呈階

52、梯狀上升，而不是指數式上升。圖5.9給出了波形圖。根據RC充電的指數形式，其有效的充電時間為 ，故這種定點式取樣積分器最多可充電次數為：cTRCTcgTgnTRC5gcTTn5（5.73） 圖5.9 取樣積分器的電容充電波形當 ， 已確定后，信噪比改善程度為：cTgTgcTTnSNIR5（5.74） 或者說，當已知要求SNIR程度，則積分器的時間常數可以按下式確定5gcnTT （5.75） 實際上，由于電容充電具有指數特性，當充電接近飽和時，信號積累速度減慢，所以信噪比改善較少，其計算公式為：2121212TgceTTSNIR（5.76） 式中： 限帶白噪聲的相關函數的指數因子； 信號周期。對

53、于白噪聲情況，上式為：T212gcTTSNIR（5.77） 由此可決定 值。綜上所述，定點式取樣積分器要對某一時刻的信號值恢復，達到要求的信噪比改善程度，則一些參數選擇原則為：cTcgfT42. 0（5.78） 22SNIRTTgc（5.79） gcsTTTnTT5（5.80） 式（5.80）中 是信號恢復時間，即測量時間。sT圖5.10 被測脈沖波形4）波形恢復總時間）波形恢復總時間 要從噪聲中恢復全部信號波形，則必須對脈沖波形進行多點取樣。圖5.10給出被測脈沖波形。 稱為時基，應覆蓋被測脈沖的持續時間，以便全部恢復脈沖波形。 為周期，通常 。根據取樣定理，要不失真恢復信號，則多點取樣間隔

54、 。因此，在 時間內，取樣點數為 。已知取樣門寬 ，即可以得到取樣點數為 。根據恢復波形上某一點所需時間 ，測波形恢復總時間為：ssTBTTTTBcf21BTBcBTfT2BTgBTTsT25gBcgBsssTTTTTTTT （5.81） （2）掃描式取樣積分器）掃描式取樣積分器 定點式取樣積分器的主要缺點是延長時間 需要手動調節，因此要恢復全部波形必須逐步改變取樣脈沖的延時量，這不僅很麻煩，而且很難得到一個完整的波形。因此，目前國外生產的取樣積分器都是掃描式。圖5.11（a）為掃描式取樣積分器的電路。與定點式取樣積分器比較，由于采用了慢掃描鋸齒波發生器產生的鋸齒波與時基信號共同作用，產生延時

55、逐漸落后的取樣脈沖，從而可以實現對原信號的逐點恢復。圖5.11（b）為各點波形，a為被濾波形，b為觸發脈沖，c為時基信號，d為慢掃描鋸齒波。當時基鋸齒波與慢掃描鋸齒波作用在比較器兩個輸入端，在c點電壓大于d點電壓時輸出為正，反之為負。e為比較器輸出波形。再經取樣脈沖形成電路，其上升沿形成取樣脈沖， 為取樣脈沖波形，它是一個逐漸延時的脈沖，這種非常緩慢移動的取樣脈沖，0tf可以理解為在 時間內取樣很多點，因此這種取樣方式就等效為定點式取樣積分，達到提高輸出信噪比目的。g為經緩慢移動取樣脈沖作用而輸出的波形，可見這種電路輸出與被測脈沖波形完全一致，其觀測噪聲得到抑制，但波形在時間軸變化卻大大放慢。

56、這種緩慢變化的信號相當式（5.81）給出的總測量時間 ，一般達幾分鐘以上。因此，這種變化緩慢的信號只能用記錄儀來記錄。如圖5.11（a）所示，X軸送入慢掃描鋸齒波，Y軸送入經緩沖放大輸出的信號，則記錄儀將繪下被恢復的信號。掃描式取樣積分器的參數選擇方法與定點式取樣積分器相同，即均可用式（5.78）至式（5.81）來計算，特別是 就表示慢掃描鋸齒波的正向掃描時間。 gTssTssT圖5.11 掃描式取樣積分器電路及各點波形圖5.11 掃描式取樣積分器電路及各點波形5.3.3 數字多點平均器數字多點平均器（1）多點信號平均原理）多點信號平均原理BOXCAR積分器的出現，使從噪聲中恢復周期信號這一難

57、題得以解決。它的主要優點是極高的分辨率及對快速脈沖信號的處理能力（通過高速取樣門），但也存在著嚴重的缺點，即取樣效率極低。因為BOXCAR只有一個積分電容，因而每一周期內只能對信號波形的某一時刻值取樣，所以對于低重復頻率的信號恢復需要極長的時間，例如SNIR=100，恢復10Hz波形，門寬 100 s，則用BOXCAR積分器，按式（5.81），所需時間為gT25gBcssTTTTT設 ，由式（5.79）代入上式得： TTB295 . 222SNIRTTTgss天 雖然，這是無法實現的。即使處理時間允許，積分電容上電壓的保持時間卻是有限的，而且長時間取樣也會因零漂而使恢復的信號失真。 多點信號平

58、均方法是一種有效的改進方法，圖5.12為這種方法的原理圖。取樣間隔控制器對取樣位置進行控制，使門1，2，N順序打開，分別對信號波形上各點進行順序取樣，并把取樣值分別存入到各電容器 ， ， 上進行積累。待積累完成后，再依此順序輸出電容 上的電壓，即可以恢復信號波形。這種多點信號平均方式，可以在一個信號波形上進行N次取樣，從而大大減少了信號測量時間，例如N1024，則上例中 則可減少為29（天）1024=417min，時間節約了1024倍。1C2CNCiCssT圖5.12 多點信號平均原理 多點平均方式顯然不能用圖5.12所示的電容器組來實現，這不僅是因為1024只電容會使儀器價格昂貴、體積龐大，

59、而且由于電容本身漏電，使信號電壓保持時間有限，從而很難實現對低頻信號的恢復。因此，這種多點平均方式只能采用數字式電路，即計算機來完成。由于計算機有足夠數量的內存單元，而且存儲器有無限保持的優越性，因此數字式多點信號平均器得到重視，并廣泛應用。這方面詳細內容，請讀者參閱其它有關文獻。 數字多點平均是在信號觀測范圍內，對信號波形同時進行多點取樣，然后再移到下一個周期內進行多點平均。從波形恢復的記錄中可以看到，數字式多點平均器輸出波形是一次顯示，整個波形在多次平均過程中逐漸清晰，其波形可以在示波器顯示。圖5.13給出多點平均后輸出的波形（采用歸一化平均方式）。 圖5.13 數字多點平均器的輸出波形

60、美國PARC公司生產的M4203信號平均器是一種典型的雙通道數字多點平均器和分析器，圖5.14為電路框圖。在同步觸發和定時控制下，通過采樣保持線路按時間序列對輸入信號取樣，并經ADC轉化為數字量存放于存儲器的相應地址。經多次取樣累加平均，獲得信噪比的提高。這種儀器與BOXCAR積分器比較，具有保持時間無限長，波形利用率高，測量時間短等優點，對于低重復頻率信號測量，具有重要價值。 （2）BOXCAR積分器與數字平均器的組合系統積分器與數字平均器的組合系統上面已經指出BOXCAR積分器具有快速取樣的優點；而以微型計算機為中心的信號處理電路可以實現多種平均模式及其他數據處理等功能。因此，目前的發展已