1、2021-6-181第三章第三章 連續(xù)系統(tǒng)的頻譜與傅立葉變換連續(xù)系統(tǒng)的頻譜與傅立葉變換目的要求目的要求: 1 1、了解周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開法；、了解周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開法； 2 2、了解周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)。、了解周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)。內(nèi)容：內(nèi)容： 1 1、周期信號(hào)的分解；、周期信號(hào)的分解； 2 2、奇、偶函數(shù)的傅立葉系數(shù)；、奇、偶函數(shù)的傅立葉系數(shù)； 3 3、周期信號(hào)的頻譜；、周期信號(hào)的頻譜；重點(diǎn)：重點(diǎn)：傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式；周期矩形脈沖的頻譜。傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式；周期矩形脈沖的頻譜。 第第1 13 3節(jié)節(jié) 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜2021-6-1823.1 引言引言第三章第三章 傅

2、里葉變換和信號(hào)的頻譜傅里葉變換和信號(hào)的頻譜 時(shí)域分析時(shí)域分析，以，以沖激函數(shù)沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)之和；而信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)之和；而 yzs(t) = h(t)*f(t)。 本章將以本章將以正弦信號(hào)正弦信號(hào)和和虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)ejt為基本信號(hào)，為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率不同頻率的正弦信號(hào)的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。或虛指數(shù)信號(hào)之和。 2021-6-183從本章開始由從本章開始由時(shí)域時(shí)域轉(zhuǎn)入轉(zhuǎn)入變換域變換域分析，首先討論傅里分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開的

3、基葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。制和頻分復(fù)用等

4、重要概念。 2021-6-184發(fā)展歷史發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。到廣泛應(yīng)用。19世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。進(jìn)入進(jìn)入20世

5、紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣闊的問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)。具有很多的優(yōu)點(diǎn)。“FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。 2021-6-185傅里葉生平傅里葉生平v1768年生于法國年生于法國v1807年提出年提出“任何周任何周期信號(hào)都可用正弦函期信號(hào)

6、都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示數(shù)級(jí)數(shù)表示”v1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件個(gè)給出收斂條件v拉格朗日反對(duì)發(fā)表拉格朗日反對(duì)發(fā)表v1822年首次發(fā)表在年首次發(fā)表在“熱的分析理論熱的分析理論” 一書中一書中2021-6-186傅里葉傅里葉(Jean Baptise Joseph Fourier17681830)法國數(shù)學(xué)家。法國數(shù)學(xué)家。1768年年3月月21日生于奧塞日生于奧塞爾，爾，1830年年5月月16日卒于巴黎。日卒于巴黎。1795年曾在巴年曾在巴黎綜合工科學(xué)校任講師。黎綜合工科學(xué)校任講師。 1798年隨拿破侖遠(yuǎn)年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，當(dāng)過埃及學(xué)院的秘書。征埃及，當(dāng)過埃及學(xué)院的秘書。180

7、1年回法年回法國，又任伊澤爾地區(qū)的行政長官。國，又任伊澤爾地區(qū)的行政長官。1817年傅年傅里葉被選為科學(xué)院院士，并于里葉被選為科學(xué)院院士，并于1822年成為科年成為科學(xué)院的終身秘書。學(xué)院的終身秘書。1827年又當(dāng)選為法蘭西學(xué)年又當(dāng)選為法蘭西學(xué)院院士。院院士。 在十八世紀(jì)中期在十八世紀(jì)中期,是否有用信號(hào)都能用復(fù)指數(shù)的線性組合來表是否有用信號(hào)都能用復(fù)指數(shù)的線性組合來表示這個(gè)問題曾是激烈爭(zhēng)論的主題。示這個(gè)問題曾是激烈爭(zhēng)論的主題。1753年年,D.伯努利曾聲稱一根弦伯努利曾聲稱一根弦的實(shí)際運(yùn)動(dòng)都可以用正弦振蕩模的線性組合來表示的實(shí)際運(yùn)動(dòng)都可以用正弦振蕩模的線性組合來表示,但他沒有繼續(xù)但他沒有繼續(xù)從數(shù)學(xué)

8、上深入探求下去從數(shù)學(xué)上深入探求下去;后來歐拉本人也拋棄了三角級(jí)數(shù)的想法后來歐拉本人也拋棄了三角級(jí)數(shù)的想法。2021-6-187 在在1759年拉格朗日年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級(jí)數(shù)來表表示不可能用三角級(jí)數(shù)來表示一個(gè)具有間斷點(diǎn)的函數(shù)示一個(gè)具有間斷點(diǎn)的函數(shù),因此三角級(jí)數(shù)的應(yīng)用非常有限。正是在因此三角級(jí)數(shù)的應(yīng)用非常有限。正是在這種多少有些敵對(duì)和懷疑的處境下這種多少有些敵對(duì)和懷疑的處境下,傅里葉約于半個(gè)世紀(jì)后提出了傅里葉約于半個(gè)世紀(jì)后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅(jiān)持不渝地從事熱學(xué)研他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅(jiān)持不渝地從事熱學(xué)研究，究，1807年他在向

9、法國科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文中年他在向法國科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文中宣布了宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。這篇論文經(jīng)這篇論文經(jīng) J.-L.拉格朗日拉格朗日, P.-S.拉普拉斯拉普拉斯, A.-M.勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開為三角級(jí)數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級(jí)數(shù)的文中初始溫度展開為三角級(jí)數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級(jí)數(shù)的觀點(diǎn)相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強(qiáng)烈反對(duì)觀點(diǎn)相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強(qiáng)烈反對(duì),傅里葉的論文傅里葉的論文從未公開露面過。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接

10、受并從未公開露面過。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表發(fā)表,在經(jīng)過了幾次其他的嘗試以后在經(jīng)過了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在方式出現(xiàn)在熱的分析理論熱的分析理論這本書中。這本書出版于這本書中。這本書出版于1822年年,也即也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時(shí)晚十五年。這本書比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時(shí)晚十五年。這本書已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成思想和數(shù)學(xué)成 就。就。2021-6-188 書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問

11、題，以系統(tǒng)地運(yùn)用三角書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問題，以系統(tǒng)地運(yùn)用三角級(jí)數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級(jí)數(shù)和傅級(jí)數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分，這個(gè)名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：里葉積分，這個(gè)名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“任意任意”函數(shù)（實(shí)際上要滿足函數(shù)（實(shí)際上要滿足 一定的條件一定的條件,例如分段單調(diào)）都可以展開成三例如分段單調(diào)）都可以展開成三角級(jí)數(shù)角級(jí)數(shù),他列舉大量函數(shù)并運(yùn)用圖形來說明函數(shù)的這種級(jí)數(shù)表示的普他列舉大量函數(shù)并運(yùn)用圖形來說明函數(shù)的這種級(jí)數(shù)表示的普遍性，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。遍性，但是沒有給出明確

12、的條件和完整的證明。 傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法解方法-傅里葉級(jí)數(shù)法傅里葉級(jí)數(shù)法,從而極大地推動(dòng)了微分方程理論的發(fā)展，特從而極大地推動(dòng)了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展；別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展； 其次，傅里葉級(jí)數(shù)拓廣了函數(shù)概其次，傅里葉級(jí)數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動(dòng)了函數(shù)論的研究，其影響還擴(kuò)及純粹數(shù)學(xué)的其念，從而極大地推動(dòng)了函數(shù)論的研究，其影響還擴(kuò)及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。他領(lǐng)域。傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的最卓越的工具，傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的最卓越的工具， 并且認(rèn)為并且認(rèn)

13、為“對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉。對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉。” 這一見解已成為數(shù)學(xué)這一見解已成為數(shù)學(xué)史上強(qiáng)調(diào)通過實(shí)際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點(diǎn)。史上強(qiáng)調(diào)通過實(shí)際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點(diǎn)。2021-6-189傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)v“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和弦信號(hào)的加權(quán)和”傅里葉的第傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)一個(gè)主要論點(diǎn)v“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示權(quán)積分表示”傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)2021-6-1810主要內(nèi)容主要內(nèi)容本章從傅里葉級(jí)

14、數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出本章從傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念。傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念。通過典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步通過典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對(duì)于周期信號(hào)而言，在進(jìn)行頻譜分析時(shí)，可以利用傅對(duì)于周期信號(hào)而言，在進(jìn)行頻譜分析時(shí)，可以利用傅里葉級(jí)數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于里葉級(jí)數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。2021-6-18113.2 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)

15、(一般了解，自學(xué)一般了解，自學(xué))2021-6-1812T 2 3.3 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)周期信號(hào)為設(shè)周期信號(hào)為 f(t),其重復(fù)周期為其重復(fù)周期為T,角頻率角頻率2021-6-1813T 2 、周期信號(hào)的分解、周期信號(hào)的分解1. 三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角形式的傅里葉級(jí)數(shù):設(shè)周期信號(hào)為設(shè)周期信號(hào)為 f(t),其重復(fù)周期為其重復(fù)周期為T,角頻率角頻率 tnbtbtbtnatataatfnnsin2sinsincos2coscos2)(21210 10sincos2)(nnntnbtnaatfdttfTaTtt 00)(120直流分量：直流分量：tdtntfTaTttn 00cos)(2余弦分量

16、的幅度：余弦分量的幅度：dtntfTbTttn 00sin)(2正弦分量的幅度：正弦分量的幅度：an 是是n 的偶函數(shù)的偶函數(shù)bn 是是n的奇函數(shù)的奇函數(shù)2021-6-1814 10sincos2)(nnntnbtnaatf )cos(sinsincoscossincossincos222222nnnnnnnnnnnnnnntnAtntnAtnbabtnbaabatnbtna 0022sincosAaAbAaabarctgbaAnnnnnnnnnnnn 其中，各個(gè)量之間關(guān)系如下其中，各個(gè)量之間關(guān)系如下nanbnAn nnnnAAaa ,nnnnbb ,An 、 an 是是n 的偶函數(shù)的偶函數(shù)n

17、 bn、 是是 n的奇函數(shù)的奇函數(shù)4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)2021-6-1815 10cos2)(nnntnAatf 結(jié)論：結(jié)論： 任意周期信號(hào)只要滿足任意周期信號(hào)只要滿足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)條件條件就可以分就可以分解成直流分量及許多正弦、余弦分量之和。這些正弦、余弦解成直流分量及許多正弦、余弦分量之和。這些正弦、余弦分量的頻率必定是基頻分量的頻率必定是基頻 f 的整數(shù)倍。通常的整數(shù)倍。通常把頻率為把頻率為f, 2f, 3f,等的分量分別稱為基波，二次諧波，三次諧波等的分量分別稱為基波，二次諧波，三次諧波。 21 Tf 傅里葉級(jí)數(shù)所取的項(xiàng)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)所取的項(xiàng)數(shù) n(=N)

18、愈多，相加后波形愈逼近愈多，相加后波形愈逼近原信號(hào)原信號(hào)f(t),方均誤差愈小。方均誤差愈小。4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)2021-6-1816狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)條件條件條件條件3:3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。條件條件2 2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。限個(gè)。條件條件1 1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。例例2 2例例1 1例例3 32021-6-1817例1不滿足條件不滿足條件1 1的例子如下圖所示，這個(gè)信號(hào)的

19、周期為的例子如下圖所示，這個(gè)信號(hào)的周期為8 8，它，它是這樣組成的：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階梯的是這樣組成的：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階梯的一半。可見在一個(gè)周期內(nèi)它的面積不會(huì)超過一半。可見在一個(gè)周期內(nèi)它的面積不會(huì)超過8 8，但不連續(xù)，但不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無窮多個(gè)。點(diǎn)的數(shù)目是無窮多個(gè)。 tfO18 t8212021-6-1818例2不滿足條件不滿足條件2 2的一個(gè)函數(shù)是的一個(gè)函數(shù)是 10,2sin tttf tfO11 t1對(duì)此函數(shù)，其周期為對(duì)此函數(shù)，其周期為1 1，有，有 1d10 ttf2021-6-1819例3周期信號(hào)周期信號(hào) ，周期為，周期為1 1，不滿足此條件。，不滿足此條

20、件。 10,1 tttf tfO121 2 t12021-6-1820 10sincos2)(nnntnbtnaatf取傅里葉級(jí)數(shù)的前取傅里葉級(jí)數(shù)的前2N+1項(xiàng)求和為項(xiàng)求和為 NnnnNtnbtnaatS10sincos2)(誤差函數(shù)：誤差函數(shù)：)()()(tStftNN 方均誤差：方均誤差： 22122222)(1TTNjjjNTbadttfT 傅里葉級(jí)數(shù)：傅里葉級(jí)數(shù)：2. 傅里葉有限項(xiàng)級(jí)數(shù)與最小方均誤差傅里葉有限項(xiàng)級(jí)數(shù)與最小方均誤差、周期信號(hào)的分解、周期信號(hào)的分解P58 2021-6-1821例例3.1 方波信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù)方波信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù)dttntfTaTTn)cos()(2

21、22 dttnTdttnTTT)cos()1(2)cos()1(22002 2002)sin(12)sin(12TTtnnTtnnT T 2 0 na2021-6-1822例例3.1 方波信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù)方波信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù)T 2 0 nadttntfTbTTn 22)sin()(2dttnTdttnTTT 2002)sin()1(2)sin()1(2 )cos(12 nn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 2, 0nnn 2021-6-1823傅里葉級(jí)數(shù)展開式為傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 tnnttttf)sin(1)5sin(51)3sin(31)sin(4)( 例例3-1 方波

22、信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù)方波信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù)T 2 0 na )cos(12 nnbn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 2, 0nnn , 5 , 3 , 1 n2021-6-1824 tnnttttf)sin(1)5sin(51)3sin(31)sin(4)( 例例3-1 方波信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù)方波信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù), 5 , 3 , 1 n只取基波分量一項(xiàng)時(shí)只取基波分量一項(xiàng)時(shí))sin(41tS 方均誤差：方均誤差：189. 0421121122121 b 2221)(1TTdttfT 22122222)(1TTNjjjNTbadttfT 2021-6-1825 tnnttt

23、tf)sin(1)5sin(51)3sin(31)sin(4)( 例例3-1 方波信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù)方波信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù)只取基波和三次諧波二項(xiàng)時(shí)只取基波和三次諧波二項(xiàng)時(shí) )3sin(31)sin(42ttS 方均誤差：方均誤差： 0994. 034421121122232122 bb2021-6-1826 tnnttttf)sin(1)5sin(51)3sin(31)sin(4)( 例例3-1 方波信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù)方波信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù)只取基波和三次和五次諧波三項(xiàng)時(shí)只取基波和三次和五次諧波三項(xiàng)時(shí) )5sin(51)3sin(31)sin(43tttS 方均誤差：方均誤差：0669.

24、 05434421121122225232124bbb2021-6-1827 tnnttttf)sin(1)5sin(51)3sin(31)sin(4)( 例例3-1 方波信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù)方波信號(hào)展開為付里葉級(jí)數(shù)只取基波、三次、五次、七次諧波三項(xiàng)時(shí)只取基波、三次、五次、七次諧波三項(xiàng)時(shí)方均誤差：方均誤差： 0504. 0745434421121122222725232124 bbbb tttttf)7sin(71)5sin(51)3sin(31)sin(4)( 2021-6-1828吉伯斯現(xiàn)象：吉伯斯現(xiàn)象： 傅里葉級(jí)數(shù)所取的項(xiàng)數(shù)愈多，相加后波形愈逼近原信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)所取的項(xiàng)數(shù)愈多，相加后波形

25、愈逼近原信號(hào)f(t)。但但在間斷點(diǎn)附近，隨所取的項(xiàng)數(shù)的增多，合成波形的突峰愈靠近間斷在間斷點(diǎn)附近，隨所取的項(xiàng)數(shù)的增多，合成波形的突峰愈靠近間斷點(diǎn)，而該峰起值則趨于一個(gè)常數(shù)，他大約等于跳變值的點(diǎn)，而該峰起值則趨于一個(gè)常數(shù)，他大約等于跳變值的9%，并從，并從不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。 2021-6-18291. 1. 傅里葉級(jí)數(shù)所取的項(xiàng)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)所取的項(xiàng)數(shù) n(=N)n(=N)愈多，愈多，相加后波形愈逼近原信號(hào)相加后波形愈逼近原信號(hào)f(t)f(t)，方均誤差，方均誤差愈小。當(dāng)愈小。當(dāng)N N接近接近時(shí)，時(shí)，S SN N=f(t)=f(t)；

26、2. 2. 當(dāng)信號(hào)為脈沖信號(hào)時(shí)，其當(dāng)信號(hào)為脈沖信號(hào)時(shí)，其高頻分量主高頻分量主要影響脈沖的跳變沿，而低頻分量主要影要影響脈沖的跳變沿，而低頻分量主要影響脈沖的頂部響脈沖的頂部。所以。所以f(t) f(t) 波形變化愈劇波形變化愈劇烈，所包含的高頻分量愈豐富；變化愈緩烈，所包含的高頻分量愈豐富；變化愈緩慢，所包含的低頻分量愈豐富。慢，所包含的低頻分量愈豐富。 結(jié)論：結(jié)論：2021-6-1830根據(jù)歐拉公式：根據(jù)歐拉公式： tjntjntjntjneejtneetn21sin21cos二、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)二、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)2021-6-1831 11010102121222cos2)(nt

27、njnntnjnntnjtnjnnnnnnnneAeAaeeAatnAatf ntnjnntnjjnntnjnntnjnntnjneAeeAeAeAeAannnn21212121212110 11021212ntnjnntnjnnneAeAa 2021-6-1832njnneAA ntjnneAtf21)(其中其中, 2 , 1 , 0)(222 ndtetfTeAAtjnjnnTTn 令令 nnjnnjnneFFeAA 2121 ntjnneFtf)(則則 nnnjnnjbaAeFFn 2121 , 2, 1, 0)(122 ndtetfTFTTtjnn復(fù)傅里葉系數(shù)復(fù)傅里葉系數(shù)二、指數(shù)形式的

28、傅里葉級(jí)數(shù)二、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)2021-6-1833三、周期信號(hào)波形對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系三、周期信號(hào)波形對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 1、 偶函數(shù)偶函數(shù) )()(tftf 關(guān)于縱軸對(duì)稱關(guān)于縱軸對(duì)稱t 202TT Ef(t)（a）偶函數(shù)）偶函數(shù))()(tftf 0cos)(420 nTnbtdtntfTa2021-6-1834(a)(b)2021-6-1835二、周期信號(hào)波形對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系二、周期信號(hào)波形對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 2、 奇函數(shù)奇函數(shù) )()(tftf 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱E/2-2T -T -T/2 0 T/2 T 2T )(tft)(tf-E/2 20

29、sin)(40TnntdtntfTba圖圖4.2-7 4.2-7 奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)2021-6-1836(a)(b)2、 奇函數(shù)奇函數(shù) )()(tftf 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱2021-6-1837任意函數(shù)都可分解為奇函數(shù)與偶函數(shù)之和。任意函數(shù)都可分解為奇函數(shù)與偶函數(shù)之和。)()()()()()()()(tftftftftftftftfevodevodevod 2)()()(2)()()(tftftftftftfevod )(tft)(tft fev(t)t f(-t)t fod(t)2021-6-1838(a) (a) 全波整流信號(hào)全波整流信號(hào)(b) (b) 半波整流信號(hào)半波整流信

30、號(hào)2021-6-18392021-6-1840二、周期信號(hào)波形對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系二、周期信號(hào)波形對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 3、 偶諧函數(shù)偶諧函數(shù) 20sin)(4TntdtntfTb)2()(Ttftf 半半周期重疊周期重疊只有偶次只有偶次諧波諧波, 4 , 2 , 0 n 20cos)(4TntdtntfTa-T -T/2 0 T/2 T)(tft)(tf2021-6-1841-T -T/2 0 T/2 T )(tft)(tf4、 奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) )2()(Ttftf 半半周期鏡像對(duì)稱周期鏡像對(duì)稱 20sin)(4TntdtntfTb只有奇次只有奇次諧波諧波, 5 , 3 , 1 n

31、 20cos)(4TntdtntfTa二、周期信號(hào)波形對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系二、周期信號(hào)波形對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 2021-6-18421-12T 2TTt)(tfO(b)(b)2021-6-1843 10cos2)(nnntnAAtf , 2 , 1 , 0)(222 ndtetfTeAAtjnjnnTTn ntjnneFtf)( nnnjnnjbaAeFFn 2121 , 2, 1, 0)(122 ndtetfTFTTtjnn復(fù)傅里葉系數(shù)復(fù)傅里葉系數(shù) 10sincos2)(nnntnbtnaatf小結(jié)小結(jié)2021-6-1844頻譜：頻譜：幅度頻譜幅度頻譜諧波振幅大小隨頻率變化的關(guān)系諧

32、波振幅大小隨頻率變化的關(guān)系。相位頻譜相位頻譜諧波相位大小隨頻率變化的關(guān)系諧波相位大小隨頻率變化的關(guān)系。 3.4 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜 10cos2)(nnntnAAtf ntjnneFtf)(2021-6-1845一、信號(hào)頻譜的概念一、信號(hào)頻譜的概念 從廣義上說，信號(hào)的某種從廣義上說，信號(hào)的某種特征量特征量隨信號(hào)頻率變隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信，所畫出的圖形稱為信號(hào)的號(hào)的頻譜圖頻譜圖。 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將將An和和

33、n的關(guān)系分別畫在以的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖振幅頻譜圖和和相位頻相位頻譜圖譜圖。因?yàn)椤Ｒ驗(yàn)閚0，所以稱這種頻譜為，所以稱這種頻譜為單邊譜單邊譜。 也可畫也可畫|Fn|和和 n的關(guān)系，稱為的關(guān)系，稱為雙邊譜雙邊譜。若。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn 。圖示圖示3.4 3.4 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜2021-6-1846、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)njnneAA nA n 根據(jù)根據(jù) ，可以畫出，可以畫出諧波幅度譜諧波幅度譜與與相位譜相位譜 。 nnjnneFF nF，可以畫出，可以畫出復(fù)傅里葉系

34、數(shù)幅度譜復(fù)傅里葉系數(shù)幅度譜根據(jù)根據(jù)與與相位譜相位譜 。周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：(1)(1) 離散性離散性(2)(2) 諧波性諧波性(3)(3) 收斂性收斂性 2021-6-1847 0 520A0A 10nA1A2An 0 5 10 2 (a)單邊幅度譜單邊幅度譜(b)單邊相位譜單邊相位譜周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：(1)(1) 離散性離散性(2)(2) 諧波性諧波性(3)(3) 收斂性收斂性 2021-6-1848 0 520A 101F2FnF 5 10n 0 5 10 5 10 2 2 (c)雙邊幅度譜雙邊幅度譜(d)雙邊相位譜雙邊相位譜對(duì)于雙邊頻譜，負(fù)頻率，

35、只有數(shù)對(duì)于雙邊頻譜，負(fù)頻率，只有數(shù)學(xué)意義，而無物理意義。為什么學(xué)意義，而無物理意義。為什么引入負(fù)頻率？引入負(fù)頻率？ f(t)是實(shí)函數(shù)，分解成虛指是實(shí)函數(shù)，分解成虛指數(shù)，必須有共軛對(duì)數(shù)，必須有共軛對(duì)ejnt和和e-jnt，才能保證，才能保證f(t)的實(shí)函數(shù)的的實(shí)函數(shù)的性質(zhì)不變。性質(zhì)不變。2021-6-1849t-T 0 Tf(t)12 2 二、周期矩形脈沖的頻譜二、周期矩形脈沖的頻譜 復(fù)傅里葉系數(shù)復(fù)傅里葉系數(shù), 2, 1, 0222sin2sin1111)(1222222 nnSaTnnTnnTtjneTdteTdtetfTFtjntjnTTtjnn 2021-6-1850, 2, 1, 02 nnSaTFn , 2, 1, 02 nnSaTFn 幅度頻譜：幅度頻譜：相位頻譜：相位頻譜： 02sin,02sin, 0 nnn當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)2021-6-1851周期矩形脈沖的頻譜周期矩形脈沖的頻譜(T=4 )包絡(luò)線的特點(diǎn)：包絡(luò)線的特點(diǎn)： 2 Sa（1） 包絡(luò)線為包絡(luò)線為抽樣函數(shù)抽樣