1、相似三角形的性質知識精要相似三角形對應邊的比稱為這兩個三角形的相似比，形似比用字母k表示。如ABCABC，則,注意：相似比具有方向性，若寫作ABCABC，則相似比為。根據合比容易得到“相似三角形的周長比等于相似比”，記ABC和ABC的周長分別為和，則.類型一 相似比與周長比在有關相似三角形的計算問題中，通過對應邊的比例式建立方程式常用的方法。例題精解例1 如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為6，過重心G作DE/BC,分別交AB,AC于點D,E.點P在BC上，若BDP與CEP相似，求BP的長。點評：這是一類常見的有關三角形相似的分類討論的問題。圖中只能確定一組相等的角（B=C）為對應角，但“這個角

2、的兩組夾邊對應成比例”的比例式排列順序還不能完全確定，因此要分為兩種情況進行討論。【舉一反三】1、 如圖，ABC中，CD是角平分線，E在AC上，CD2=CBCE.（1） 求證：ADEACD；（2） 如果AD=6，AE=4，DE=5，求BC的長。點評：先根據判定定理2得到BCDDCE，再根據判定定理1得到ADEACD，這種類似于“二次全等”的“二次相似”是證明相似三角形常用的方法。2、 如圖，ABC中,DE/BE,分別交AB于D，交AC于E。已知AB=7，BC=8，AC=5，且ADE與四邊形BCED的周長相等，求DE的長。點評：無論是以相似比k作為未知量，還是以DE=x作為未知量，目的都是為了把

3、其他的量用k或x來表示，根據題設的等量關系列方程。這一解題思路可稱為“方程思想”，這是用代數方法解決幾何問題的基本思想。3、 如圖，正三角形ABC的邊長為1，點E,F分別在邊AB,AC上，沿EF將AEF翻折，使點A恰好落在BC上的點D.已知AE:AF=5:4，求BD的長。點評：本題的難點是將比值轉化為BED和CDF的相似比和周長比。類型二 相似比與對應線段之比 如圖ABCABC，相似比為k，若AH,AM,AE和AH,AM,AE分別是ABC和ABC的高、中線和角平分線，則。廣義地說，所謂“對應線段”應當包括兩個相似三角形對應位置上的所有對應線段，如上圖2中BE和BE，ME和ME等；而相似三角形對

4、對應位置上的所有三角形也都是相似三角形，如圖2中的ABEABE,AMEAME等。例2 如圖，ABC中，D在BC上，DAC=B,角平分線CE交AD于F.已知BD=1，DC=3.求CF:EF的值。點評：本題考查了相似三角形中對應角平分線的相似比問題。【舉一反三】1、 如圖，BAE=90，AB=AC=CD=DE,F是BC的中點，聯結BE,BD,DF.（1） 找出圖中的相似三角形并說明理由；（2） 求DF:DB的值。點評：第（2）小題也可以將看作是CFDCDB的對應邊之比。2、 如圖，RtABC中，CD是斜邊AB上的高，DEAC,DFBC，垂足分別為E,F。求證：DE2:DF2=AD:DB.點評：解題

5、思路從相似三角形的面積比入手。一方面，相似三角形的面積比等于相似比的平方；另一方面，登高的三角形面積之比等于相應的邊長之比，從而建立起與線段平方比有關的比例式。3、 一塊直角三角形木板的兩條直角邊AB長為1.5米，BC長為2米，工人師傅要把它加工成一個面積最大的的正方形桌面，請甲乙兩位同學進行設計加工方案，甲設計方案如圖1-4-9，乙設計方案如圖1-4-10.你認為哪位同學設計的方案中正方形面積較大？試說明理由。（加工損耗忽略不計，計算結果中可保留分數） 點評：利用“相似三角形的對應高之比等于相似比”，是解三角形的內接矩形問題的常用方法。類型三 相似比與面積比相似三角形的面積之比等于相似比的平

6、方。例如，如圖1-4-12，ABC中，D,E和F,G分別是AB和AC的三等分點，則ADF,AEG,ABC的周長比是1:2:3，面積比是1:4:9，而DF,EG將ABC分成的三部分面積之比1:3:5.另外，兩個有公共高的三角形的面積之比等于對應的底邊之比。例如，如圖1-4-13，ABC中，C=90，CD是高，則ADCCDB,另外，CD是它們的公共高，故,這樣我們就很容易得到一個比例式：.這種證明方法稱為“面積法”例3 如圖，ABC中，過重心G作DE/BC分別交AB,AC于點D,E,作DF/AC交BC于點F.求證：。點評：這個結果說明，三角形ADE與四邊形DECF面積相等，這種等積變換很難通過畫平

7、行線的方法驗證，只有利用相似三角形的性質通過計算來驗證。【舉一反三】1、 如圖，ABC中，點D在BC上，DAC=B.求證：AB2:AD2=BC:DC.2、 如圖，梯形ABCD中，AD/BC,AC交BD于O.（1） 若,求;（2） 若（m,n為正數），試用m,n表示梯形ABCD的面積S.點評：在梯形中，兩條對角線將梯形分為4個小三角形，其中分別以兩底為邊的兩個小三角形是相似關系，它們不可能全等（因為兩底是對應邊，不可能相等）；另兩個以腰為邊的小三角形是等積關系（面積相等），它們可能全等（當等腰梯形時），但不可能是非全等的相似關系。3、 如圖，平行四邊形ABCD中，AEBC于E,AFCD于F，聯結

8、EF,AC.（1） 求證：ABCEAF.（2） 若AB=3BE,AD=9，平行四邊形ABCD的面積為，求EF的長。內容提煉1、 相似三角形的性質包括三個方面：（1） 由定義確定的性質-相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，對應邊的比值稱為相似比，用k表示；注意相似比的“方向性”，必須是排在前面的三角形邊長除以排在后面的三角形邊長。若ABCDEF,則當k1時，說明由ABC到DEF是縮小的；當k1時，說明由ABC到DEF是放大的；當k=1時，ABCDEF,因此，全等是相似的特殊情況。（2） 性質1：相似三角形對應線段的比等于相似比，“對應線段”包括對應角的角平分線，對應邊上的中線和對應邊上的高。實

9、際上“對應線段”還可以推廣到兩個相似三角形的對應位置上的任何一種對應線段，例如：兩個相似三角形外接圓半徑的比、內切圓半徑的比都等于相似比。（3） 性質2：相似三角形面積的比等于相似比的平方，實際上還可以推廣到兩個相似三角形對應位置上的任何圖形的面積比都等于相似比的平方，例如：兩個相似三角形外接圓面積的比、內切圓面積的比都等于相似比的平方。2、 學習本節內容時要克服一些常見的錯誤。例如：（1） 在利用相似三角形的性質時，在書寫過程中忘記交代“相似”這一條件，或是沒有注意對應關系。（2） 誤認為通過“兩個三角形的周長比等于某一對應邊的比”或“兩個三角形的面積的比等于對應邊的平方比”就可以判斷這兩個

10、三角形相似。（3） 在運用性質2時忘記加平方，認為面積比等于相似比。鞏固提高（必做題，要求步驟完整，邏輯清晰）1、 如圖，DF/EG/BC,AD:DE:EB=1:2:3，如果為ADF面積，為梯形DEGF面積，為梯形EBCG面積，那么為 （ ）（A）1:4:9; (B)1:9:36; (C)1:8:27; (D)1:7:192、 已知一個三角形的三邊之比為3:4:5，與此三角形相似的另一個三角形最短邊的邊長為6cm，則另一個三角形的周長為（ ）（A）12cm; (B)24cm; (C)36cm; (D)48cm3、 若一個三角形的一條邊長為6cm，平行于這條邊的直線將該三角形分成面積相等的兩部分

11、，則該直線被這個三角形兩邊所截得的線段長為（ ）（A）3cm; (B)cm; (C)cm; (D)cm4、 若兩個相似三角形面積之比為3:4，則它們的周長之比為 5、 如果兩個相似三角形對應中線之比為2:3，其中較大的一個三角形的面積是36cm2,那么另一個三角形的面積是 cm2. 6、 如圖，AB/DC,AC交BD于O，過O作直線分別交AB,DC于M,N。若2OM=3ON,則AOB與COD的周長之比為 7、 如圖，AB/DC,AC交BD于O，過O作直線分別交AB=3，AC=2，若將ABC繞點A旋轉到ABC，則ABB與ACC的面積之比為 8、 梯形ABCD中，AD/BC,且AD:BC=3:4，BA與CD的延長線相交于點P，若梯形ABCD的高是3cm，則點P到BC的距離為 cm.9、 如圖，ABC中，D在AC上，若AD=2DC,AB2=ACAD，則BD:BC的值等于 10、 如圖，ABC中，AB=6，AC=9，DE/BC分別交AB,AC于D,E，且DE=8，四邊形DBCE的周長是25，求BC的長。11、 如圖，將ABC繞點A旋轉后得ABC，當ABBC時AC/BC,且點C恰好在BC上。求ABB與ACC的面積之比。12、 如圖，ABC中，C=2B，D在BC上，AC2=BCDC,且BAD=90，點E是BD的中點。試判斷AEC的形狀并說明理由。探究題（1） 如圖，四邊形ABCD中，