1、 主講教師：李榮濤主講教師：李榮濤建筑工程學院建筑工程學院 College of Civil Engineering and Architecture第十五章第十五章 壓桿穩定問題壓桿穩定問題15-1 穩定性概念穩定性概念 15-2 臨界荷載的歐拉公式臨界荷載的歐拉公式15-3 中、小柔度桿的臨界應力中、小柔度桿的臨界應力15-4 壓桿穩定條件與合理設計壓桿穩定條件與合理設計15-1 穩定性概念穩定性概念一、工程背景一、工程背景15-1 穩定性概念穩定性概念構件的承載能力設計構件的承載能力設計強度強度-構件抵抗破壞的能力構件抵抗破壞的能力剛度剛度-構件抵抗變形的能力構件抵抗變形的能力穩定性穩定

2、性-構件保持其原有平衡狀態的能力構件保持其原有平衡狀態的能力 例如：鋼板尺，橫截面尺寸為例如：鋼板尺，橫截面尺寸為 20mm 1mm ; 鋼鋼 =196MPa。 按按強度條件強度條件計算得計算得鋼板尺所能承受的軸向壓力？鋼板尺所能承受的軸向壓力？F = A = 3.92 kN實際情況？實際情況？壓桿承載能力壓桿承載能力短粗桿短粗桿：由強度決定由強度決定細長桿細長桿：由由穩定性決定穩定性決定?15-1 穩定性概念穩定性概念穩定平衡穩定平衡隨遇平衡隨遇平衡不穩定平衡不穩定平衡二、二、平衡狀態平衡狀態的的穩定性穩定性和和不穩定性不穩定性穩定平衡穩定平衡不穩定平衡不穩定平衡Fcr：臨界載荷：臨界載荷（

3、臨界力）（臨界力）失穩（屈曲）：失穩（屈曲）：結構或構件失去穩定平衡狀態的現象結構或構件失去穩定平衡狀態的現象 F FFcrFFcrFFcr15-1 穩定性概念穩定性概念q三、工程實際中的失穩現象三、工程實際中的失穩現象薄殼受外壓薄殼受外壓狹長矩形截面懸臂梁橫向受壓狹長矩形截面懸臂梁橫向受壓薄壁柱殼軸向受壓薄壁柱殼軸向受壓錢錢學學森森土木工程中常見的壓桿穩定性問題土木工程中常見的壓桿穩定性問題可能發生失穩的桿件？可能發生失穩的桿件？思考題思考題15-1 穩定性概念穩定性概念穩定平衡穩定平衡不穩定平衡不穩定平衡Fcr：臨界載荷：臨界載荷（臨界力）（臨界力）失穩（屈曲）：失穩（屈曲）：結構或構件失

4、去穩定平衡狀態的現象結構或構件失去穩定平衡狀態的現象 FFcr15-2 臨界荷載的歐拉公式臨界荷載的歐拉公式一、兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷一、兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷, ,待定A B F EIxMxw)(dd22 (a) cossinxEIFBxEIFAw 0dd22 wEIFxw時時且且微彎微彎 ,pmax 注意：注意：M(x) , w 設正法設正法方法：使壓桿方法：使壓桿微彎微彎, , 再求能再求能保持其保持其平衡平衡的最小軸向壓力的最小軸向壓力臨界載荷公式臨界載荷公式FwxM )()1()a(與與由由0 B(b) sinxEIFAw )2()b(與與由由0sin lEIFA(2) 0

5、(1) 0 0 wlxwx處，處，處，處，位移邊界條件位移邊界條件: :0 A), 2 , 1( , nnlEIF0sin lEIF222 lEInF 得得取取n=1于是得于是得歐拉公式歐拉公式(a) cossinxEIFBxEIFAw Fcr使壓桿在微彎條件下保持平衡的使壓桿在微彎條件下保持平衡的最小軸向壓力最小軸向壓力xEIFAwsin 歐拉臨界載荷歐拉臨界載荷 , 1 , lEIFnnlEIF結論結論 壓桿臨界狀態時的撓曲軸壓桿臨界狀態時的撓曲軸 一一 半波半波正弦曲線正弦曲線22cr/lEIF 2crcr/1 ,lFEIF 臨界狀態撓曲軸方程臨界狀態撓曲軸方程二、兩端鉸支細長壓桿的臨界

6、載荷二、兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷支承情況支承情況兩端鉸支兩端鉸支一端固定一端固定另端鉸支另端鉸支兩端固定兩端固定一端固定一端固定另端自由另端自由失穩時屈曲模態失穩時屈曲模態臨界力臨界力Fcr2cr2 EIF =l2cr2 EIF =(0.7l)2cr2 EIF =(0.5l)2cr2 EIF =(2l)長度系數長度系數 2 0.5 0.71l0.7l0.5lll細長壓桿臨界力的歐拉公式的統一形式細長壓桿臨界力的歐拉公式的統一形式2cr2()EIFl壓桿長度因數壓桿長度因數l壓桿的相當長度壓桿的相當長度 1 1）僅與僅與材料材料(E)、截面形狀截面形狀(I)、約束約束()和和長度長度(l) 有

7、關，與有關，與外部軸向壓力的大小外部軸向壓力的大小無關無關 ；2 2）是壓桿的自身的一種力學性質指標，反映承載能力的強）是壓桿的自身的一種力學性質指標，反映承載能力的強弱，弱，臨界力臨界力Fcr越高越高，穩定性穩定性越好越好，承載能力承載能力越強越強。15-2 臨界荷載的歐拉公式臨界荷載的歐拉公式（a）（b）（c）（d）材料相同，直徑相等材料相同，直徑相等，最不易失穩最不易失穩？最易失穩最易失穩？ 30cm鋼板尺，橫截面尺寸為鋼板尺，橫截面尺寸為 20mm 1mm;鋼鋼 =196 MPa，E=200 GPaE=200 GPa。按強度條件計算得按強度條件計算得鋼板尺所能承受的軸向壓力為鋼板尺所能

8、承受的軸向壓力為F = A = 3.92 kN2cr23292()0.02 0.0013.14200 101236.5 N(1 0.3)EIFlcr FF練習練習1 1例例 15-1 圖示細長壓桿，圖示細長壓桿，l = 0.8 m, d =20 mm, E = 200 GPa, s = 235 MPa，求，求Fcr = ?解：解：kN 2 .2464422cr dlEFkN 8 .7342ss dF 細長桿的承壓能力，是由細長桿的承壓能力，是由穩定性穩定性要求確定的要求確定的22crlEIF 一、臨界應力與柔度一、臨界應力與柔度crcrFA1. 1. 臨界應力臨界應力的歐拉公式的歐拉公式2.2

9、.壓桿的長細比壓桿的長細比（柔度）（柔度）A)l(EI22 222i)l(E 22)il(E 22E il 慣性半徑慣性半徑(l) () (i)壓桿越易失穩壓桿越易失穩cr15-3 中、小柔度桿的臨界應力中、小柔度桿的臨界應力二、歐拉公式的適用范圍二、歐拉公式的適用范圍適用范圍：材料為線彈性適用范圍：材料為線彈性crp2ppE22crpE細長桿（大柔度桿）細長桿（大柔度桿） p p比例極限比例極限15-3 中、小柔度桿的臨界應力中、小柔度桿的臨界應力Q235鋼（鋼（A3）：）：206200,pEGPaMPap2pE 101Q235鋼制成的壓桿，歐拉公式適用的柔度范圍：鋼制成的壓桿，歐拉公式適用

10、的柔度范圍：22crEIFl()22crE 101p臨界載荷：臨界載荷：臨界應力：臨界應力：15-3 中、小柔度桿的臨界應力中、小柔度桿的臨界應力 p p三、臨界應力的經驗公式三、臨界應力的經驗公式()p（1）細長桿（）細長桿（大柔度桿大柔度桿）22crE p比例極限比例極限（2）中長桿（）中長桿（中柔度桿中柔度桿）sp s s屈服極限屈服極限()ps?cr1）直線型公式：）直線型公式： bacr 61 6 .ssab（2）中長桿（）中長桿（中柔度桿中柔度桿）sp材料材料a(MPa) b(MPa)Q235鋼鋼3041.12硅鋼硅鋼5783.744鉻鉬鋼鉻鉬鋼9805.296強鋁強鋁3732.1

11、5鑄鐵鑄鐵332.21.454木材木材28.70.19Q235鋼：鋼：235sMPa（3）粗短桿（）粗短桿（小柔度桿小柔度桿）scrs強度問題強度問題2）拋物線型公式：）拋物線型公式：211crabcr oP 22crE 中柔度桿中柔度桿大柔度桿大柔度桿 bacr p s 細長桿細長桿發生彈性失穩發生彈性失穩 (p)中長桿中長桿發生彈塑性失穩發生彈塑性失穩 ( s p)粗短粗短桿桿不發生失穩，而發生屈服不發生失穩，而發生屈服 ( s)臨界應力與柔度之間的變化關系圖臨界應力與柔度之間的變化關系圖四、臨界應力總圖四、臨界應力總圖s 粗短桿粗短桿例例 15-2 硅鋼活塞桿硅鋼活塞桿, d = 40

12、mm, E = 210 GPa, p= 100, 求求Fcr解解：2 AIi 200 il p 22cr)(lEIF 大柔度桿大柔度桿446424ddd m 100 . 12 64)(422dlE kN 1 .65 由活塞桿的約束狀況，可近似看作一端自由、一端固定的壓桿。由活塞桿的約束狀況，可近似看作一端自由、一端固定的壓桿。ststcrFnFF 用載荷表示的穩定條件用載荷表示的穩定條件 用應力表示的穩定條件用應力表示的穩定條件nst穩定安全因數穩定安全因數Fst穩定許用壓力穩定許用壓力 ststcr nst穩定許用應力穩定許用應力計算計算Fcr與與cr時時, 不必考慮壓桿局部削弱的影響不必考

13、慮壓桿局部削弱的影響15-4 壓桿穩定條件與合理設計壓桿穩定條件與合理設計一、壓桿穩定條件一、壓桿穩定條件 st),(材料材料 折減系數折減系數或或穩定系數穩定系數 許用壓應力許用壓應力 壓桿穩定條件壓桿穩定條件 穩定許用應力穩定許用應力二、折減系數法二、折減系數法15-4 壓桿穩定條件與合理設計壓桿穩定條件與合理設計三、壓桿的合理設計三、壓桿的合理設計15-4 壓桿穩定條件與合理設計壓桿穩定條件與合理設計2cr2()EIFl材料材料(E)、截面形狀截面形狀(I)、約束約束()長度長度(l)一、減小壓桿長度一、減小壓桿長度 在條件允許的情況下，在條件允許的情況下，通過通過改變結構改變結構或或增

14、加中增加中間支承間支承對提高壓桿的穩定對提高壓桿的穩定性效果顯著。性效果顯著。二、選擇合理的截面形狀二、選擇合理的截面形狀 壓桿的合理截面形狀是指在一定截面面積下，盡可能得到壓桿的合理截面形狀是指在一定截面面積下，盡可能得到較大的慣性矩較大的慣性矩I，從而提高臨界力，從而提高臨界力。因此，因此，應盡量使材料遠離應盡量使材料遠離截面形心截面形心。 2cr2()EIFl15-4 壓桿穩定條件與合理設計壓桿穩定條件與合理設計2cr2()EIFl15-4 壓桿穩定條件與合理設計壓桿穩定條件與合理設計四、合理選用材料四、合理選用材料 臨界力與材料的彈性模量臨界力與材料的彈性模量E成正比。因此，選用鋼材成

15、正比。因此，選用鋼材料比銅、鋁或鑄鐵材料的臨界力要高。料比銅、鋁或鑄鐵材料的臨界力要高。但應注意但應注意，各種，各種鋼材的彈性模量鋼材的彈性模量E大致相等，故大致相等，故選用優質鋼材選用優質鋼材對于提高對于提高壓桿的臨界力壓桿的臨界力并沒有多大實際意義并沒有多大實際意義。 三、改善桿端支承情況三、改善桿端支承情況 桿端約束的剛性桿端約束的剛性越強越強，壓桿的長度因數，壓桿的長度因數就就越小越小，臨界力就臨界力就越大越大，從而能夠使壓桿的，從而能夠使壓桿的穩定性得到改善穩定性得到改善。例例 15-4 校核斜撐桿的穩定性校核斜撐桿的穩定性。F = 12 kN, 桿外經桿外經D = 45 mm, 桿內徑桿內徑d = 36 mm, nst = 2.5, 低碳鋼低碳鋼Q235制成制