1、矩形波導中電磁波截止波長的計算 摘要:本文從麥克斯韋方程組出發，從理論上推導了電磁場遵循的波動方程和時諧電磁波遵循的波動方程；根據邊值關系從理論上求出了時諧電磁波在矩形波導中的解，并對矩形波導管中傳播的電磁波波解進行了討論；計算了不同尺寸的矩形波導管的截止波長，截止波長大多屬于厘米量級，說明波導管只適用于傳播微波。關鍵詞:矩形波導 電磁波 截止波長1 緒言波導是一種用來約束或引導電磁波傳輸的裝置，矩形波導是指橫截面是矩形的波導，一般是中空的金屬管。也有其他形式的波導裝置，如介質棒或由導電材料和介質材料組成的混合構件1。因此，在廣義的定義下，波導不僅是指矩形中空金屬管，同時也包括其他波導形式如矩

2、形介質波導等，還包括雙導線、同軸線、帶狀線、微帶和鏡像線、單根表面波傳輸線等。根據波導橫截面的形狀不同還有其他形狀波導，如圓波導等。盡管已存在很多不同波導形式，且新的形式還不斷出現，但直到目前，在實際應用中矩形波導是一種最主要的波導形式。由于無線信號傳輸媒介，具有傳輸頻帶寬、傳輸損耗小、可靠性高、抗干擾能力強等特點，因此波導技術在電子技術領域運用非常廣泛，主要用于鐵氧體結環形器，窄壁縫隙天線陣2，速調管矩形波導窗，高精度矩形彎銅波導管加工研究【3】等器件設備的制造生產，以及在地鐵信號系統中的應用都很廣泛。為了加深對波導傳輸特性的理解，本文從麥克斯韋方程組出發，推導了電磁場遵循的波動方程和時諧電

3、磁波遵循的波動方程；根據邊值關系從理論上求出了時諧電磁波在矩形波導中的解，并對矩形波導管中傳播的電磁波波解進行了討論；計算了不同尺寸的矩形波導管的截止波長，發現其截止波長都在厘米量級，說明波導管只適用于傳播微波。2 電磁波基本原理2.1建立麥克斯韋方程組的歷史背景麥克斯韋首先從論述力線著手，初步建立起電與磁之間的基本關系。1855年，他發表了第一篇電磁學論文論法拉第的力線。在這篇論文中，用數學語言表述了法拉第的電緊張態和力線概念，引進感生電場概念，推導出了感生電場與變化磁場之間的關系。1862年他發表了第二篇論文論物理力線，不但進一步發展了法拉第的思想，擴充到磁場變化產生電場，而且得到了新的結

4、果：電場變化產生磁場。因此預言了電磁波的存在，并且證明了這種波的速度等于光速，揭示了光的電磁本質。1864年他的第三篇論文純磁場的動力學理論，這篇文章包括了麥克斯韋電磁理論研究的主要成果，麥克斯韋主要從幾個基本實驗事實出發，運用場論的觀點，引進了位移電流概念，按照電磁學的基本原理推導出全電流定理，最后建立起電磁場的基本方程。麥克斯韋在總結庫侖、高斯、歐姆、安培、畢奧薩伐爾、法拉第等前人的一系列發現和實驗成果的基礎上。結合自己提出的渦旋電場和位移電流的概念，建立了第一個完整的電磁理論體系。這個重要的研究結果以論文的形式發表在1865年的英國皇家學會的會報上。論文中列出了最初形式的方程組，由20個

5、等式和20個變量組成，其中包括麥克斯韋方程組的分量形式。2.2 麥克斯韋方程組2.2.1 渦旋電場假說、位移電流假說一個閉合回路固定在變化的磁場中，則穿過閉合回路的磁通量就要發生變化。根據法拉第電磁感應定律，閉合回路中要產生感應電動勢。因而在閉合回路中，必定存在一種非靜電性電場。麥克斯韋對這種情況的電磁感應現象作出如下假設：任何變化的磁場在它周圍空間里都要產生一種非靜電性的電場，叫做感生電場，感生電場的場強用符號E表示。感生電場與靜電場有相同處也有不同處。它們相同處就是對場中的電荷都施以力的作用。而不同處是4：(1)激發的原因不同，靜電場是由靜電荷激發的，而感生電場則是由變化磁場所激發：(2)

6、靜電場的電場線起源于正電荷，終止于負電荷，靜電場是勢場，而感生電場的電場線則是閉合的，其方向與變化磁場的關系滿足左旋法則，因此感生電場不是勢場而是渦旋場。正是由于渦旋電場的存在，才在閉合回路中產生感生電動勢，其大小等于把單位正電荷沿任意閉合回路移動一周時，感生電場所作的功表示為： (2.1)應當指出：法拉第建立的電磁感應定律，只適用于由導體構成的回路，而根據麥克斯韋關于感生電場的假設，電磁感應定律有更深刻的意義，即不管有無導體構成閉合回路，也不管回路是在真空中還是在介質中，式(2.1)都是適用的。如果有閉合的導體回路放人該感生電場中，感生電場就迫使導體中自由電荷作宏觀運動，從而顯示出感生電流；

7、如果導體回路不存在，只不過沒有感生電流而已，但感生電場還是存在的。從式(2.1)還可看出：感生電場E的環流一般不為零，所以感生電場是渦旋場。位移電流概念是麥克斯韋在建立電磁場理論過程巾提出的重要假設。它表明，磁碭不僅可以由電流產生，變化的電場也可以產生磁場。位移電流和有旋電場的概念從兩個方面深刻而完整地揭示了電場和磁場之間的內在聯系和相互依存，即電磁場是統一的不可分割的整體。傳導電流和位移電流都能產生磁場，兩種磁場都能對其中的電流或運動電荷施加磁力，兩種磁場的性質也相同，即都是有旋無源的。但是，兩種磁場也有區別，除了產生原因不同外，由于位移電流并不表示電荷在空間的運動，所以它與傳導電流不同，沒

8、有熱效應和化學效應，只有磁效應。空間的總磁場是傳導電流和位移電流產生的磁場之和，是無源有旋的矢量場，其磁力線閉合。位移電流假設的提出，消除了把安培環路定理從恒定情形推廣到變化情形時遇到的矛盾和困難，使麥克斯韋得以建立完備的電磁場方程組。麥克斯韋方程組關于電磁波等理論預言實驗的證實，不僅具有深刻的理論意義和巨大的應用價值，也證明了位移電流假設的正確性。2.2.2 麥克斯韋方程組的簡易推導(1)麥克斯韋方程組的積分形式5在電磁學中我們知道，一個電荷發出的電通量總是正比于，與附近有沒有其他電荷存在無關。由庫侖定律可以推出關于電通量的高斯定理： (2.2)因靜電場的電場線分布沒有旋渦狀結構，因而可推導

9、靜電場是無旋的。1831年法拉第發現當磁場發生變化時，附近閉合線圈中的感應電動勢與通過該線圈內部的磁通量變化率成正比，可表示為： (2.3)感應電動勢是電場強度沿閉合回路的線積分，因此電磁應定律可寫為： (2.4)若回路L是空間中的一條固定回路，則(2.4)式中對的全微分可代為偏微分： (2.5)下面研究電流和磁場的相互作用。實驗指出，一個電流元歷在磁場中所受的力可以表為： (2.6)恒定電流激發磁場的規律由畢奧一薩伐爾定律給出。設為源點上的電流密度，為由到場點的距離，則場點上的磁感應強度為： (2.7)試（2.7）中的為真空磁導率，積分遍及電流分布區域。細導線上恒定電流激發磁場的畢奧一薩伐爾

10、定律寫為： (2.8)根據安培環路定律，對于連續電流分布，在計算磁場沿回路的環量時，只需考慮通過以為邊界的曲面的電流，在以外流過的電流沒有貢獻。因此，環路定律表為： (2.9)上面研究了變化磁場激發電場，由麥克斯韋位移電流假設的結論變化電場激發磁場可推廣得： (2.10)由電磁學的知識，我們知道由電流激發的磁感應線總是閉和曲線，因此，磁感應強度雪是無源場，表示無源性的積分形式是雪對任何閉和曲面的總通量為零，即利用磁場高斯定理得： (2.11)由上得出麥克斯韋方程組的積分形式： (2.12)（2）麥克斯韋方程組的微分形式【7】由麥克斯韋方程組的積分形式和數學公式： (2.13)推導出微分形式如下

11、： (2.14)2.2.3 麥克斯韋方程組的意義麥克斯韋方程組最重要的特點是它揭示了電磁場的內部的作用和運動。不僅電荷和電流可以激發電磁場，而且變化的電場和磁場也可以相互激發。因此只要某處發生電磁擾動。由于電磁場相互激發，它就在空間中運動傳播，形成電磁波。麥克斯韋首先從這個方程組在理論上預言了電磁波的存在，并且指出光波就是一種電磁波【10】。麥氏方程組不僅揭示了電磁場的運動規律，更揭示了電磁場可以獨立于電荷之外而存在，這樣就加深了我們對電磁場物質性的認識。2.3 從麥克斯韋方程組出發推導電磁波的波動方程2.3.1 電磁波波動方程一般情況下，電磁波的基本方程是麥克斯韋方程組5: (2.15)現在

12、我們在研究在沒有電荷電流分布的自由空間或均勻的絕緣介質中的電磁場運動形式。在自由空間中，電磁和磁場互相激發，電磁場的運動規律是齊次得到麥克斯韋方程組: (2.16)先討論真空情形。在真空中， ，。取( 2.16 )第一式子的旋度并利用第二式得： (2.17)用矢量分析公式及 得 代入（2.17）式得電場的偏微分方程： (2.18)在方程組(2.16)式子中消去電場，可以得到磁場的偏微分方程: (2.19)令 (2.20)則和的方程可以寫為 (2.21) 形式如（2.21）的方程稱為波動方程2.4 時諧電磁波的波動方程在很多實際情況下，電磁波的激發源往往以大致確定的頻率作正弦振蕩，因而輻射出的電

13、磁波也以相同的頻率作正弦振蕩，這種以一定頻率作正弦振蕩的波稱為時諧電磁波【8】。下面就只討論一定頻率的電磁波，設角頻率為，電磁場對時間的依賴關系是,或用復數形式表示為 (2.22)我們研究時諧情形下的麥氏方程組，在一定頻率下對線性均勻介質有 ， 把（2.22）式子(2.16)式，得 (2.23)在的時諧電磁波情形下這組方程不是獨立的。由于，因而，取（2.23）第一式旋度并用第二式的 由 ，上式子變為 加上式子 得到時諧電磁波方程 (2.24) 3 矩形波導中的電磁波的求解圖3-1是矩形波導的結構示意圖，波導四壁由良導體構成，其截面長為，寬為。現在求矩形波導內的電磁波解，選擇一直角坐標系，取波導

14、內壁面為和，和 ； 圖 3-1 矩形波導結構z軸沿傳播方向，在一定頻率下，管內時諧電磁波遵循亥姆霍茲方程： (3.1)滿足條件的解 ，此解在管壁上還需要滿足邊界條件 及電場在管壁上的切向分量為0，由于電磁波沿軸方向傳播，它應有傳播因子，因此，我們把電場取為 (3.2)代入（3.1）式得 (3.3)用直角坐標分離變量，設 為電磁波的任一直角分量，它滿足方程（3.3）,設 則上式可分解為兩個方程： (3.4)解（3.4）式，得的特解 (3.5)是任意常數，具體表示的某特定分量時，考慮邊界 和 還可以得到對這些常數的一些限制條件。由和面上的邊界條件可得 (3.6)再考慮面上的邊界條件，得必須為的整數

15、倍，即 （） 和 分別代表沿矩形兩邊的半波數目。對解（3.6）式還必須加上條件，由此條件得 (3.7)因此，在中只有兩個是獨立的，對于每一組（）值，有兩種獨立波模。的解出后，磁場由式子 給出 (3.8)由（3.7）式，對一定的(m, n)如果選一種波模具有，則該波模的就完全確定，因而另一種波模必須有，由（3.8）式可看出，對的波模，。因此，在波導內傳播的波由如下特點：電場和磁場不能同時為橫波。通常選一種波模為的波，稱橫電波（）,另一種波模為稱橫電波（）.波和波又按（m, n）值的不同而分為和波，一般情形下，在波導中可以存在這些波的疊加。4 截止波長的推算4.1 截止波長公式的理論推導在（3.7

16、）式中，為介質內的波數，它由激發頻率確定；和由式確定，它們決定于管截面的幾何尺寸以及波模的（m ,n）數。若激發頻率降低到，則變為虛數，這時傳播因子變為衰減因子9。在這種情形下，電磁場不在是沿波導傳播的波，而是沿z軸方向振幅不斷衰減的電場振蕩。能夠在波導內傳播的波的最低頻率稱為該波模的截止頻率。由和 （） ()型的截止角頻率為 (4.1)由 ， ，得： (4.2)若，則波有最低截止頻率 (4.3)若管內為真空，此最低截止頻率為c/2a 相應的截止波長為 (4.4)4.2矩形波導管截止波長的數值計算上一節得到了電磁波在矩形波導中傳播的截止波長，為了加深對矩形波導管截止波長的理解，我們利用（4.2

17、）式實際計算了幾種不同幾何尺寸的矩形波導管的較低階模式的截止波長，計算結果如表（4.1）、（4.2）、（4.3）所示。 表（4.1） mn（cm） 1 1 3.3 1 0 4.0 0 1 6.0 表（4.2） mn（cm） 1 1 3.6 1 0 4.0 0 1 8.0 表（4.2） mn（cm） 1 1 5.1 1 0 6.0 0 1 10.0 表（4.1）是 橫截面尺寸為的矩形波導管的三種模式的截止波長，從表中可看出隨模序數的增加，截止波長減小，能夠在該波導管中傳輸的最長波長是模，其截止波長為；表（4.2）是 橫截面尺寸為的矩形波導管的三種模式的截止波長，從表中可看出隨模序數的增加，截止波

18、長減小，能夠在該波導管中傳輸的最長波長是模，其截止波長為；表（4.3）是 橫截面尺寸為的矩形波導管的三種模式的截止波長，從表中可看出隨模序數的增加，截止波長也減小，能夠在該波導管中傳輸的最長波長是模，其截止波長為。 5 結論通過對在矩形波導中傳播的電磁波的求解，可以知道電磁波在矩形波導中傳播存在一個截止波長，并且波長較短，大都屬于厘米量級波微波，也就是存在一個截止頻率，所以波導管相當于一個高通濾波器，頻率比截止頻率低的電磁波不能在波導管中傳輸，只有頻率比截止頻率高的電磁波才能在波導管中傳輸。 參考文獻：1劉覺平. 電動力學M. 北京:高等教育出版社, 2004: 259 - 260.2史三銀電

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