1、誤差理論與數據處理期末總復習一、 試題類型及其考試形式和時間：1、 題型：（1）填空題20%；（2）是非題10%；（3）選擇題20%；（4）問答題22%；（5）應用題28%。2、 考試形式：期末考試為閉卷筆試。3、 考試時間：期末考試時間為120分鐘。二、 課程總復習第一章、緒論 1）誤差的定義及其表示法。 (1) 絕對誤差： 絕對誤差=測得值-真值；(2) 相對誤差： 相對誤差=絕對誤差/真值絕對誤差/測得值；(3) 引用誤差： 引用誤差=示值誤差/測量范圍上限；2）誤差的基本概念。 所謂誤差就是測得值與被測量的真值之間的差。 誤差=測得值-真值3）誤差的來源。(1) 測量裝置誤差；(2)

2、環境誤差；(3) 方法誤差；(4)人員誤差；(5)被測量對象變化誤差；4）誤差分類：(1) 系統誤差：在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，按某一確定規律變化的誤差。 (2) 隨機誤差：在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預定方式變化的誤差。(3) 粗大誤差：指明顯超出統計規律預期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過失誤差或簡稱粗差。 5）測量的精度。 準確度：表征測量結果接近真值的程度。系統誤差大小的反映 精密度：反映測量結果的分散程度（針對重復測量而言）。表示隨機誤差的大小 精確度：表征測量結果與真值之間的一致程度。系統誤差和隨機誤差

3、的綜合反映 6)有效數字1若舍去部分的數值大于保留末位的0.5，則末位加1，（大于5進）； 2若舍去部分的數值小于保留末位的0.5，則末位不變，（小于5舍）； 3若舍去部分的數值恰等于保留末位的0.5，此時:若末位是偶數；則末位不變，若末位是奇數，則末位加1，（等于5奇進偶不進）。 第二章、誤差的基本性質與處理 1 隨機誤差設被測量的真值為,一系列測得值為,則測量列中的隨機誤差為,式中，i=1,2,n算術平均值：，及算術平均值計算的校核；1） 測量的標準差測量的標準偏差簡稱為標準差，也可稱之為方均根誤差（1） 測量列中單次測量的標準差：，（Bessel公式）。計算標準差還有別捷爾斯法、極差法及

4、最大誤差法等。（2） 測量列算術平均值的標準差：2) 測量的極限誤差極限誤差是指極端誤差，是誤差不應超過的界限，此時對被測量的測量結果（單次測量或測量列的算術平均值）的誤差，不超過極端誤差的置信概率為p，并使差值1pa可以忽略。此極端誤差稱為測量的極限誤差，并以表示。(1) 單次測量的極限誤差：(2) 算術平均值的極限誤差：3） 不等精度測量(1) 權的定義：當與另一些測量結果比較時，對該測量結果所給予的信賴程序。記為p.(2) 確定方法： 按測量的次數來確定權。即測量條件和測量水平皆相同，則重復測量次數愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測量的次數來 確定權的大小。即 按其相應的標準差確定。

5、假定同一個被測量有m組不等精度的測量結果，于是每組測量結果的權與其相應的標準差平方成反比。(3) 加權算術平均值：(4) 加權算術平均值的標準差： 已知單位權測得值的標準差：； 標準差未知：2系統誤差要點：介紹適用于發現某些系統誤差常用的幾種方法：（1）實驗對比法；（2）殘余誤差觀察法；（3）殘余誤差校核法；（4）不同公式計算標準差比較法；（5）計算數據比較法；（6）秩和檢驗法；（7）t檢驗法；不變系統誤差消除法：（1）代替法；（2）抵消法；（3）交換法；3 粗大誤差要點：判別粗大誤差的準則(1)萊以特準則；（2）羅曼諾夫斯基準則；（3）格羅布斯準則；（4）狄克松準則；4 測量結果的數據處理實

6、例：假定該測量列不存在固定的系統誤差，則可按下列步驟求測量結果。1求算術平均值2求殘余誤差3校核算術平均值及其殘余誤差4判斷系統誤差5. 求測量列單次測量的標準差6. 判別粗大誤差7. 求算術平均值的標準差8. 求算術平均值的極限誤差9. 寫出最后的測量結果 第三章、誤差的合成與分配 第二章所討論的主要是直接測量的誤差計算。但在有些情況下，由于被測對象的特點，不能進行直接測量，或者測量難以保證測量精度，需要采用間接測量。 間接測量是通過直接測量與被測的量之間有一定函數關系的其他量，按照已知的函數關系式計算出被測的量。因此間接測量的量是直接測量所得到的各個測量值的函數，而間接測量誤差則是各個直接

7、測得值誤差的函數，故稱這種誤差為函數誤差。研究函數誤差的內容，實質上就是研究誤差的傳遞問題，而對于這種具有確定關系的誤差汁算，也有稱之為誤差合成。1) 函數系統誤差計算在間接測量中，函數的形式主要為初等函數，且一般為多元函數，其表達式為式中，為各個直接測量值，y為間接測量值。函數系統誤差公:, 為各個直接測量值的誤差傳遞系數。2)函數隨機誤差計算隨機誤差是用表征其取值分散程度的標準差來評定的，對于函數的隨機誤差，也是用函數的標準差來進行評定。因此，函數隨機誤差計算，就是研究函數y的標準差與各測量值x1,x2,xn的標準差之間的關系。函數的一般形式為：，則函數標準差為：第四章 測量的不確定度。

8、測量不確定度是指測量結果變化的不肯定，是表征被測量的真值在某個量值范圍的一個估計，是測量結果含有一個參數，用以表示被測量值的分散性。 1）A類評定：指用對樣本觀測值的統計分析進行不確定度評定的方法。 2）B類評定：指用不同于統計分析的其他方法進行不確定度評定的方法。 3）自由度：由于不確定度是用標準差來表征，因此，不確定度的評定質量就取決于標準差的可信賴程度。而標準差的信賴程度與自由度密切相關，自由度愈大，標準差愈可信賴。所以，自由度的大小就直接反映了不確定度的評定質量 4）合成標準不確定度：當測量結果受多個因素影響而形成若干個不確定度分量時，測量結果的標準不確定度通過該多個標準不確定度分量合

9、成得到的。 5）展伸不確定度：給出一個測量結果的區間，使被測量的值大部分位于其中，為此需用展伸不確定度(也有稱為擴展不確定度)表示測量結果。展伸不確定度由合成標準不確定度，乘以包含因子k得到，記為U，即；自由度：第六章、線性參數的最小二乘法處理 最小二乘法大原理： 設誤差方程：，則當為等精度測量時，殘余誤差平方和最小這一條件的矩陣形式為： 得其解： 其精度估計：（等精度測量）第六章、回歸分析 1）一元線性回歸方程設一元線性回歸的經驗的回歸方程為：解得：其中：，見課本P123。2） 回歸方程的方差分析及顯著性檢驗三、 習題集(一） 填空題：01測量的目的是確定 被測量 的值或獲取 測量 結果；0

10、2量可以做定性區別和定量確定，那么定性區別是指量在 特性 上的差別，如：幾何量 、電學量。它們之間是不能相互比較的。定量確定是指 具體 的量，也稱為特定量。如 某種桿的長度、 某件衣服的大?。ㄅe例可隨意，但要力爭準確）。03測量儀器一般有以下一些計量性能會導致產生不確定度如：（1）響應特性 （2）靈敏度 （3）鑒別力 （4）分辨力 （5）死區 （6）穩定性 （7）漂移 （8）準確度等級（9）最大允許誤差 （10）偏差 （11）重要性 （12）引用誤差04測量不確定度表示與指南縮寫為GUM，它是由 7個國際組織的名義正式由 ISO 出版發行。05CIPM代表 國際計量委員會 組織。BIPM代表國

11、際計量局組織。06在實際測量中通常以被測量的實際值、已修正的算術平均值、計量標準所復現的量值 作為約定真值。07測量結果的重復性條件包括：相同的測量程序、相同的觀測者 、在相同的條件下使用相同的測量儀器、相同的地點、在短時間內重復測量。08數學模型可用已知的物理公式求得，也可用實驗的方法確定。09不確定度傳播律中的偏導數稱為靈敏系數或傳播系數。10觀察測量次數n應充分多才能使A類不確定度的評定可靠，一般認為n應 5 。11包含因子的定義是為獲得擴展 不確定度，而對合成標準不確定度所乘的數字因子。12測量結果的質量（品質）往往會直接影響 國家 和企業 的經濟利益。13ISO代表 國際標準化 組織

12、，OIML代表 國際法制計量 組織。14國際單位制的通用符號是 SI ，目前國際單位制基于7個基本單位。它們分別是 長度/米/m；質量/千克/kg； 時間/秒/s； 電流/安培/A； 熱力學溫度/開爾文/K； 物質的量/摩爾/mol； 發光強度/坎德拉/cd。15測量方法可按不同方式分類，如 替代法 和 微差法 及 零位法。16在規范測量中，所謂規范測量是指明確規定了程序、條件的測量，例如按測量儀器 檢定規程 進行的檢定，按給定 技術規范 對樣品的某參數進行測量。17測量結果的質量是 科學實驗 ，成敗的重量因素之一，也會影響到人身的 健康 和 安全 。18測量不確定度可以由人們根據實驗 資料

13、、 經驗 、等信息進行評定，從而可以定量確定。其評定方法有 A 、 B 兩類。19尋找不確定度來源時，可從 測量儀器 、 測量環境 、 測量人員 、 測量方法 、 被測量 等方面全面考慮，應做到不 遺漏 、不 重復 、特別應考慮對結果 影響大 的不確定度的來源。遺漏會使被測量Y的估計值y的不確定度 過小 ，重復會使y的不確定度 過大 。20測量結果和測量結果得出的結論可以成為 執法 和 決策 的重要依據。21完整的測量結果是含有兩個基本量，一是 被測量中的最佳估計值Y ，一般由 數據測量列的算術平均值 給出，另一個就是 描述該測量結果分散性 的量，一般由 測量不確定度 給出。（二） 、問答題：

14、1 測量不確定度的評定是否可以稱為誤差分析？答：誤差分析這一術語在其他國家和我國計量學界長期以來用作為測量結果可靠程度分析用語。由于過去沒有統一采用不確定度這一術語定量表述測量結果的可疑程度，習慣上把“誤差”作為“誤差限”、“可能誤差”的概念來使用的情況很多。現在情況不同了，如果所分析的結果并非誤差而是不確定度，很明顯，應稱之為不確定度分析或不確定度評定，以免造成混淆。2 何謂測量模型或數學模型的含義？答：在實際測量的很多情況下，被測量Y（輸出量）不能直接測得，而是由N個其它量X1，X2，XN（輸入量）通過函數關系f來確定Y=f（X1，X2，XN）上式表示的這種函數，就稱為測量模型或數學模型，

15、或稱為測量過程數學模型。測量不確定度通常由測量過程的數學模型和不確定度的傳播律來評定。由于數學模型可能不完善，所有有關的量應充分地反映其實際情況的變化，以便可以根據盡可能的觀測數據來評定不確定度。在可能情況下，應采用按長期積累的數據建立起來的經驗模型。核查標準和控制圖可以表明測量過程是否處于統計控制狀態之中，有助于數學模型的建立和測量不確定度的評定。數學模型不是唯一的，如果采用不同的測量方法和不同的測量程序，就可能有不同的數學模型。3 在給出測量結果時應注意哪兩點？答：因為測量結果是由測量所得到的賦予被測量的值，所以應該注意以下兩點：（） 在給出測量結果時，應該說明它是示值，未修正測量結果或已

16、修正測量結果，還應表明它是否為幾個值的平均。（） 在測量結果的完整表述中應包括測量不確定度，必要時還應說明有關影響量的取值范圍。4 什么叫標準不確定度？什么叫擴展不確定度？他們分別用什么符號來表示答：不確定度可以是標準差或其倍數，或是說明了置信水準區間的半寬。以標準差表示的不確定度稱為標準不確定度，以u表示。標準差的倍數表示的不確定度稱為擴展不確定度，以U表示。5 什么是被測量之值的估計，最佳估計？答：一切測量結果都是被測量的一個近似值，因而稱之為被測量之值估計或估計值。最佳估計是最好的一個近似值。因此，如果是重復性條件下的多次測量，則應是它們的算術平均值；如果是復現性一條件下的多次測量，則應

17、是它們的加權平均值；當修正不為零時，還都必須是修正后的測量結果。估計一詞也用于不確定度評定的其他量，例如：重復性條件下通過有限次數重復測量結果按統計方法得到的實驗標準偏差s就是總體標準偏差的一個估計，算術平均是該分布期望值的估計。6 在測量過程中引起不確定度的來源有哪幾方面？答：測量不確定度的來源可能來自以下10個方面： 對被測量的定義不完整或不完善； 實現被測量定義的方法不理想； 取樣的代表性不夠，即被測量的樣本不能完全代表所定義的被測量； 對測量過程受環境影響的認識不周全，或對環境條件測量控制不完善。 對模擬式儀器的讀數存在人為偏差（偏移） 測量儀器計量性能上的局限性。 賦予計量標準值和標

18、準物質的值不準確。 引用的數據或其他參考的不確定度。 與測量方法和測量程序有關近似性和假定性。 代表面上看來完全相同的條件下，被測量值的變化。7 什么叫標準不確定度的B類評定？答：測量不確定度的評定方法主要分成兩大類：一類是用統計方法進行評定的稱之為A類評定，而其他的非統計方法統稱為B類評定。也就是說，當被測量X的估計值xi不是由重復觀測得到，其標準不確定度u(xi)可用xi的可能變化的有關信息或資料來評定。 一般的B類評定的信息來源有以下6項： 以前的觀測數據； 對有關技術資料和測量儀器特性的了解和經驗； 生產部門提供的技術說明文件； 校準證書、檢定證書或其他文件提供的數據，準確度的等別或級

19、別，包括目前暫在使用的極限誤差等； 手冊或某些資料給出的參考數據及其不確定度；規定實驗方法的國家標準或類似技術文件中給出的重要性限r或復現性限R。8 不確定度的A類評定中要求重復觀測值相互獨立，是否就是指不相關？答：在不確定度的A類評定中，指出“重復性條件下所得的測量列的不確定度”和“這一測量程序中的重復觀測值，應相互獨立”。這里：一是指明了“重復性條件”這一條件，二是觀測值應相互獨立。很明顯，所謂重復性條件是包括測量人員、使用的測量儀器和參考測量標準在內都不變的條件。在這一條件下，測量結果之間必定存在較大的相關性。現在的問題是：相關必定是指不同輸入量估計值間出現的彼此不獨立，而不是指一個被測

20、量（也可是輸入量）的多次重復觀測值。多次重復觀測值可以彼此獨立，但不存在協方差及其所導致的相關系數。因此，要求重復觀測值相互獨立并非指不相關。必須注意，在標準不確定度合成中所指的相關，是不同輸入量的估計之間的相關不是一個量的不同測量結果之間的相關。9 合成標準不確定度uc(y)定義如何理解？答：合成標準不確定度無例外地只用標準差給出，其符號必定有小寫正體c作為下角標，如給出的為相對標準不確定度，另加正體小寫下角標rel成為；ucrel。按導則定義為：當測量結果是由若干個其他量的值求得時，按其他各量的方差和協方差得的標準不確定度。如各量彼此獨立，則協方差為零。如協方差不為零（相關情況下），則必須加進去。注意，不是“按其他各量的方差或協方差算得的標準不確定度”。從上述定義，可以理解為：當測時結果的標準不確定度由若干標準不確定度分量構成時，按方差根（必要時加協方差）得到的標準不確定度。當某個量的不確定度只以一個分量為主，其他分量可忽略不計的情況下，就無所謂合成標準不確定度了。10為什么不能用隨機不確定度和系統不確定度這樣的