1、會計(jì)學(xué)1人教高二數(shù)學(xué)選修回歸分析人教高二數(shù)學(xué)選修回歸分析2021-7-27鄭平正 制作鄭平正 制作3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（三）高二數(shù)學(xué) 選修2-3 第三章 統(tǒng)計(jì)案例第1頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作4.用回歸直用回歸直線方程解線方程解決應(yīng)用問決應(yīng)用問題題果之間的關(guān)系果之間的關(guān)系8.了解殘差圖的作了解殘差圖的作用用9.利用線性回歸模利用線性回歸模型解決一類非線型解決一類非線性回歸問題性回歸問題10.正確理解分析方正確理解分析方法與結(jié)果法與結(jié)果第2頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作復(fù)習(xí)回顧1、線性回歸模型：y=bx+a+e， (3)其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱

2、為隨機(jī)誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 2.2、數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱 為殘差。)iiyy(iiieyy=3、對每名女大學(xué)生計(jì)算這個差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號表示為： 稱為殘差平方和，它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。21()niiiyy第3頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作4、兩個指標(biāo)：（1）類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用作 為 的估計(jì)量， 越小，預(yù)報(bào)精度越高。22111( , )(2)22nieQ a b nnn22（2）我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其 計(jì)算公式是：222112211()()

3、1()()nniiiiinniiiiyyyyRyyyy 第4頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。 在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。5、殘差分析與殘差圖的定義： 然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。12,ne ee編號編號12345678身高身高/cm165165157170175165155170體重體重/kg4857505464614359殘差殘差-6.3732.6272.419-4.6

4、181.1376.627-2.8830.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。第5頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作殘差圖的制作及作用1、坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；2、若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；3、對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn) 錯誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾點(diǎn)說明： 第一個樣本點(diǎn)和第6個樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采

5、集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。第6頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作例1 在一段時間內(nèi)，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格價格x1416182022需求量需求量Y1210753解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.1.yx 回歸直線方程為：51522155iiiiix yxybxx2

6、6205 18 7.41.15.16605 18 第7頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作例1 在一段時間內(nèi)，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格價格x1416182022需求量需求量Y1210753列出殘差表為521()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521()1()iiiiiyyRyy 0.994因而，擬合效果較好。iiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4第8頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作例2 關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)： 有如下的兩個線性模型：（1） ；

7、（2） 試比較哪一個擬合效果更好。x24568y30406050706.517.5yx717.yx第9頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作6、注意回歸模型的適用范圍：（1）回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。樣本數(shù)據(jù)來自哪個總體的，預(yù)報(bào)時也僅適用于這個總體。（2）模型的時效性。利用不同時間段的樣本數(shù)據(jù)建立的模型，只有用來對那段時間范圍的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)。（3）建立模型時自變量的取值范圍決定了預(yù)報(bào)時模型的適用范圍，通常不能超出太多。（4）在回歸模型中，因變量的值不能由自變量的值完全確定。正如前面已經(jīng)指出的，某個女大學(xué)生的身高為172cm，我們不能利用所建立的模型預(yù)測她的體重，只能給出身高為

8、172cm的女大學(xué)生的平均體重的預(yù)測值。第10頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作7、一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預(yù)報(bào)變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。第11頁/共26頁2021-

9、7-27鄭平正 制作案例2 一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)。現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測溫度為28oC時產(chǎn)卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？ 溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325第12頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作選變量 解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù) 為預(yù)報(bào)變量y。畫散點(diǎn)圖假設(shè)線性回歸方程為 ：=bx+a選 模 型分析和預(yù)測當(dāng)x=28時，y =19.8728-463.73 93估計(jì)參數(shù)由計(jì)算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73 相關(guān)指數(shù)

10、R2=r20.8642=0.7464所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。探索新知050100150200250300350036912151821242730333639方案1當(dāng)x=28時，y =19.8728-463.73 93一元線性模型第13頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作奇怪？9366 ?模型不好？第14頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作 y=bx2+a 變換 y=bt+a非線性關(guān)系 線性關(guān)系方案2問題選用y=bx2+a ，還是y=bx2+cx+a ？問題3-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040 產(chǎn)卵數(shù)

11、氣溫問題2如何求a、b ？合作探究 t=x2二次函數(shù)模型第15頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.54，相關(guān)指數(shù)R2=r20.8962=0.802將t=x2代入線性回歸方程得： y=0.367x2 -202.54當(dāng)x=28時，y=0.367282-2

12、02.5485，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。產(chǎn)卵數(shù)y/個0501001502002503003500150300450600750900 1050 1200 1350t第16頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作問題 變換 y=bx+a非線性關(guān)系 線性關(guān)系2110c xyc問題如何選取指數(shù)函數(shù)的底?-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540產(chǎn)卵數(shù)氣溫指數(shù)函數(shù)模型方案3合作探究對數(shù)第17頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作方案3解答溫度xoC21232527293235z=lgy0

13、 . 851 . 041 . 321 . 381 . 822 . 062 . 51產(chǎn)卵數(shù)y/個71121246611532500.40.81.21.622.42.8036912 15 18 21 24 27 30 33 36 39xz當(dāng)x=28oC 時，y 44 ，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化由計(jì)算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程為z=0.118x-1.665 ，相關(guān)指數(shù)R2=r20.99252=0.9850.118x-1.665 10y 對數(shù)變換：在 中兩邊取常用對數(shù)得令 ，則 就轉(zhuǎn)換為z=bx+a22111221lglg( 10)lglg10lglg10lgc xc xyc

14、ccc xc xc2110c xyc12lg ,lg,zy ac bc2110c xyc第18頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作最好的模型是哪個?-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040 產(chǎn)卵數(shù)氣溫-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540產(chǎn)卵數(shù)氣溫線性模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型第19頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作比一比函數(shù)模型函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R2線性回歸模型線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型二次函數(shù)模型0.802指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型0.985最好的模型是

15、哪個?第20頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作用身高預(yù)報(bào)體重時，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時間性；3、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值。 事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值。這些問題也使用于其他問題。涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想：模型適用的總體；模型的時間性；樣本的取值范圍對模型的影響；模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。小結(jié)第21頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作第22頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作第23頁/共26頁2021-7-27鄭平正 制作練習(xí) 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用 y（萬元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料。使用年限使用年限x 23456維修費(fèi)用維修費(fèi)用y 2.23.85.56.57.0若由資料知,y對x呈線性相關(guān)關(guān)系。試求：（1）線性回歸方程 的