1、北京郵電大學通信原理筆記第一章緒論1.1信息、消息、信號信息是要表示和傳送的對象（內容），例如：“2001年7月13日北京申奧成功”即為一條信息。信息由消息表示，消息是表示信息的媒體，象語言、文字、圖象、符號、聲音等。同一條信息可以用不同的消息表示。例如前面用中文表示的申奧信息也可由英文、法文、俄文、德文、日文等其他文字表示，也可用不同語言等其他方式表示，這說明信息和消息有密切的關系，但它們并不等同。消息可分為連續消息和離散消息兩大類。離散消息的可能取值是離散的、可數的，例如文字、符號等都是離散消息。連續消息的可能取值是連續的、不可數的，例如語音、音樂、活動圖象等都是連續消息。取兩種值的離散消

2、息稱為二元消息或二進制消息（例如取1，0或1，1）；取值數大于二的稱為多元消息或多進制消息。信號是與消息對應的某種物理量，通常它是時間的函數，例如隨著時間變化的電壓（電流），隨時間變化的電磁波等都是信號，這種信號統稱為電信號。利用電信號傳送信息的通信稱為電通信，簡稱電信。隨時間變化的光（激光）稱為光信號，利用光信號傳輸信息的系統稱為光通信系統。信號常常由消息變換而來。傳輸離散消息的通信系統通常稱為數字通信系統；傳輸連續消息的通信系統稱為模擬通信系統。由于數字通信系統具有模擬系統不具有的許多優點，所以得到了迅速的發展和應用。數字通信的特點可歸納為：1 抗干擾能力強，可消除噪聲積累；可消除噪聲積累

3、；2 差錯可控，傳輸性能好；3 便于與各種數字終端接口，用現代計算技術對信號進行處理、加工、變換、存儲，形成智能網；4 便于集成化，從而使通信設備微型化；5 便于加密處理，且保密強度高。事物總是一分為二的，一般來說，數字通信的許多優點都是用比模擬通信占據更寬的系統頻帶為代價而換取的。以電話為例，一路模擬電話通常只占據4KHz寬帶，但一路接近同樣話音質量的數字電話可能要占據2060KHz的寬帶，因此數字通信的頻帶利用率不高。數字通信的另一個缺點是對同步要求高，系統設備比較復雜。1.2模擬通信系統與數字能信系統圖11模擬通信統模型圖12數字通信統模型1.3離散消息的信息量離散消息的各種可能取值稱作

4、其元素，簡稱元，在通信技術中常稱其為符號或碼元。由消息的元素組成的集合稱為消息集，例如：由26個英文字母abcd.xyz組成的集合就是一個26元的（或26進制的）消息集。信息通常由消息集的元素構成的序列表示，例如由26個英文字母組成的詞或句子就是這種表示信息的序列。序列中每一個元素所表示的平均信息量與消息集的進制和各元素在序列中的出現概率有關。設由M個符號x1,x2,x3xixM構成的M元消息集的無素xi在序列中出現的概率為：p(xi)i=1、2、.M，且各符號在序列中出現相互獨立，則每一個符號平均信息量等于：由于H同熱力學中的熵形式一樣，故通常又稱它為消息集的符號熵，單位為bit/符號。可以

5、證明，當消息集的各個元素（符號）在消息序列中等概獨立出現時，其符號熵最大，等于：bit/符號（13）當二元消息集的元素在消息中等概率獨立出現時，其符號熵最大，等于：H2=1bit/符號這個信息量就定為離散消息信息量的單位，稱為bit。例如：某消息集的符號熵等于3 bit/符號，則其每一個符號所表示的平均信息量為3 bit，換句話說，如果用二進制符號表示此消息集的符號，則平均須用3個二進制符號。1.4通信系統的主要性能指標通信系統的最主要的性能指標是其有效性和可靠性。有效性是指在給定信道內傳輸的信息量的多少，可靠性是指接收信息的準確程度。這兩者是相互有聯系又有矛盾的，且可以互換。模擬通信系統的有

6、效性通常用單位帶寬內傳送的電話路數或電視路數表示，而可靠性是用接受端的輸出信噪比來度量。數字通信系統的有效性的主要性能指標是傳輸速率、頻帶利用率。可靠性主要是差錯率。1傳輸速率1） 碼元傳輸速率（Rg）碼元傳輸速率簡稱傳碼率，也稱碼元速率或符號速率。它被定義為單位時間（s1）內傳輸碼元的數目，單位為波特，記為Baud或B。碼元速率與所傳的碼元進制無關，即碼元可以是多進制的也可以是二進制的。通常一個M進制的碼元可以用log2M個二進制碼元表示。碼元速率雙叫做調制速率。它表示信號調制過程中，1秒中內調制信號波形的變換次數。如果一個單位調制信號波形的時間長度為T秒，則調制速率為（14）2）信息傳輸速

7、率（Rb）信息傳輸速率簡稱傳信率，又稱信息速率。它被定義為單位時間（s1）內傳遞的信息量（bit數），單位是比特/秒，也記為bit/s或bps。2頻帶利用率頻帶利用率可以有兩種表示方法，一種是單位帶寬中的傳碼率，即： B/,Hz(15)或單位帶寬內的傳信率，即：bit/s，Hz(16)其中：f為系統帶寬。嚴格講，第二種表示方法更為確切地反映了系統的頻帶利用率。3可靠性指標數字通信系統的可靠性指標是差錯率，常用誤碼率和誤信率表示。誤碼率（也稱誤符號率）為接收碼元錯誤的概率，可表示為：（17）誤信率（也稱誤比特率）是信息比特錯誤的概率，可表示為：（18）顯然，對于二進制有：Pb=Pe對于多進制，我

8、們以八進制為例說明：八進制符號x0,x1,x7與二進制符號1，0的編碼關系如圖所示：X0000X1001X2010X3011X4100X5101X6110X7111假設傳送了1000個八進制符號，接受端錯判了10個符號，則誤碼率約為1%。傳送的1000個八進制符號等價于3000個二進制符號，錯誤的10個八進制符號引起的二進制符號的錯誤數目小于30。因為由上圖可見，由X0錯到X1或X2 或X4 只引起一個二進制符號的錯誤，由X0 錯到X3或X5 或X6 引起兩個二進制符號的錯誤，而由X0錯到X7 才引起三個二進制符號的錯誤。由此可見，對于多進制通信系統，誤信率（誤比特率）小于誤碼率。第二章隨機過

9、程2.1隨機過程的基本概念2.1.1定義隨機過程是隨時間變化的隨機變量，它的實現（樣本函數）是時間函數。無窮多個樣本函數（實現）的集合構成一個隨機過程。我們用大寫字母X（t）,Y（t）,Z（t）,等表示隨機過程；用小寫字母x(t),y(t),z(t)等表示對應的隨機過程的實現（樣本函數）。在確定的時刻t1，隨機過程X(t1),是一個隨機變量在時刻t1,t2,X(t1),X(t2)構成一個二維的隨機向量；在時刻t1,t2,t3,tn,X(t1),X(t2),X(t3),X(tn)，構成一個n維的隨機向量。2.1.2分布函數和概率密度隨機過程X(t)在任意一個時刻t1的取值是隨機變量X(t1)，則

10、隨機變量X(t1)小于或等于某一數值x1的概率：（21）稱作隨機過程X(t)餓一維分布函數。如果存在（22）則稱f1(x1,t1)為X(t)的一維概率密度。顯然，隨機過程的一維分布函數和一維概率密度僅僅描述隨機過程在各個孤立時刻的統計特性，而沒有反映隨機過程在各個時刻取值之間的內在聯系，通常還需要在足夠多的時刻上考慮隨機過程的多維分布函數。X(t)的n維分布函數被定義為（23）如果存在（24）則稱其為X(t)的n維概率密度函數。顯然，n越大，對隨機過程統計特性的描述就越充分。2.1.3隨機過程的數字特征在實際工作中，有時不需要了解隨機過程的分布函數和概率密度，只需知道隨機過程的某些數字特征，如

11、均值、方差及相關函數等即可滿足需要。下面介紹幾種主要的數字特征：（1）均值（數學期望或統計平均）：（25）并記為EX（t）=a(t)。均值表示隨機過程的擺動中心。（2）方差：（26）DX（t）常記為2（t）。可見方差等于均方值與數學期望平方之差。它表示隨機過程在某時刻對于其均值的偏離程度。當均值a(t)=0時，方差為2（t）=EX（t）2（27）均值和方差是刻畫隨機過程在各個孤立時刻統計特性的重要數字特征，為了描述隨機過程在兩個不同時刻狀態之間的聯系，還需利用二維概率密度引入新的數字特征。（3）相關函數：在衡量隨機過程任意兩個時刻上獲得的隨機變量之間的關聯程度時，常用自協方差函數B（t 1，t

12、2）和自相關函數R（t 1，t2）來表示。其定義分別為：（28）（29）X（t）與Y(t)的互相關函數定義為：（210）2.2平穩隨機過程2.2.1狹義平穩隨機過程狹義平穩隨機過程，又稱嚴平穩妥過程。其n維分布函數和n維概率密度與時間起點無關。平隱隨機過程的統計特性將不隨時間的推移而不同。例如，其一維概率密度與時間無關（211）而二維概率密度函數只與時間間隔有關其中：（212）2.2.2廣義平穩隨機過程廣義平衡隨機過程，又稱寬平穩隨機過程。其定義為：若隨機過程的數學期望和方差與時間無關，而相關函數僅與時間間隔有關，即（213）則稱其為廣義平穩隨機過程。在通信系統中所遇到的信號及噪聲的大多數均可

13、視為廣義平穩隨機過程。后面的分析中如果不加特殊說明，平穩隨機過程均指廣義平穩隨機過程。可以證明，狹義平穩隨機過程一定是廣義平穩隨機過程；廣義平穩隨機過程不一定是狹義平穩隨機過程。2.2.3廣義平穩隨機過程的性質1 各態歷經性（遍歷性）設x（t）是平穩隨機過程X（t）的任意一個實現（樣函數），若X（t）的數字特征（統計平均）可由X（t）的時間平均代替，即（214）則稱平穩過程X(t)具有各態歷經性，簡稱遍歷性。注意，只有平穩隨機過程才具有遍歷性，在能信系統中所遇到的隨機信號和器聲，一般均能滿足遍歷條件。2自相關函數的性質設X(t)為平穩隨機過程，則其自相關函數具有如下性質：(1)R(0)=EX2

14、(t)=S(X(t)的平均功率) （215）(2)R（）=（）（R()是偶函數）（216）(3)R()R(0)（R()的上界）（217）(4)R()=E2X(t)（X(t)的直流功率）（218）(5)R(0)R()=2（方差，X(t)的交流功率）（219）3功率譜密度平穩隨機過程的功率譜密度表示其單位帶寬中平均功率在不同頻率上的分布情況。可以證明：平穩隨機過程的功率譜密度Px()與其自相關函數Rx()是一對傅立葉變換，即由前可知，是隨機過程的總平均功率S。由此可以看出PX（）的物理含義，即單位帶寬中的平均功率。關系式（220）和（221）在平穩隨機過程的理論和應用中是一個非常重要的工具。它是聯

15、系頻域和時域兩種分析方法的基本關系式。2.2.4白噪聲1定義：白噪聲是帶寬非常大的噪聲的數學模型。其定義為：均值為0的平穩隨機過程，其功率譜密度在整個頻段為一常數。通常用n(t)表示白噪聲，其功率譜密度為：（223）相據關系式（221）可以得到白噪聲的自相關函數為：（224）2白噪聲的某些特性令：可以證明，是高斯隨機變量，其均值（數學期望）及方差可由以下方法求得：令的數學期望為a則：(226)2.3高斯隨機過程1定義任意n維分布都服從正態分布的隨機過程稱為高斯過程。2重要性質（1） 若高斯過程是廣義平衡的，則也是狹義平穩的；（2） 若高斯過程中的隨機變量之間互不相關，則它們也是統計獨立的；（3

16、） 若干個高斯過程之和的過程仍是高期型；（4） 高斯過程經過線性過線變換（或線性系統）后的過程仍是高斯型。3一維概率密度和分布函數1） 概率密度函數高斯過程在給定任一時刻上，則是一高期隨機變量，其概率密度函數可表示為式中，a及2為兩個常量。當a=0,=1時，稱f(x)為標準正態概率密度函數。2）正態分布函數正態分布函數是正態概率密度函數的積分，即：通常高斯分布概率積分函數，簡稱概率積分表示，其定義為：這個積分只能利用數值法計算，一般數學手冊中有它的數值表，可以查閱。正態分布函數可以由概率積分函數表示：可以證明：稱作互補誤差函數；稱作誤差函數。第二章 確定信號分析2.1引言通信系統中利用信號表示

17、信息和傳關信息.一般信號是時間的函數.確定信號是指可以用確定的時間函數表示的信號.實際載荷信息的各種信號是許多信號的集合體，并具有一定的統計規律性.這種信號稱作隨機信號，將在第三章研究.本章研究的確定信號可以是隨機信號的樣函數（實現）或是載波信號的數學模型.2.2確定信號的分類分類方法很多，例如，分為周期信號和非周期信號，能量信號與功率信號，模擬信號與數字信號，基帶信號與頻帶信號等，本章主要用第一和第二種分類法.2.2.1周期信號定義：若對于任何t值成立，其中T為任一常數，則稱f(t)為周期信號，T為其周期.性質：1）若T是f(t)的周期，則nT也是f(t)的周期.其中n為任意整.即：2）3）

18、4）同周期信號的和、差、積也是周期信號，且具有同一周期.例如：eix=cosx+于sinx的周期為22.2.2能量信號與功率信號不艱看出周期信號是功率信號.非周期不限時信號也可能是功率信號，例如，隨機噪聲的樣函數（實現）等.2.3周期信號的三角付立葉級數（諧波分析）令f(t)為周期信號，周期為T,且滿足狄里赫利條件*（一般實際信號均滿足），則f(t)可展開為以下級數：其中：c為常數，其值可任選。通常選c=則有：*狄里赫利條件為：在一個周期內f(t)只有有限個一類不連續點，且可將T分為有限個區間，在每一個區間內f(t)為單調斷數.令：則有：由式（2.3.2）可見，周期信號展開為許多不同幅度、頻率

19、和相位的正弦信號之和。這些信號稱作f(t)的諧波。其中：c0為直流分量，c1cos(0t+)稱為f(t)的一次諧波（又稱基波，）cncos(n0t+)稱作f(t)的n次諧波。Cn與的關系稱作f(t)的幅度頻率特性，簡稱幅-頻特性，它表示不同諧波幅度大小與頻率的關系。n與的關系稱作f(t) 的相位-頻率特性，簡稱相-頻特性，它表示不同諧波相位與頻率的關系。不難看出cn n僅在=n0處有值（n=1，2，3，）因此，Cnn與的關系是離散的，因此稱作離散頻譜。（也稱線頻譜）。譜線間隔為，T愈大，0愈小，即譜線愈密。2.4.周期信號的指數付立葉級數利用歐拉公式可以將三角付立葉級數化為指數信立葉級數。后者

20、分析和計算比較方便，因此應用廣泛。據式（2.4.1）有：令：則f（t）可表示為：一般情況，Fn，F-n是復數，若f(t)是實函數，則Fn和F-n 一對共軛復數，即：Fn=F*n見式(2.4.2)此時有：|Fn|=|F-n|=|Fn|與的關系稱作f(t)的幅度-頻率特性，簡稱幅度頻譜，它表示f(t) 的各諧波分量的幅度與頻率關系。n與的關系稱作f(t)的相位-頻率特性，簡稱相位頻譜，它表示f(t)的各諧波分量的相位與頻率的關系不難看出，幅度頻譜是的偶函數，相位頻譜是的奇函數，它們僅在=n0(n=0,1，2，3整數)即頻率取離散值時有值，因此稱其為離散頻譜，又稱為線頻譜。又因取正負值，故又稱雙邊頻

21、譜。許多情況利用信號的頻譜進行分析比較直觀方便。2.5.信號的付立葉變換周期信號的頻譜分析可以推廣到非周期信號。令f(f)為非周期信號，其持續時間為t1，即f(f)=0，tT/2，或tT1為周期將f(f)延拓為周期信號其中： n=0,1，2，3整數。不難看出，當T時，則在t0Sgn(t)=0t=01t0 為了求其付立葉變換，可將Sgn(t)表示為：取此式兩邊的付立葉變換：2.8.5單位價躍函數的付立葉變換即：2.8.6一些常見信號的付立葉變換（表2.2）2.9能量譜密度與功率譜密度2.9.1能量譜密度令：f(t)為實能量信號，且f(t)F()式（2.9.1）稱作帕色瓦爾定理通常令：稱為f（t）

22、的能量譜密度。由此有：由式（2.9.2）可看出E()是單位帶寬中的信號能量與角頻率的關系，故稱其為能量譜密度。由于E()存在于（0G（）=(2.9.3)2 02.9.2.功率譜密度 令功率信號f(t)的平均功率為其中表示時間平均T取f(t)的短截：令fT(t)FT()顯然fT(t)為能量信號，其能量為：（根據帕色瓦爾定理）f(t)的平均功率可表示為：令：（2.9.4）如果此極限在，則稱其為f(t)的功率譜密度。由此得到：（2.9.5）由式（2.9.5）可見，P()表示單位帶寬中f(t)的平均功率與的關系，故稱其為f(t)的功率譜密度。由于P（）存在于（-0B（）= (2.9.6)0 0信號f(

23、t)的功率Pf可表示為：（2.9.7）2.9.3.信號帶寬信號帶寬是指信號的能量或功率的主要部分集中的頻率范圍。若信號的主要能量或功率集中在零頻率附近則稱這種信號為基帶信號。若信號的能量或功率集中在某一載波頻率附近，則稱此類信號為頻帶信號。這里介紹幾種常見的定義信號帶寬的方法：1）根據占總能量和總功率的比例如0.9，0.95或0.99等確定信號帶寬。設信號帶寬為B赫，則根據所占的百分數可列出等式：（或）（2.9.8）(或95%，99% )（2.9.2）(對于功率信號)2）若E()或P（）在0頻率處最大，則可以將E（）或P（）值下降到3db（半功率點）的頻率定為信號帶寬。即：3）（2.9.10）

24、2.10確定信號的相關函數 2.10.1定義：令f1(t)，f2(t)為能量信號，一般情況可以是時間的復函數。稱：（2.10.1）為f1(t)和f2(t)的互相關函數。令f1(t)，f2(t)為功率信號，則稱：(2.10.2)T為f1(t)和f2(t)的互相關函數。若f1(t)和f2(t)為周期信號（周期為T），則有：（2.10.3）若若f1(t)=f2(t)=f(t)，則稱（2.10.4）為f(t)的自相關函數。對于能量信號，自相關函數的定義為： （2.10.5）對于實信號，上述公式中去掉共軛符號*。舊一化相關函數的定義為：（2.10.6）2.10.2相關函數的性質1） R12()R21(-

25、)2） |r12()|13） R（）=R*（-）4） |R（）R（0）5） 能量信號的能量E=R（0），功率信號的平均功率P=R（0）能量有限/功率有限6）周期信號的自相關函數是周期函數，且周期與信號周期相等，下面我們對于實信號證明此性質。（對于復信號用類似方法也可證明）令f(t)為實周期信號，周期等于T，可將其展為付立葉級數：（-t） 其中：f(t)的自相關函數為：以及對實信號有：Fn=F-n可得到：(2.10.7)由式（2.10.7）可看出，R()是周期為T的周期函數。（注意到：）2.10.3.相關函數與能量（功率）譜密度的關系1） 能量信號的自相關函數與其能量譜密度互為付立葉變換，即：(

26、2.10.8)證：令f(t)為能量信號，且：f(t)F（）根據定義有：2） 功率信號的自相關函數與其功率譜密度互為付立葉變換。即：（2.10.9）證：令f(t)為功率信號，取其短截：顯然fT(t)是能量信號，令其自相關函數為RT()則有：據定義f(t)的自相關函數為：T已知：由此有：TT利用式（2.10.8）和式（2.10.9）可根據已知的相關函數求出相應的能量譜密度或功率譜密度。例：2.10.1求周期信號的功率譜密度解：由式（2.10.7）有：則：2.10.4.互能量譜密度和互功率譜密度定義：令f1(t)和f2(t)為能量信號，且它們的互相關函數為R12（），稱R12（）的付立葉變換為f1(

27、t)和f2(t)的互能量譜密度，以E12（）表示之。即：(2.10.11)性質：令 ，則有：（2.10.12）證：定義：令f2(t)為功率信號，且它們的互相關函數為R12（），稱R12（）的付立葉變換為f1(t)和f2(t)的互功率譜密度，以R12（）表示之。即：（2.10.13）2.11.卷積積分2.11.1卷積積分的定義令有函數f1(t)和f2(t)，稱積分為f1(t)和f2(t)的卷積積分，簡稱卷積，通常以f1(t)*f2(t)表示。即：*（2.11.1）式中為積分變量，由于定積分值與積分變量符號無關，所以式（2.11.1）中的積分變量可用任何符號表示，例如：，等。2.11.2卷積的性質

28、 1）交換律：f1(t) Vf2(t)= f2(t) V f1(t) 2) 分配律：f1(t) V f2(t)+f3(t)= f1(t) Vf2(t)+ f1(t) V f3(t) 3）結合律：f1(t) V f2(t) Vf3(t)= f1(t) Vf2(t) V f3(t) 4）卷積的微分：= fi（t）Vf2(t)= f1(t) Vfi(t)2.11.3卷積定理1)時域卷積定理證畢。2）頻域卷積定理令： 則： （2.11.3）證：證畢。2.11.4函數與單位沖激函數的卷積由定義和 的性質可得到下列各式：相似地，在頻域中有類似的關系：卷積定理和式（2.11.4）到式（2.11.9）在信號分

29、析中很有用。2.12.確定信號通過線性系統（濾波）通信系統由許多部份組成，例如，天線，放大器，信道和調制解調器等。其中一些部份可看作是線性系統。例如，信道，放大器，濾波器等。本節研究確定信號通過線性系統。并限于研究具有一個輸入端和一個輸出端的系統。 x(t)L y(t)一個輸入信號x(t)，對應有一個確定的輸出信號y(t).將x(t)變換為y(t)的運算，數學上稱為算子，以L表示。則可表示為：y(t)=Lx(t) (2.12.1)2.12.1.線性算子與線性系統令：y1(t)=Lx1(t)i=1,2,3.若系統算子滿足以下關系：其中：ci為任意常數， i=1,2,3.則稱此算子為線性算子，相應

30、的系統稱為線性系統，式（2.12.2）稱為疊加原理。其表述為：系統輸入線性和的響應等于響應的線性和。如前所述，任意信號x(t)可以表示為：對于線性算子，有：令：L（t-）=h(t0), 稱作系統的單位沖激響應，得到：（212.3）若系統滿足L（t-）=h(t-)， 則稱系統為時不變線性系統或稱恒參線性系統。本節僅研究時不變（恒參）線性系統，其單位沖激響應為：h(t)=L(t)(2.12.4)由此對于恒參線性系統有：(2.12.5)或寫為：y(t)=x(t)Vh(t)(2.12.6)式(2.12.6)是恒參線性系統時域的重要關系式，它通過系統的單位沖激響應將系統的輸入和輸出聯系起來。通過時域卷積

31、定理，可將輸入與輸出在頻域的關系表示出。令：據式（2.12.6）有：由此得：y()=x()H()(2.12.7)式（2.12.7）是系統輸入輸出的頻域關系式。即輸出的頻譜密度等于輸入的頻譜密度乘以H（）。H（）是系統單位沖激響應的付立葉變換，稱為系統的傳遞函數，一般它是的復函數，可表示為：（2.12.8）稱作系統的幅度-頻率特性，簡稱幅-頻特性；（）稱作相位 頻率特性，簡稱相-頻特性。它們反映正弦信號通過線性系統后幅度和相位的變化與頻率的關系。2.12.2.信號不失真的條件信號通過線性系統會引起變化。從傳送信息的角度考慮，重要的是信號波形的變化。我們認為信號波形大小和時延的變化不影響信號所帶的

32、信息，因此我們定義通過線性系統信號不失真的條件為：y(t)=kx(t-)（2.12.9）其中：k, 均為常數，可取任意值。x(t)和y(t)是系統的輸入和輸出。由式（2.12.9）可得出系統的沖激響應：h(t)= k(t-) (2.12.10) 式(2.12.10)是信號不失真的時域的充分條件。在頻域有：式（2.12.11）還可以關系式直接得到：滿足信號不失真條件的系統稱作理想系統。由式（2.12.11）可知：理想系統的幅-頻特性為一常數k即：|H()|=K （-）(2.12.12)而相-頻特性為：（）=- (-0Sgn()=可表示為：10域相移同樣可得到：（2.13.6）由式（2.13.6）

33、可看出希爾伯特反變換也等效一個理想相移器，在0域相移2.13.3.希爾伯特變換的性質因2. (2.13.8)因。3.dt=dt。 (2.13.9) 證： 令 則有： dt=d, dt=d又知： 由此有:|2=|F()|2d,性質得證。4. 若f (t)為偶函數,則為奇函數。 若f (t)為奇函數,則為偶函數。證： 令f (t)為偶函數，則有：f (t)=f (t) 根據定義: dd 令, 則: =d=。由此得證。同理可證明第二個結論。5.dt=0。 即f (t)與相互正交。 (2.13.10) 利用性質4即可證明。2.14 解析信號2.14.1.解析信號的定義令有實信號f (t)則稱復信號Z(

34、t)=f (t)+j (2.14.1)為f (t)的解析信號(有的文獻中稱作予包絡)。2.14.2解析信號的性質1f (t)=ReZ(t) (2.14.2)2. f (t)= (2.14.3) 其中：是Z(t)是的共軛。3. 令， 則有： 也可表示為：Z()=2F()u() (2.14.4) 證：,已知:，得到：畢。 4 dd (2.14.5) 5. 即： (2.14.6) 證：已知Z*(t) 證畢。 6令為解析信號，則有： ； (2.14.7) (2.14.8) 證： ()=2F1()u() 根據卷積定理有: 由此得到: 證畢。 同理可以證明： 。 7. 解析信號的能量等于實信號能量的二倍。

35、 dt= =dt=2dt=2Ef (2.14.9) 考慮到：dt=0和 dt=dt 例2.14.1.確定是否是解析信號。e=，因其虛部為其實部的希爾伯特變換，所以它解析信號，也可在頻域驗證： 因的付立葉變換是其實部的付立葉正頻率部份的兩倍，故是解析信號。一般講，若復信號的付立葉變換在2w則稱此頻帶信號為窄帶信號。在無線通信系統中通常滿足窄帶條件。利用解析信號表示頻帶信號(特別是窄帶信號)很便于對頻帶信號的分析。令f (t)為頻帶信號，且其解析信號為：的圖形如圖(2.15.2)所示。圖(2.15.2)解析信號的頻譜密度令： (2.15.2)則有： (2.15.3)的圖形示于圖(2.15.3)。圖

36、(2.15.3)復包絡的頻譜密度在式(2.15.2)兩邊乘以可得： (2.15.4)稱為的復包絡，稱為Z(t)的復載波。由圖 (2.15.3)可見：頻帶信號的復包絡是復基帶信號。令 (2.15.5)顯然，和都是實基帶信號。由解析信號性質有： = = = (2.15.6)式(2.15.6)中cosct稱作f (t)的載波;fc(t)稱作同相分量;fs(t)稱作正交分量。復包絡還可以表示為： (2.15.7)其中：和均為實基帶信號。將式(2.15.7)帶入式(2.15.4)得： (2.15.8) =由得： (2.15.9)式(2.15.9)中稱作f (t)的包絡；(t)稱作f (t)的相位;c稱作

37、f (t)的載波角頻率。式(2.15.6)和式(2.15.9)是頻帶信號的常用的表示式。由式(2.15.7)和式(2.15.9)可見：復包絡包含了的除載波頻率以外的全部信息。由式和式(2.15.6)可得到同相分量、正交分量與包絡和相位的關系：fc(t)=a(t)cos(t) (2.15.10)fs(t)=a(t)sin(t) (2.15.11) (2.15.12)arctg (2.15.13)例2.15.1.令m(t)為基帶信號,其頻譜密度M()如圖(2.15.4)所示。即其帶寬為w。1) 確定S(t)=m(t)是解析信號的條件；2) 求m(t)cos的希爾伯特變換。解：確定S(t)=m(t)

38、是否是解析信號，應看其頻譜密度是否只在正頻率域有值，即： 由：可知只有當時才能滿足此條件見圖(2.15.5)即是解析信號，否則不是。又知，若S(t)為解析信號則其虛部為其實部的希爾特變換。因此若，則有：Hm(t)cos0t=m(t)sin0t由此例可見：窄帶信號均滿足以上條件，因而具有上述性質。圖(2.15.4)基帶信號m(t)的頻譜密度圖(2.15.5)復信號S(t)=m(t)的頻譜密度2.15.2帶通系統1) 定義：若系統的通頻帶位于某一頻率附近，即其傳遞函數如圖(2.15.6)所示，則稱系統為帶通系統。若帶通系統的帶寬遠小于其中心頻率，即2W，則稱系統為窄帶系統。2) 帶通系統的單位沖激

39、響應已知系統的單位沖激響應與傳遞函數為付立葉變換對，即顯然帶通系統的單位沖激響應滿足頻帶信號條件，因此它是頻帶信號。應用解析信號和復包絡可以得到帶通系統的等效低通特性，將基帶信號分析方法用于頻帶信號通過帶通系統的分析，可使分析大為簡化。令為h(t)的解析信號，且則有： 其中： 為單位階躍函數。 令： (2.15.14) 令： (2.15.15) 有： (2.15.16) 稱作帶通系統的等效低通單位沖激響應。 稱作帶通系統的等效低通傳遞函數。 和的圖形示于圖(2.15.7)和圖(2.15.8)。圖(2.15.7)帶通系統的傳遞函數圖(2.15.8)帶通系統的等效低通傳遞函數由圖(2.15.8)可

40、見，帶通系統的等效低通傳遞函數是低通型的。因此其付立葉反變換即帶通系統的等效低通單位沖激響應是基帶型的。3) 頻帶信號通過帶通系統分析令為頻帶信號，且，帶通系統的特性為求通過此帶通系統的響應令。此部題可用一般方法解決：或但對帶通系統此法比較繁瑣。利用頻帶信號的復包絡和帶通系統的等效低通特性可以使分析簡化，下面介紹此法： 由式(2.15.14)可得到： (2.15.17)又知： (2.15.18)令： (2.15.19) (2.15.20)由解析信號的定義和性質，有： (2.15.21) (2.15.22) (2.15.23)將式(2.15.8)，(2.15.21)代入式(2.15.23)得到： = = (2.15.24)因根據解析信號的性質：；將式(2.15.17)，(2.15.19)代入式(2.15.24)得到： (2.15.25)利用卷積定理可以證明的付立葉變換與的付立葉變換相等：因此 同理可以證明：據此，式(2.15.26)可表為： (2.15.26)比較式(2.15.22) 和式(2.15.26)得到： (2.15.27) (2.15.28)利用式(2.15.27)和(2.15.28)可以將頻帶信號x(t)通過帶通系統h(t