1、11.4 點到直線的距離一 教學內容分析“點到直線的距離”是“坐標平面上的直線”一章的最后一節內容.作為直線方程和向量方法的應用，教材中，點P（x0,y0）到直線l:Ax+By+C=0的距離公式的推導經過了以下過程：（1）作出距離PQ，（2）利用向量的數量積，根據，利用Q點在直線l上，求出PQ，得到公式.在推導過程中，有兩個要點：一是應用數量積的幾何意義計算兩點之間的距離；二是應用“若點在直線上，則點的坐標滿足直線方程”進行整體代換.應用向量的方法，運算比較簡捷，在此體現了向量方法的優勢.然而，解析幾何的核心思想，是通過用方程表示曲線，通過研究方程的解的情況反映曲線的幾何性質，所以面對“如何求

2、點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離”這個問題，一個基本的解題思路是：寫出直線 PQ的方程，求出直線 PQ與直線l的交點Q的坐標，最后求出|PQ|的長度.其中，解方程組，求 Q點坐標是關鍵，有行列式知識做鋪墊，這個問題應該可以迎刃而解.教材放棄這個方法，體現了教材編寫者突出向量應用的思路.但向量法顯得技巧性強，需要較高的數學思維能力.在選擇向量的過程中，有些問題如“為什么選擇向量？用向量可以算出結果嗎？”等，在教學時往往一時難以清楚回答.另外，在有行列式知識背景的前提下，解方程已經變得機械而且簡單，所以放棄方程，與學生的認知基礎有一定的差距.但是，作為教材，也不可能就同一個問題

3、羅列兩種解法，這是一種兩難的選擇.這也給教師的教學設計造成了困惑，是突出方程思想，還是突出向量思想？如何處理？如何選擇？才能既符合學生認知特點，又能體現新教材的特點.二 教學目標設計1 通過學習，學會推導點到直線的距離公式并掌握點到直線的距離公式.2 通過對點到直線之間公式推導方法的分析、比較與體驗，領悟公式推導過程中的數學思想和思維方法，培養分析問題和解決問題的能力.3 通過對點到直線之間的距離、平行線之間距離的探究，培養理性思維能力.經歷問題解決過程，體驗合作精神.三 教學重點及難點1 教學重點：點到直線距離公式及其推導過程.2 教學難點：在推導點到直線距離公式過程中，學習和領悟問題解決過

4、程中的數學思想方法.四 教學流程設計復習引入向量的方法如何推導點到直線的距離方程的方法課堂小結并布置作業應用：推導兩條平行線之間的距離五 教學過程設計 1 引入這是直線一章的最后一節，簡要回顧本章知識，主要涉及三個問題：1)如何用解析法表示直線？主要介紹如何用方程表示直線，其中包括直線方程的幾種形式，直線的傾斜角與斜率的關系等知識.2)如何判斷點P(x,y)與直線l:ax+by+c=0的位置關系？點P(x,y)與直線l:ax+by+c=0的位置關系包括兩類情況：一是點在直線上，一是點不在直線上.主要通過點P(x0,y0)的坐標是否滿足直線l的方程判斷.點不在直線上這類位置關系中，若進一步提出如

5、何刻畫點與直線的相對位置，自然會想到如何求點到直線的距離這類問題.3)如何判斷直線與直線的位置關系？兩條直線的位置關系包括三種情況：相交、平行與重合.在直線與直線相交關系中可以進一步研究兩條直線的夾角問題，包括特殊情況：垂直關系；在兩條直線平行時會聯想到如何求平行線間的距離，進而轉化為求點到直線間的距離問題.所以，進一步討論點到直線的距離是理性思維的結果，是完善知識體系得需要.引入中，從學生原有的知識基礎出發，通過知識的邏輯結構說明為什么學習點到直線的距離，激發學生學習的興趣，強調理性精神.2 點到直線距離公式的推導PQlxyO1）明確并提出問題已知直線l：ax+by+c=0，直線外一點P(x

6、0,y0).其中a、b、c、x0、y0為常數.如何表示點P到直線l的距離d?在解決該問題前可以作如下鋪墊：可以先回顧“什么是點到直線的距離？”從幾何角度作出距離，并指出點到直線距離其實是點到直線上任意一點距離的最小值.再指出點P到直線的距離是一個確定的值，它可以用x0、y0、a、b、c表示.2） 推導點到直線的距離公式通過對問題的分析，歸結為“如何計算線段|PQ|的長度？”.因為推導公式的方法有許多種，所以可以充分發揮學生的主觀能動性，通過有效組織，引導學生積極思維，尋找問題的解決方法.主要可能有以下幾類方法.（1）計算Q點坐標.有下列兩種方法：（i） 利用數量積，計算Q點坐標.具體思路：設Q

7、（x,y），由與直線的一個方向向量垂直及兩個條件聯立方程組，解得x,y即可.（ii） 聯立方程組，計算兩條直線交點Q的坐標.具體思路：寫出直線PQ的方程，聯立PQ與l的方程，求解Q點坐標(x1,y1).（2）利用向量的數量積.因為數量積可以求向量投影的長度，所以，其中M是直線l上某一點.特別的，可以歸結為教材提供的方法.（3）其他方法學生還可能想到：利用三角比，利用三角形面積，勾股定理等平面幾何知識，利用函數思想求點P到直線上任意一點距離的最小值等.雖然方法有許多種，但是因為解析幾何的核心思想是利用方程研究曲線，所以聯立方程組是基本方法；又因為向量在解析幾何是一個重要的知識和方法，對學生將來進

8、一步學習空間解析幾何有幫助，所以可以選擇聯立方程組計算點Q坐標與利用數量積計算|PQ|長度這兩種方法具體講解. 以下為兩種方法解題過程：l 聯立方程組，利用行列式知識求解：，的方程可以寫成：，所以解方程組：，得；.所以所以. l 利用向量的數量積直接求出|PQ|的長度：由直線方程，知l的法向量為=（a,b），設M(x/，y/)是直線l上的一點，得， 因為，所以.又點M在直線l上，所以ax/+by/+c=0，即ax/+by/= -c.得.對上述兩種方法進行回顧總結，并給出結論：點P(x0,y0)到直線l:ax+by+c=0的距離.在上述兩種解題方法中，都需要強調一種整體代換的思想.3 公式的應用

9、回到本節課開頭的問題：如何推導兩條平行線之間的距離公式.若直線l1:ax+by+c1=0,l2:ax+by+c2=0,其中a,b,c1,c2為常數且c1c2.如何求直線l1與l2之間的距離？ 這個問題可由學生獨立完成，教師引導并主要介紹兩個方法：:（）將平行線之間的距離轉化為求點到直線間的距離，利用剛剛推導的點到直線距離公式.在直線l上取點，則，又，所以，所以（）利用向量數量積，直接計算設，得，由，又，所以.4 小結與作業1)小結這節課主要研究三個問題：(1) 為什么要學習點到直線之間的距離？（2）點到直線之間的距離如何推導；（3）如何求平行線之間的距離.主要知識有點到直線之間距離公式及其推導

10、方法與過程，平行線之間的距離公式及其推導方法與過程.強調了方程的方法與向量的思想.2)作業：練習11.4，1、2、3；習題11.4，1、3、4、5、6六 教學設計說明 1 從知識的角度講，本節課并沒有新的概念，完全是利用已經掌握的知識解決問題，獲得新的結論、新的知識.所以這節課一定意義上是問題解決式教學.2 因為問題解決的方法比較多，每種方法都面面俱到，這是不可能的，也是不現實的.如何選擇成了教學的關鍵，這里我們從解析幾何的核心思想與向量方法的重要程度考慮，選擇這兩種方法作為重點講解的方法，同時也是對所學行列式知識與向量知識的一個很好的應用.在兩種方法的講解過程中，要重點引導學生體會整體代換的思想.3 在教學的組織形式上，考慮到方法的多樣性和學生思維的積極性與創造性，可以考慮充分發揮學生的主觀能動性，由學生討論并尋找問題解決方法.在尋找方法過程中，可以要求學生只談想法，不必算出結果，但要講清方法的來龍去脈以及解題計劃，是如何想到這個方法的？用這個方法