1、會計學1 10.2.1排列與排列數公式排列與排列數公式PPT課件課件 1、掌握排列的概念、掌握排列的概念; 2、正確理解排列的意義；、正確理解排列的意義； 3、學會判斷某些問題是否是排列問題；、學會判斷某些問題是否是排列問題； 4、理解排列數的定義、理解排列數的定義; 5、理解排列數公式的推導思想；、理解排列數公式的推導思想； 6、掌握排列數、全排列和階乘公式；、掌握排列數、全排列和階乘公式； 7、正確應用排列數公式。、正確應用排列數公式。 第1頁/共33頁 復習提問：復習提問： 1.什么是分類計數原理，分步計數原理？什么是分類計數原理，分步計數原理？ 解：不同的走法分為兩類：第一類由甲村走水

2、解：不同的走法分為兩類：第一類由甲村走水 路到乙村，再由乙村到丙村：只有路到乙村，再由乙村到丙村：只有1種走法。種走法。 第二類由甲村走旱路到乙村，再由乙村到丙村第二類由甲村走旱路到乙村，再由乙村到丙村 ：有：有22=4種走法。種走法。 由分類計數原理：由分類計數原理：1+4=5 2.從甲村到乙村有從甲村到乙村有2條旱路，一條水路，從乙村條旱路，一條水路，從乙村 到丙村有南、北兩條路，當從甲村走水路到乙村到丙村有南、北兩條路，當從甲村走水路到乙村 時，再從乙村到丙村就只能走南路，問從甲村經時，再從乙村到丙村就只能走南路，問從甲村經 過乙村到丙村共有多少種不同的走法？過乙村到丙村共有多少種不同的

3、走法？ 答：共有答：共有5種不同的走法。種不同的走法。 第2頁/共33頁 問題引入：問題引入： 問題問題1:從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學中選出名同學中選出2名參加某天名參加某天 的一項活動的一項活動,其中其中1名同學參加上午的活動名同學參加上午的活動,1名同名同 學參加下午的活動學參加下午的活動,有多少種不同的方法有多少種不同的方法? 探索研究探索研究 解決這個問題需分解決這個問題需分2個步驟：個步驟： 第一步，確定參加上午活動的同學，從第一步，確定參加上午活動的同學，從3人中任選人中任選1人人 有有3種方法；種方法； 第二步，確定參加下午的同學，只能從余下的第二步，確定參加下午的同學，只

4、能從余下的2人中選人中選 ，有，有2種方法種方法; 根據分步計數原理，共有根據分步計數原理，共有32=6種不同的方法種不同的方法. 甲甲 乙乙 甲甲 丙丙 乙乙 甲甲 乙乙 丙丙 丙丙 甲甲 丙丙 乙乙 相應的排法相應的排法: 第3頁/共33頁 我們把上面問題中被選的對象我們把上面問題中被選的對象 ( (同學）叫做同學）叫做元素元素。 上述問題就是從上述問題就是從3個不同的元素個不同的元素a ，b，c中任取中任取2個，然后按照一定的個，然后按照一定的 順序排成一列，求一共有多少種不同順序排成一列，求一共有多少種不同 的排列方法。的排列方法。 不同的排列為不同的排列為: ab，ac，ba，bc，

5、ca，cb 第4頁/共33頁 問題問題2:從從a、b、c、d這這4個字母中，取出個字母中，取出3個按個按 照順序排成一列，共有多少種不同的排法？照順序排成一列，共有多少種不同的排法？ 解決這個問題，需分解決這個問題，需分3個步驟：個步驟： 第一步，先確定左邊的字母，在第一步，先確定左邊的字母，在4個字母中任取個字母中任取1個個 ，有，有4種方法；種方法； 第二步，確定中間的字母，從余下的第二步，確定中間的字母，從余下的3個字母中去取個字母中去取 ，有，有3種方法；種方法； 第三步，確定右邊的字母，只能從余下的第三步，確定右邊的字母，只能從余下的2個字母中個字母中 去取，有去取，有2種方法種方法

6、. 根據分步計數原理，共有根據分步計數原理，共有432=24種不同的排法種不同的排法 第5頁/共33頁 b a c d b d a d a b b c a c a b c da ca dc d b d b c b c da c da b da b c 不同排法如下圖所示不同排法如下圖所示: : 所有的排列為：所有的排列為： abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb 第6頁/共33頁 我們把上面問題中被取的對象我們把上面問題中被取的對象 （字母）叫

7、做（字母）叫做元素元素。于是，所提出。于是，所提出 的問題就是從的問題就是從4個不同的元素個不同的元素a、b、 c、d中任取中任取3個，然后按一定的順個，然后按一定的順 序排成一列，求一共有多少種不同序排成一列，求一共有多少種不同 的的排列排列方法。方法。 第7頁/共33頁 一般地說，從一般地說，從 n 個不同元素中，任個不同元素中，任 取取 m (mn) 個元素，按照一定的個元素，按照一定的順序順序排排 成一列，叫做從成一列，叫做從 n 個不同元素中取出個不同元素中取出 m 個元素的一個個元素的一個排列排列。 一、排列的定義：一、排列的定義： 排列的定義中包含兩個排列的定義中包含兩個基本內容

8、基本內容： 一是一是“取出元素取出元素”；二是；二是“按照一定順序排按照一定順序排 列列”. . “一定順序一定順序”就是與位置有關，這也就是與位置有關，這也 是判斷一個問題是不是排列問題的重要標志是判斷一個問題是不是排列問題的重要標志 第8頁/共33頁 注注 意：意： 1 1、我們研究的排列問題中，不能有、我們研究的排列問題中，不能有重復元素重復元素 的排列，也不能的排列，也不能重復抽取相同重復抽取相同的元素；的元素； 4、為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏、為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏 ，最好采用上面兩題中的方法，最好采用上面兩題中的方法“樹形圖樹形圖”. 2、兩個排列相

9、同的、兩個排列相同的充要條件充要條件是什么？是什么？ 1）元素全相同）元素全相同 2）元素排列順序也完全相同）元素排列順序也完全相同 3、概念中，如果、概念中，如果mn，這樣的排列只是選一，這樣的排列只是選一 部分元素作排列，叫做選排列；如果部分元素作排列，叫做選排列；如果m=n，這，這 樣的排列是取出所有元素作排列，叫做全排列樣的排列是取出所有元素作排列，叫做全排列 ； 第9頁/共33頁 例例1: :判斷下列幾個問題是不是排列問題判斷下列幾個問題是不是排列問題? ? 從班級從班級5名團員中選出名團員中選出3人參加下午的團委會；人參加下午的團委會； 從從2、3、5、7、11中任取兩個數相除；中

10、任取兩個數相除； 20位同學互通話一次；位同學互通話一次； 20位同學互通一封信；位同學互通一封信； 以圓上的以圓上的10個點為端點作弦；個點為端點作弦； 以圓上的以圓上的10個點為起點，且過另一點的射線個點為起點，且過另一點的射線. 例題講解：例題講解： 排列問題的有：排列問題的有： 、 、 、 第10頁/共33頁 例例2:在甲、乙、丙、丁四位候選人中，選舉出在甲、乙、丙、丁四位候選人中，選舉出 正、副班長各一人，共有幾種不同的選法正、副班長各一人，共有幾種不同的選法?寫寫 出所有可能的選舉結果出所有可能的選舉結果. 解：選舉過程可以分為兩個步驟：解：選舉過程可以分為兩個步驟： 第一步，先選

11、出正班長，第一步，先選出正班長，4 4人中任何一人都可能當選，人中任何一人都可能當選， 有有4 4種選法；種選法； 第二步，選出副班長，余下第二步，選出副班長，余下3 3人中任何一人都可能當選人中任何一人都可能當選 ，有，有3 3種選法種選法. . 根據分步計數原理，不同選法共有：根據分步計數原理，不同選法共有：4 43=12(3=12(種種). ). 其選舉結果是：其選舉結果是： 甲乙甲乙 甲丙甲丙 甲丁甲丁 乙甲乙甲 乙丙乙丙 乙乙 丁丁 丙甲丙甲 丙乙丙乙 丙丁丙丁 丁甲丁甲 丁乙丁乙 丁丁 丙丙 第11頁/共33頁 課堂練習：課堂練習： 1:下列問題中屬于排列問題的是下列問題中屬于排列

12、問題的是 . 有有10個車站，共需準備多少種車票？個車站，共需準備多少種車票？ 有有10個車站，共有多少種不同的票價？個車站，共有多少種不同的票價？ 平面內有平面內有10個點，共可作多少條射線？個點，共可作多少條射線？ 10個同學，每兩人互通信一次，通信多少次？個同學，每兩人互通信一次，通信多少次？ 從從10名學生中選出名學生中選出2名分別參加數學和物理競名分別參加數學和物理競 賽，有多少種選派方案？賽，有多少種選派方案？ 、 第12頁/共33頁 2:北京、上海、廣州北京、上海、廣州 三個民航站之間的直達三個民航站之間的直達 航線，需要準備多少種不同的飛機票？航線，需要準備多少種不同的飛機票？

13、 不同排法如下圖所示不同排法如下圖所示: 種）(623 北京北京 上海上海 廣州廣州 北京北京 上海上海 廣州廣州 北京北京 上海上海 廣州廣州 北京北京 北京北京 上海上海 廣州廣州 北京北京 上海上海 上海上海 廣州廣州 北京北京 上海上海廣州廣州 廣州廣州 第13頁/共33頁 3: 下列問題是排列問題嗎？下列問題是排列問題嗎？ （1）從）從1，2，3，4四個數字中，任選兩個做加法，四個數字中，任選兩個做加法， 其其不同不同結果有多少種？結果有多少種？ （2）從）從1，2，3，4四個數字中，任選兩個做除法，四個數字中，任選兩個做除法， 其其不同不同結果有多少種？結果有多少種？ （3）從）從

14、1到到10十個自然數中任取兩個組成點的坐標十個自然數中任取兩個組成點的坐標 ，可得多少個不同的點的坐標？，可得多少個不同的點的坐標？ （4）平面上有）平面上有5個點，任意三點不共線，這五點最個點，任意三點不共線，這五點最 多可確定多少條射線？可確定多少條直線？多可確定多少條射線？可確定多少條直線？ （5）10個學生排隊照相，則不同的站法有多少種？個學生排隊照相，則不同的站法有多少種？ 是排列是排列 不是排列不是排列 是排列是排列 是排列是排列 不是排列不是排列 是排列是排列 第14頁/共33頁 1、排列數的定義、排列數的定義: 從從n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m（mn)個元素的個元素

15、的 所有排列的個數，叫做從所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個個 元素的元素的排列數排列數. 用符號用符號 表示表示 m n A 問題問題1:求從求從3個不同的元素中取出個不同的元素中取出2個元素的個元素的 排列數排列數. 記為記為 623 2 3 A 問題問題2:求從求從4個不同的元素中取出個不同的元素中取出3個元素的排個元素的排 列數列數. 記為記為 24234 3 4 A 二、排列數：二、排列數： 第15頁/共33頁 排列和排列數的不同排列和排列數的不同 : : “一個排列一個排列”是指：從是指：從n n個不同元個不同元 素中，任取素中，任取m m個元素按照一定的

16、順序個元素按照一定的順序 排成一列，不是數；排成一列，不是數； “排列數排列數”是指從是指從n n個不同元素個不同元素 中，任取中，任取m m個元素的所有排列的個數個元素的所有排列的個數 ，是一個數，是一個數 . . 第16頁/共33頁 思考：從思考：從n個不同的元素中取出個不同的元素中取出2個元素的排列個元素的排列 數數 是多少？是多少？ 呢？呢？ 2 n A 3 n A 假定有排好順序的假定有排好順序的2 2個空位，從個空位，從n n個不同元素個不同元素 a a1 1，a a2 2，,a,an n中任意取中任意取2 2個去填空，個去填空，一個空位一個空位 填一個元素，每一種填法就得到一個排

17、列；反過填一個元素，每一種填法就得到一個排列；反過 來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到。 就是說就是說“一個排列一個排列”和和“一種填法一種填法”是一一對應是一一對應 的。所以不同填法的種數就是排列數的。所以不同填法的種數就是排列數 . . 2 n A 第1位第2位 nn-1 2 (1) n n n A 2 : n A 同理同理 3 (1) (2) n n nn A 第17頁/共33頁 2、排列數公式的推導、排列數公式的推導: 第一位第一位第二位第二位第第m位位 求求 ：從從n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m個元素個元素 的排列數的排列數.

18、m n A 假定有排好順序的假定有排好順序的m m個空位，從個空位，從n n個不同元素個不同元素 a a1 1，a a2 2，,a,an n中任意取中任意取m m個去填空，個去填空，一個空位一個空位 填一個元素，每一種填法就得到一個排列；反過填一個元素，每一種填法就得到一個排列；反過 來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到。 所以不同填法的種數就是排列數所以不同填法的種數就是排列數 . . m n A 第18頁/共33頁 第一位第一位第二位第二位第第m位位 分分m步：步： 第一步：從第一步：從n個元素中任選一個元素填第一位，個元素中任選一個元素填第一位

19、， 有有n種填法；種填法； 第二步：從余下的（第二步：從余下的（n-1）個元素中任選一個元）個元素中任選一個元 素填第二位，有（素填第二位，有（n-1）種填法；）種填法； 第第m步：從余下的（步：從余下的（n-m+1）個元素中任選一個）個元素中任選一個 元素填第元素填第m位，有（位，有（n-m+1）種填法；）種填法； nn- 1 n- m+1 求求 m n A 121 m n Nn nnnmA 第19頁/共33頁 排列數公式：排列數公式： 1、n，mN*，mn； 注：注： 2、特征：公式右邊中第一個因數是、特征：公式右邊中第一個因數是n，后面的，后面的 每個因數都比它前面一個因數少每個因數都比

20、它前面一個因數少1，最后一個，最后一個 因數為因數為n-m+1，共有，共有m個因數相乘個因數相乘. (1) (2)(1) m n n nnnm A 第20頁/共33頁 n個不同元素全部取出的一個個不同元素全部取出的一個 排列，叫做排列，叫做n個不同元素的個不同元素的全排列全排列 。 此時在排列數公式中，此時在排列數公式中， m = n 3、全排列、全排列: 4、階乘、階乘: (1) (2)3 2 1 n n Annn 正整數正整數1到到n的連乘積，叫做的連乘積，叫做n的的 階乘階乘。記作。記作 !n! n n An即： 第21頁/共33頁 (1) (2)(1) m n nnnnm A 12)(

21、 12)() 1()2() 1( mn mnmnnnn ! )( ! mn n ! () ! m n n nm A 即： （1）規定）規定 （2）此公式常用于計算器計算或對含）此公式常用于計算器計算或對含 有字母的排列數的式子變形或論證。有字母的排列數的式子變形或論證。 0! 1 第22頁/共33頁 )1()2)(1(mnnnnA m n 排列數公式：排列數公式： ! ()! m n n A nm 點評：點評：排列數公式的推導是排列數公式的推導是“建構建構”框圖填框圖填 空來解決的，這是一種簡單的建模方法；空來解決的，這是一種簡單的建模方法； 一般情況下，第一個公式常用于計算，第二個一般情況下

22、，第一個公式常用于計算，第二個 公式常用于化簡、證明；公式常用于化簡、證明； 對于對于“m、nN+ ，mn”這個條件要留意，往這個條件要留意，往 往是一些含有未知數的排列數計算、解方程等問往是一些含有未知數的排列數計算、解方程等問 題的隱含條件題的隱含條件. 第23頁/共33頁 5答： 1 ！ !20)2( )!)(4(mn )!1( 2 )5( 2 n nn 1 5 4 25 4 3 42 5 )(1)! 111 (5) !(1)!(1)! nm nm nnn 練習：化簡 （）！ ！ （ ）！ 4（ (3)7! 第24頁/共33頁 例例3:計算：計算： 3 16 6 6 8 12 7 12

23、(1) (2) (3) A A A A 3360141516 5 6789101112 56789101112 6!6 5 4 3 2 1720 第25頁/共33頁 例例4:求下列各式中求下列各式中n 的值的值 （1） 解：解： （1）由排列數公式得）由排列數公式得 整理得整理得 解得解得 （2） 43 21 140 nn AA 1 89 34 nn AA (21)2 (21)(22)140 (1)(2)nnnnn nn 2 435690nn 23 3() 4 nn或舍去 3n 第26頁/共33頁 解：解： （2）由排列數公式得）由排列數公式得 約分得約分得 解得解得 3 8!4 9! (8)! (10)!nn 4 3 1 (10)(9)nn 2 19