1、必修1 第三章函數的概念與性質冪函數重點冪函數的概念、性質，從五個具體冪函數中認識冪函數的一些性質難點冪函數性質及應用，畫五個冪函數的圖象并由圖象概括其性質考試要求考試 題型 選擇題、填空題和解答題。 難度 中等核心知識點一：1. 冪函數的概念函數yx叫做冪函數，其中x是自變量，是常數。2. 冪函數的圖象與性質（1）五種常見冪函數的圖象。（2）五類冪函數的性質，冪函數yxyx2yx3yx1定義域RRR0，）（，0）（0，）值域R0，）R0，）y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增x0，），增x（，0，減增增x（0，），減x（，0），減公共點都經過點（1，1）冪函數的性質歸納（1）所有的冪

2、函數在區間（0，）上都有定義，并且圖象都過點（1，1）。（2）0時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間0，）上是增函數。特別地，當1時，冪函數的圖象下凸；當01時，冪函數的圖象上凸。（3）0時，冪函數的圖象在區間（0，）上是減函數。在第一象限內，當x從右趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸；當x趨于時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸。典例一：冪函數的概念理解【基礎訓練】下列函數為冪函數的是（）yx2；y2x；yx；y（x1）3；yx2。A. B. C. D. 只有解析：選C。yx2的系數是1而不是1，故不是冪函數；y2x是指數函數；y（x1）3的底數是x1而不是x，故不是冪函數；y

3、x2是兩個冪函數和的形式，也不是冪函數。很明顯是冪函數?！灸芰μ嵘恳阎獌绾瘮祔=f（x）的圖象經過點（3，），求這個函數的解析式。解析：設所求冪函數的解析式為因為點（3，）在函數圖像上，所以代入解析式得 冪函數的解析式為?？偨Y提升：冪函數yx（R），其中為常數，其本質特征是以冪的底x為自變量，指數為常數（也可以為0）。這是判斷一個函數是否為冪函數的重要依據和唯一標準。典例二：冪函數的圖象應用已知冪函數yxm2（mN）的圖象與x，y軸都無交點，且關于y軸對稱，求m的值，并畫出它的圖象。解析：圖象與x，y軸都無交點，m20，即m2。又mN，m0，1，2。冪函數圖象關于y軸對稱，m0，或m2。當m

4、0時，函數為yx2，圖象如圖1；當m2時，函數為yx01（x0），圖象如圖2。歸納總結：（1）冪函數yx的圖象恒過定點（1，1），且不過第四象限。（2）解決冪函數圖象問題，需把握兩個原則：冪指數的正負決定函數圖象在第一象限的升降；依據圖象確定冪指數與0，1的大小關系，在第一象限內，直線x1的右側，圖象由上到下，相應的指數由大變小。典例三：冪函數的性質應用比較下列各題中兩個值大小。解析：（1）在（0，）上是增函數，0.70.6，（2）在（0，）上是增函數，1.5g（x）；f（x）g（x）；f（x）1或xg（x）；當x1時，f（x）g（x）；當1x1且x0時，f（x）0（”或“”填空：（1）_；（

5、2）_。4. 函數y1的圖象關于x軸對稱的圖象大致是（）5. 函數y與函數yx1的圖象交點坐標為_。6. 函數yx3在區間4，2上的最小值是_。1. D 解析：y的定義域是R，值域是0，）。2. B 解析：由于0，故可排除選項A、D。根據冪函數的性質可知，當1時，冪函數的圖象在第一象限內向下凸，故排除選項C，只有選項B正確。3. 答案：（1）（2）解析：（1）冪函數y在（0，）上是增函數，且，。4. B 解析：y的圖象位于第一象限且為增函數，所以函數圖象是上升的，函數y1的圖象可看作由yx的圖象向下平移一個單位得到的（如選項A中的圖所示），將y1的圖象關于x軸對稱后即為選項B。5. 答案：（1

6、，1）解析：y與yx1有交點，則x1，x1，則y1。6. 答案：解析：函數yx3在（，0）上單調遞減，當x2時，ymin（2）3。函數的應用（1）重點一次函數、二次函數、冪函數的實際應用，基本不等式、函數求最值值域難點根據題意列函數表達式求最值值域考試要求考試 題型 選擇題、填空題和解答題。 難度 中等核心知識點一：名稱解析式條件一次函數模型ykxbk0反比例函數模型ybk0二次函數模型一般式：yax2bxc頂點式：yaa0冪函數模型yaxnba0典例一：一次二次函數實際問題某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁，為了緩解交通壓力，特修一條專用鐵路，用一列火車作為交通車，已知該車每次拖掛4節車廂，

7、一天能來回16次，如果該車每次拖掛7節車廂，則每天能來回10次。（1）若每天來回的次數是車頭每次拖掛車廂節數的一次函數，求此一次函數的解析式；（2）在（1）的條件下，每節車廂能載乘客110人。問這列火車每天來回多少次才能使運營人數最多？并求出每天最多運營人數。解析：（1）設每天來回y次，每次拖掛x節車廂，由題意設ykxb（k0），當x4時，y16，當x7時，y10，得到164kb，107kb，解得k2，b24，所以y2x24。（2）設每天來回y次，每次拖掛x節車廂，由題意知，每天拖掛車廂最多時，運營人數最多，設每天拖掛S節車廂，則y2x224x2（x6）272，所以當x6時，Smax72，此時

8、y12，則每日最多運營人數為110727 920（人）。故這列火車每天來回12次，才能使運營人數最多，每天最多運營人數為7 920?？偨Y提升：利用二次函數模型解決問題的方法在函數模型中，二次函數模型占有重要的地位。根據實際問題建立二次函數解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數的單調性等方法來求函數的最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等問題。典例二：分段函數模型的應用某服裝廠生產一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價為60元。該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價就降低0.02元。根據市場調查，銷售商一次訂購量不會超過

9、500件。（1）設一次訂購量為x件，服裝的實際出廠單價為P元，寫出函數Pf（x）的表達式。（2）當銷售商一次訂購450件服裝時，該服裝廠獲得的利潤是多少元？解析：（1）當0x100時，P60；當1000）模型為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系C（x）=（0x10），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。（1）求k的值及f（x）的表達式；（2）隔熱層修建多

10、厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值。解析：（1）由已知條件得C（0）8，則k40，因此f（x）6x20C（x）6x+（0x10）。（2）f（x）6x10+1021080-10=70（萬元），當且僅當6x10=，即x5時等號成立。所以當隔熱層厚度為5 cm時，總費用f（x）達到最小值，最小值為70萬元?？偨Y提升：應用函數yx（a0）模型的關鍵點（1）明確對勾函數是正比例函數f（x）ax與反比例函數f（x）疊加而成的。（2）解決實際問題時一般可以直接建立f（x）ax的模型，有時可以將所列函數解析式轉化為f（x）ax的形式。注意 （1）解決此類問題時一定要關注函數的定義域。（2）利用模型f（x

11、）ax求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件。解決實際應用問題的四大步驟（1）審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；（3）求模：求解數學模型，得出數學結論；（4）還原：將數學問題還原為實際問題。以上過程用框圖表示如下：（答題時間：30分鐘）1. 在x克a%的鹽水中，加入y克b%的鹽水，濃度變為c%，則x與y的函數關系式為（）A. yx B. yxC. yx D. yx2. 將進貨單價為8元的商品按10元一個銷售，每天乙商品所獲得的利潤分別為P（萬元）和Q（萬元），且它們

12、與投入資金x（萬元）的關系是：P，Q （a0）；若不管資金如何投放，經銷這兩種商品或其中的一種商品所獲得的純利潤總不少于5萬元，則a的最小值應為（）A. B. 5C. D. 3. 在物價飛速上漲的今天，某商品2016年零售價比2015年上漲25%，欲控制2017年比2015年只上漲10%，則2017年應比2016年降價（）A. 15% B. 12%C. 10% D. 8%4. 某電腦公司2015年的各項經營收入中，經營電腦配件的收入為400萬元，占全年經營總收入的40%。該公司預計2017年經營總收入要達到1 690萬元，且計劃從2015年到2017年，每年經營總收入的年增長率相同，2016年

13、預計經營總收入為_萬元。5. 長為4，寬為3的矩形，當長增加x，寬減少時，面積達到最大，此時x的值為_。6. 某水產養殖戶制作一體積為1200立方米的養殖網箱（無蓋），網箱內部被隔成體積相等的三塊長方體區域（如圖），網箱上底面的一邊長為20米，網箱的四周與隔欄的制作價格是200元/平方米，網箱底部的制作價格為90元/平方米。設網箱上底面的另一邊長為x米，網箱的制作總費用為y元。（1）求出y與x之間的函數關系，并指出定義域；（2）當網箱上底面的另一邊長x為多少米時，制作網箱的總費用最少。7. 為響應綠色出行，前段時間大連市在推出“共享單車”后，又推出“新能源分時租賃汽車”，其中一款新能源分時租賃

14、汽車，每次租車收費的標準由兩部分組成：根據行駛里程按1元/公里計費；行駛時間不超過40分鐘時，按0.12元/分鐘計費：超出部分按0.20元/分鐘計費，已知張先生家離上班地點15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次。由于堵車、紅路燈等因素，每次路上開車花費的時間（分鐘）是一個隨機變量?，F統計了100次路上開車花費時間，在各時間段內的頻數分布情況如下表所示：時間（分鐘）頻數4364020將各時間段發生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車的時間，范圍為分鐘。（1）寫出張先生一次租車費用（元）與用車時間（分鐘）的函數關系式：（2）若公司每月給900元的車補，請估計張先生每月（按24天計算）的

15、車補是否足夠上下班租用新能源分時租賃汽車？并說明理由。（同一時段，用該區間的中點值作代表）1. B 【解析】據題意有，所以，即axbycxcy，所以（bc）y（ca）x，所以yx。答案：B。點睛：應用問題首先要認真細致的審題，逐字逐句的讀題，把實際問題轉化為數學問題.首先根據提議設出未知數，根據各項造價表示出總造價建立函數模型，根據實際需要寫出函數的定義域，當把實際問題轉化為數學問題后，再利用數學知識解決函數問題，最后給出實際問題相應的答案。2. A 【解析】設投放萬元經銷甲商品，則經銷乙商品投放萬元，總利潤，令，則。，即對恒成立，而的最大值為，且時，也成立，。故選A。點睛：函數模型的應用，本

16、題要求學生對應用題型的題意把握準確，得到函數關系，由題意得，分離參數得，解得的最大值為，則。3. B 【解析】設2017年應比2016年降價x%，則（125%）（1x%）110%，解得x12。選B。4. 1300 【解析】因為從年到年，每年經營總收入的年增長率相同，所以可設年增長率為，則有，因此2016年預計經營總收入為（萬元），故答案為。5. 1【解析】由題意，S（4x），即Sx2x12，當x1時，S最大。6. （1），定義域為；（2）20；【解析】（1）隔欄與四周總面積為平方米，底部面積為20平方米，結合不同位置的價格即可的結果；（2），由可得，從而可得結果。詳解：（1）網箱的高為=米，由三塊區域面積相同可得隔欄與左右兩邊交點為三等分點，隔欄與四周總面積為平方米，底部面積為20平方米，則，定義域為；（2），由可得，當且僅當=即時等號成立，答：，定義域為；網箱上底面的另一邊長為多少20米時，制作網箱的總費用最少。點睛：本題主要考查閱讀能力、數學建模能力和化歸思想以及幾何概型概率公式，屬于難題。與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.解答本題題意的關鍵是：求出y與x