1、均勻帶電圓盤轉動下的磁場分布西南交通大學 機械工程學院 20090994 朱鵬飛摘要文章通過麥克斯韋方程導出電磁輻射公式在圓盤上任取一個帶電小圓環小圓環轉動形成電流電流產生電磁場利用場強疊加原理得整個帶電環產生的電磁場再計算整個圓盤繞對稱軸勻速轉動產生的電磁場并進行適當的討論，在此基礎上增加了數字模擬下的均勻帶電圓盤轉動下的磁場立體分布，并加以討論。關鍵詞均勻帶電圓盤 麥克斯韋方程 推遲勢 磁感應強度 引言人們在生活和生產中利用圓盤轉動數不勝數，這些圓盤一旦帶上電后就成為繞對稱軸轉動的均勻帶電圓盤，由于轉動產生電流，電流激電磁場.這種情況可看作若干環形線電荷所激發的電徽場的疊加，這是 電磁學中

2、的一個較重要的問題。本文采用矢勢對其進行求解.先通過 麥克斯韋方程，達朗貝爾方程和洛倫茲變換條件推導出了載流圓盤周圍空間的磁場分布完整的解析表達式。進而求解轉動帶電圓盤的磁場，并對結果講行討論.1原理和公式的推導1. 1波動方程繞對稱軸轉動在均勻帶電圓盤的電磁輻射場應滿足麥克斯韋方程組在真空中,取(1)式第一式的旋度并利用第二式及得: 同樣在(1)中消除電場，可得磁場的偏微分方程:1. 2電磁場的矢勢和標勢在恒定場中，由的無源性引入矢勢使:在變化情況下電場與磁場發生直接關系。因而電場的表達式必然包含矢勢在內，把(4)代入(1)第一式得: 該式表示是無旋場，因此它可以用標勢描述 因此，一般情況下

3、電場的表達式為:1. 3達朗貝爾方程及求解現在由麥克斯韋方程組推導矢勢和所滿足的基本方程，把(4)和(5)代入(1)中第二式和第三式并應用得:采用洛倫茲規范 由(6)和(7)式得: 用洛倫茲規范時，和的方程具有相同形式，其意義也特別明 顯。方程（8）稱為達朗貝爾方程，它是非齊次的波動方程，其自由項為電流密度和電荷密度。由(8)式，電荷產生標勢波動，電流產生矢勢波動。離開電荷電流分布區域后，矢勢和標勢都以波動形式在空間中傳播，由它們導出的電磁場和也以波動形式在空間中傳播.對(8)式進行求解得 2勻速轉動時的空間磁場2. 1推導矢勢表達式設圓盤在xoy平面，對稱軸為z軸，轉動的角速度恒定不變，圓盤

4、(厚度不計)均勻帶電，電量為Q，圓盤半徑為a，則電荷密度圖1薄圓盤勻速轉動時的空間電磁場在圓盤上任取一細圓環，設圓環的半徑r寬度為dr，則由于圓環轉動時產生的電流為：由定義可知，沿閉合回路流動的電流I在r點產生的矢勢為：對圓環電流I來說，由于對稱性，在以Z軸為中心的周圍(圓周Z=常數的平面內)上.任何一點，的大小A都應相同.因此，A應與方位角無關，為方便，我們求=0處點的，如圖所示，電流元的線元為：電流元到P點的距離為：式中為和之間的夾角。球坐標系中任意兩矢量與之間夾的公式為：令故將(12 ), (13), (15)代入(11)得：(16)式中于是（16)得：由圖可知，在球坐標電P點的，故可寫

5、作：利用幕級數：(20)式的分母利用幕級數展開，同時設P點在中、遠區，rr級數只取二級近似值： 把(21)式代入(20)式中得于是得：2.3求解磁感強度由(4)式計算磁感強度如下：其中由(23)式有由球坐標與直角坐標轉換公式： （25）可將結果表示成直角坐標下的磁場表達式： （26） 利用DTP平臺制作旋轉帶點盤磁場三維模型如下： 圖二 只畫兩個磁場面時 圖三 多磁場面時磁場分布3結果分析3.1在軸線上時，由式（25）可得 該關系在圖三中可清晰表示，在圓盤軸線上，隨其離圓盤距離增加，磁場線分布越稀少，磁場強度越小，在圓盤中心附近磁場線密集，則此時磁場強度很大.3.2在z=0平面上時，由式（25

6、）可得在圓盤上的磁場在圖三中也可清晰表示，在盤上磁場方向豎直向下，磁場在半徑小時分布密集，磁場強度很大，而半徑增大時，磁場分布稀少，磁場強度較小，磁場大小隨半徑增大而減小。3.3由數字模擬的結果可判斷空間任意一點的磁場方向并間接由該點磁場密集程度判斷磁場強度.3. 3適用條件本文的理論僅適合圓盤移去負電荷后成為的帶正電體，對于由多余電子形成帶負電體不適用，因為電子在高速轉動時電荷會重新分布.另外，也只適用離圓心較遠的空間，即討論中、遠區的電磁輻射場，即只使用于的情況，a越大，電磁場強度越大，離圓心o越遠，電磁場強度越小，在無窮遠處磁感應強度為o. 3.4結論由(23)式及以上討論，并結合圖2、圖3可知，繞均勻帶電圓盤對稱軸勻速轉動時產生的電磁場是一個相當于一個平面螺線管產生的電磁場，為穩恒磁場，沒有輻射的電磁場。4討論通過數字模擬的方式實現了磁場的可視化，進而將磁場的各項性質同時表達于一個圖中，這種方式將復雜的公式與變量關系可視化，在物理教學于物理學習中至關重要。通過圖三一圖就可將整個數學模型清晰描述，這是其他任何工具都無法