1、 回顧與復習 1.我們已經學過了幾種解一元二次方程 的方法? 2.什么叫分解因式? 把一個多項式分解成幾個整式乘積 的形式叫做分解因式. 直接開平方法 配方法 x2=a (a0) (x+m)2=n (n0) 公式法 .04. 2 4 2 2 acb a acbb x 分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: （2）公式法: （3）十字相乘法: am+bm+cm=m(a+b+c). a2-b2=(a+b)(a-b), a22ab+b2=(ab)2. x2+(a+b)x+ab= 1 1 b a (x+a)(x+b). 回顧與復習 實際問題 根據物理學規律，如果把根據物理學規律，如果把 一個物體

2、從地面一個物體從地面 10 m/s 的速度的速度 豎直上拋，那么經過豎直上拋，那么經過 x s 物體離物體離 地面的高度（單位：地面的高度（單位：m）為）為 設物體設物體經過經過 x s 落回地面，這時它落回地面，這時它 離地面的高度為離地面的高度為 0 ，即，即 2 104.9xx 根據這個規律求出物體經過多少秒落回地面？根據這個規律求出物體經過多少秒落回地面？ （精確到（精確到 0.01 s） 提示提示 2 104.90 xx 2 104.90 xx 解：解： 2 100 0 49 xx 22 2 1005050 0 494949 xx 22 5050 4949 x 5050 4949 x

3、 5050 4949 x 1 100 49 x ， 2 0 x 配方法配方法公式法公式法 2 104.90 xx 解：解： 2 4.9100 xx a = 4.9，b =10，c = 0 a acbb x 2 4 2 1010 2 4.9 b24ac = (10)244.90=100 1 100 49 x ， 2 0 x 104.9x 09 .410 x 2 104.90 xx 因式分解因式分解 如果如果a b = 0， 那么那么 a = 0或或 b = 0。 x0 0 x , 0 1 x04. 2 49 100 2 x 兩個因式乘積為兩個因式乘積為 0，說明什么，說明什么 或或 降次，化為兩

4、個一次方程降次，化為兩個一次方程 解兩個一次方程，得出原方程的根解兩個一次方程，得出原方程的根 這種解法是不是這種解法是不是 很簡單？很簡單？ 探究探究 可以發現，上述解法中，由到的過程，不是用開 方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘 積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而 實現降次，這種解法叫做因式分解法 以上解方程 的方法 是如何使二次方程降為一次的？ 09.410 xx 09.410 xx 0104.90,xx或 以上解方程以上解方程的方法是如何使二次方程降為一次的的方法是如何使二次方程降為一次的? 可以發現可以發現,上述解法中上述解法中,由由到到的過程的過程,不是用

5、不是用 開平方降次開平方降次,而是先因式分解使方程化為兩個一次而是先因式分解使方程化為兩個一次 式的乘積等于式的乘積等于0的形式的形式,再使這兩個一次式分別等于再使這兩個一次式分別等于 0,從而實現降次從而實現降次.這種解法叫做這種解法叫做因式分解法因式分解法. w提示提示: : 1.1.用用分解因式法分解因式法的的條件條件是是: :方程左邊易于分解方程左邊易于分解, ,而右邊而右邊 等于零等于零; ; 2.2.關鍵關鍵是熟練掌握因式分解的知識是熟練掌握因式分解的知識; ; 3.3.理論理論依舊是依舊是“ab=0,則則a=0或或b=0 ” . 4 3 2 4 1 25)2( ; 02)2()1

6、 ( :.3 22 xxxx xxx 解下列方程例 w分解因式法解一元二次方程的步驟是分解因式法解一元二次方程的步驟是: 2. 將方程將方程左邊左邊因式分解為因式分解為AB; 3. 根據根據“ab=0,則則a=0或或b=0”,轉化為兩個一元一次方程轉化為兩個一元一次方程. 4. 分別解這分別解這兩個兩個一元一次方程，它們的根就是原方程的根一元一次方程，它們的根就是原方程的根. 1.將方程將方程右邊等于右邊等于0; 可以試用 多種方法解 本例中的兩 個方程 . 例3 解下列方程： 22 1220; 13 2522. 44 x xx xxxx 解：（1）因式分解，得 于是得 x20或x1=0, x

7、1=2，x2=1. (2)移項、合并同類項，得 2 410.x 因式分解，得 ( 2x1)( 2x1 )=0. 于是得 2x1=0或2x1=0, 12 11 ,. 22 xx (x2)(x1)=0. 可以試用 多種方法解 本例中的兩 個方程 . 1.解下列方程： 解： 因式分解，得 （1） x2+x=0 x ( x+1 ) = 0. 得 x = 0 或 x + 1 =0， x1=0 , x2=1. 2 22 30 xx 解：因式分解，得 2 30.x x 02 30,xx得或 12 0,2 3.xx 練習 .)25()4( )6( ; 24)12(3 )5( ; 01214 )4( ; 363

8、 )3( ; 032 (2) ; 0 1 222 222 xxxxxx xxxxxx ）（ 22 3363,441210 xxx 解：化為一般式為 因式分解，得 x22x+1 = 0. ( x1 )( x1 ) = 0. 有 x 1 = 0 或 x 1 = 0， x1=x2=1. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x 11= 0， 12 1111 ,. 22 xx 22 5321426452xxxxx 解：化為一般式為 因式分解，得 6x2 x 2 = 0. ( 3x 2 )( 2x + 1 ) = 0. 有 3x 2 =

9、0 或 2x + 1 = 0， 12 21 ,. 32 xx 解：變形有 因式分解，得 ( x 4 ) 2 ( 5 2x )2=0. ( x 4 5 + 2x )( x 4 + 5 2x ) = 0. ( 3x 9 )( 1 x ) = 0. 有 3x 9 = 0 或 1 x = 0， x1 = 3 , x2 = 1. 2.把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增 加了一倍，求小圓形場地的半徑 解：設小圓形場地的半徑為r 根據題意 ( r + 5 )2=2r2. 因式分解，得 52520.rrrr 于是得250250.rrrr或 12 55 ,(). 2112 rr 舍去 答：小圓

10、形場地的半徑是 5 . 21 m w分解因式法解一元二次方程的步驟是: 1. 將方程左邊因式分解，右邊等于0; 2. 根據“至少有一個因式為零”,轉化為兩個 一元一次方程. 3. 分別解兩個一元一次方程，它們的根就 是原方程的根. 用因式分解法解一元二次方程的步驟用因式分解法解一元二次方程的步驟 1. 方程右邊化為方程右邊化為_。 2. 將方程左邊分解成兩個將方程左邊分解成兩個_的乘積。的乘積。 3. 至少至少_因式為零，得到兩個一元一次因式為零，得到兩個一元一次 方程。方程。 4. 兩個兩個_就是原方程的根。就是原方程的根。 零 一次因式 有一個 一元一次方程的解 AB = 0 （ A、B

11、表示兩個因式）表示兩個因式） A = 0 或或 B = 0 課前練習 3 (2)5(2)x xx（2） （3）x24 = 0 （4）(3x1)25 = 0 （1）2x24x 2 = 0 （1）2x24x 2 = 0 x1 = 解：因式分解，得解：因式分解，得 2 (x1) 2 x1 = 0 = 0 或或 x2 = 1 x1 = 0 分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: （2）公式法: am+bm+cm=m(a+b+c). a2-b2=(a+b)(a-b), a22ab+b2=(ab)2. 3 (2)5(2)x xx（2） 解：移項，得解：移項，得35(2)()02x xx 因式分解，得

12、因式分解，得(2)x 0 (35)x x2 = 0 或或 3x5 = 0 x1 =2 ， ， x 2 = 5 3 （3）x24 = 0 解：因式分解，得解：因式分解，得 (x2) x2 = 0 x1 = 2， (x2) = 0 或或x2 = 0 x2 = 2 （4）(3x1)25 = 0 315x 315x = 0 或或 1 15 3 x， 2 15 3 x 解：因式分解，得解：因式分解，得 3150 x 3150 x 你學過一元二次方程的哪些解法你學過一元二次方程的哪些解法? ? 因式分解法因式分解法 開平方法開平方法 配方法配方法 公式法公式法 你能說出每一種解法的特點嗎你能說出每一種解法

13、的特點嗎? ? 方程的左邊是完全平方式方程的左邊是完全平方式, ,右邊是非右邊是非 負數負數; ;即形如即形如x x2 2=a=a(a0)(a0) 1212 xa,xaxa,xa 1. 1.化化1: 1:把二次項系數化為把二次項系數化為1 1; ; 2.2.移項移項: :把常數項移到方程的右邊把常數項移到方程的右邊; ; 3.3.配方配方: :方程兩邊同加方程兩邊同加一次項系數一次項系數 一半的平方一半的平方; ; 4.4.變形變形: :化成化成 5.5.開平方開平方，求解求解 ( (x xm m ) )a a+ += = 2 2 “配方法配方法”解方程的基本步驟解方程的基本步驟 一除、二移、

14、三配、四化、五解一除、二移、三配、四化、五解. . 用用公式法公式法解一元二次方程的解一元二次方程的前提前提是是: : 1. 1.必需是一般形式的一元二次方程必需是一般形式的一元二次方程: : ax ax2 2+bx+c=0(a0).+bx+c=0(a0). 2.b2.b2 2-4ac0.-4ac0. . .0 04 4a ac cb b. . 2 2a a 4 4a ac cb bb b x x 2 2 2 2 1.1.用因式分解法的用因式分解法的條件條件是是: :方程左邊能夠方程左邊能夠 分解分解, ,而右邊等于零而右邊等于零; ; 2.2.理論理論依據依據是是: :如果兩個因式的積等于零

15、如果兩個因式的積等于零 那么至少有一個因式等于零那么至少有一個因式等于零. . 因式分解法解一元二次方程的一般因式分解法解一元二次方程的一般步驟步驟: : 一移一移-方程的右邊方程的右邊=0;=0; 二分二分-方程的左邊因式分解方程的左邊因式分解; ; 三化三化-方程化為兩個一元一次方程方程化為兩個一元一次方程; ; 四解四解-寫出方程兩個解寫出方程兩個解; ; 請用四種方法解下列方程請用四種方法解下列方程: : 4(x 4(x1)1)2 2 = (2x = (2x5)5)2 2 先考慮開平方法先考慮開平方法, , 再用因式分解法再用因式分解法; ; 最后才用公式法和配方法最后才用公式法和配方

16、法; ; 3.3.公式法公式法： 2 2 1.22 2.530 按按要要求求解解下下列列方方程程： 因因式式分分解解法法： 3 3 配配方方法法： 2 2 xx x xx 2 11 2112 2 xx yyy 總結：方程中有括號時，應總結：方程中有括號時，應先用整體思想先用整體思想考慮有沒考慮有沒 有簡單方法，若看不出合適的方法時，則把它去括有簡單方法，若看不出合適的方法時，則把它去括 號并整理為一般形式再選取合理的方法。號并整理為一般形式再選取合理的方法。 x x2 2-3x+1=0 -3x+1=0 3x 3x2 2-1=0 -1=0 -3t -3t2 2+t=0 +t=0 x x2 2-4

17、x=2 -4x=2 2x 2x2 2x=0 x=0 5(m+2) 5(m+2)2 2=8=8 3y 3y2 2-y-1=0 -y-1=0 2x 2x2 2+4x-1=0 +4x-1=0 (x-2) (x-2)2 2=2(x-2)=2(x-2) 適合運用直接開平方法適合運用直接開平方法 ； 適合運用因式分解法適合運用因式分解法 ； 適合運用公式法適合運用公式法 ； 適合運用配方法適合運用配方法 . . 一般地，當一元二次方程一次項系數為一般地，當一元二次方程一次項系數為0 0時時 （axax2 2+c=0+c=0），應選用），應選用直接開平方法直接開平方法； 若常數項為若常數項為0 0（ axa

18、x2 2+bx=0+bx=0），應選用），應選用因式分解法；因式分解法； 若一次項系數和常數項都不為若一次項系數和常數項都不為0 (0 (axax2 2+bx+c=0+bx+c=0），）， 先化為一般式，看一邊的整式是否容易因式分解，先化為一般式，看一邊的整式是否容易因式分解， 若容易，宜選用因式分解法，不然選用若容易，宜選用因式分解法，不然選用公式法公式法； 不過當二次項系數是不過當二次項系數是1 1，且一次項系數是偶數時，且一次項系數是偶數時， 用配方法也較簡單。用配方法也較簡單。 我的發現 用最好的方法求解下列方程用最好的方法求解下列方程 1)1)（3x-23x-2）-49=0 -49=

19、0 2 2) )（3x-43x-4）= =（4x-34x-3） 3) 4y=13) 4y=1 y y 3 2 選擇適當的方法解下列方程選擇適當的方法解下列方程: : x x2 22 21 1) )1 1) )( (x x( (x x8 81 1) )( (3 3x x1 1) )( (2 2x x7 7 8 8 4 49 9 7 7) )x x( (2 2x x6 6 2 2x x7 7) )x x( (3 3x x5 5 9 9x x2 2) )( (x x4 4 4 4x x1 13 3x x3 3 2 2x x5 5x x2 2 1 1x x 2 25 5 1 16 6 1 1 2 22

20、 2 2 22 22 2 2 22 2 選用適當的方法解一元二次方程選用適當的方法解一元二次方程 1.解一元二次方程的方法有：解一元二次方程的方法有： 因式分解法因式分解法 直接開平方法直接開平方法 公式法公式法 配方法配方法 5x5x2 2-3 x=0 -3 x=0 3x 3x2 2-2=0 -2=0 x x2 2-4x=6 -4x=6 2x 2x2 2-x-3=0-x-3=0 2x 2x2 2+7x-7=0+7x-7=0 2 2.引例：給下列方程選擇較簡便的方法引例：給下列方程選擇較簡便的方法 （運用因式分解法）（運用因式分解法） （運用直接開平方法）（運用直接開平方法） （運用配方法）（

21、運用配方法） （運用公式法）（運用公式法） （運用公式法）（運用公式法） （方程一邊是（方程一邊是0，另一邊整式容易因式分解），另一邊整式容易因式分解） （ ( )( )2 2=C C0=C C0 ） (化方程為一般式）化方程為一般式） （二次項系數為（二次項系數為1，而一次項系為偶數），而一次項系為偶數） 公式法雖然是萬能的，對任何一元二次方程都適用，公式法雖然是萬能的，對任何一元二次方程都適用， 但不一定是最簡單的，因此在解方程時我們首先考慮能但不一定是最簡單的，因此在解方程時我們首先考慮能 否應用否應用“直接開平方法直接開平方法”、“因式分解法因式分解法”等簡單方法，等簡單方法， 若不行，再考慮公式法（適當也可考慮配方法）若不行，再考慮公式法（適當也可考慮配方法） 2、用適當方法解下列方程、用適當方法解下列方程 -5x-5x2 2-7x+6=0-7x+6=0 2x 2x2 2+7x-4=0+7x-4=0 4(t+2 ) 4(t+2 )2 2=3=3 x x2 2+2x-9999