1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用 2018年3月 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 知識(shí)回顧： 1. an為等差數(shù)列為等差數(shù)列 . ， an= ， 更一般的，更一般的，an= ，d= . a n+1 - an=d2a n+1 =a n+2 +an a1+(n-1)dan=an+b a、b為常數(shù)為常數(shù) am+(n-m)d mn aa mn 2 )( 1n aan d nn na 2 )1( 1 2.等差數(shù)列前n 項(xiàng)和Sn = = . 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)： 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 2 )( 1n n aan S 2 ) 1( 1 dnn n

2、aS n 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 1、通項(xiàng)公式與前、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系：項(xiàng)和的關(guān)系： nnS n 2 1 2 例例1、已知數(shù)列、已知數(shù)列a n的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和 為為 ，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng) 公式。這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，公式。這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是， 它的首項(xiàng)與公差分別是什么？它的首項(xiàng)與公差分別是什么？ 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 分析：分析： nnn aaaaaS 1321 ) 1( 13211 naaaaS nn 所以當(dāng)所以當(dāng)n 1時(shí)，時(shí)， 2 1 2)1( 2 1 ) 1( 2 1 22 1 nnnnnSSa nnn 當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，時(shí)， 2 3

3、11 Sa也滿足上式。也滿足上式。 因而，數(shù)列因而，數(shù)列 n a是一個(gè)首項(xiàng)為是一個(gè)首項(xiàng)為 2 3 ，公差為，公差為2的等差數(shù)列。的等差數(shù)列。 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 注：由上例得注：由上例得S n與與 n a之間的關(guān)系：之間的關(guān)系： 由由 n S的定義可知，當(dāng)?shù)亩x可知，當(dāng)n = 1時(shí)，時(shí)， 11 aS 當(dāng)當(dāng)n 2時(shí)，時(shí)， 1 nnn SSa )2( ) 1( 1 1 nSS nS a nn n 即 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 新課1 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 n a 2 n Spnqnr 0p 探究：如果一個(gè)數(shù)列探究：如果一個(gè)數(shù)列的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 ，其中，其中p、q、r為常數(shù)，且

4、為常數(shù)，且 ，那么這個(gè)數(shù)列一定是，那么這個(gè)數(shù)列一定是 等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是多少？等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是多少？ 1nnn aSS 2 n Spnqnr 11 Sapqr 分析：由分析：由 ，得，得 令令p + q + r = 2p (p + q)，得，得r = 0。 時(shí)當(dāng)2n 22 () (1)(1)pnqnrp nq nr2()pnpq = = n a所以當(dāng)所以當(dāng)r = 0時(shí)，數(shù)列時(shí)，數(shù)列 是等差數(shù)列，首項(xiàng)是等差數(shù)列，首項(xiàng)a 1 = p + q， pqpnpqppnaad nn 2)() 1(2)(2 1 公差 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 有有最最大大值值

5、 n Sda, 0, 0 1 0 0 1n n a a 有有最最小小值值 n Sda, 0, 0 1 0 0 1n n a a 2 , n SAnBn二、配方，看對(duì)稱軸 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題項(xiàng)的最值問(wèn)題 一、 11 =0 mmm SSa 三、特別的 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 例題：已知等差數(shù)列例題：已知等差數(shù)列 的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 為為 ，求使得，求使得 最大的序號(hào)最大的序號(hào) n 的值。的值。 n S 7 4 3 , 7 2 4 , 5 n S 的的值值。二二次次函函數(shù)數(shù)來(lái)來(lái)求求 以以利利用用一一些些點(diǎn)點(diǎn)。因因此此，我我們們可可的的圖圖象象是是一一條條拋拋物物線線的的

6、關(guān)關(guān)于于，容容易易知知道道時(shí)時(shí)的的函函數(shù)數(shù)值值。另另一一方方面面當(dāng)當(dāng) 可可以以看看成成函函數(shù)數(shù)，所所以以 項(xiàng)項(xiàng)和和公公式式可可以以寫寫成成等等差差數(shù)數(shù)列列的的前前 n n SnxNx x d ax d ySn d a n d Sn n n n )( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 1 2 1 2 分析：分析： 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題項(xiàng)的最值問(wèn)題 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 1：數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列， 1 50,0.6ad （1）從第幾項(xiàng)開(kāi)始有）從第幾項(xiàng)開(kāi)始有0 n a （2）求此數(shù)列前）求此數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值項(xiàng)和的最大值 練習(xí)： 1011 2 nS =S n n1

7、，設(shè)為等差數(shù)列a ，公差d=-2， S 為其前 項(xiàng)和，若則a 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 有有最最大大值值 n Sda, 0, 0 1 0 0 1n n a a 有有最最小小值值 n Sda, 0, 0 1 0 0 1n n a a 配方，看對(duì)稱軸配方，看對(duì)稱軸, 2 BnAnSn 小結(jié)：小結(jié)：aan n 為等差數(shù)列，求為等差數(shù)列，求S Sn n的最值。的最值。 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n 取何值時(shí)取何值時(shí),Sn取最大值取最大值. 解法解法1由由S3=S11得得 11 3 133211 1311 10 22 dd d=2 1

8、 13(1) ( 2) 2 n Snn n 2 14nn 2 (7)49n 當(dāng)當(dāng)n=7時(shí)時(shí),Sn取最大值取最大值49. 7 n 1 1 3 S n 能力提升 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n 取何值時(shí)取何值時(shí),Sn取最大值取最大值. 解法解法2由由S3=S11得得d=2 當(dāng)當(dāng)n=7時(shí)時(shí),Sn取最大值取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15 由由 1 0 0 n n a a 得得 15 2 13 2 n n 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n 取何值時(shí)

9、取何值時(shí),Sn取最大值取最大值. 解法解法3由由S3=S11得得d=20,S130 13a1+136d0 24 3 7 d 等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 (2) 1 1 (1) 2 n Snan nd 1 (122 )(1) 2 ndn nd 2 5 (12) 22 dd nn Sn圖象的對(duì)稱軸為圖象的對(duì)稱軸為 512 2 n d 由由(1)知知 24 3 7 d 由上得由上得 51213 6 22d 13 6 2 n即即 由于由于n為正整數(shù)為正整數(shù),所以當(dāng)所以當(dāng)n=6時(shí)時(shí)Sn有最大值有最大值. Sn有最大值有最大值. 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用

10、作業(yè)作業(yè) 求集合求集合 的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和. . 60, 12 mNnnmmM 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 作業(yè)作業(yè) 1 1、已知等差數(shù)列、已知等差數(shù)列25,21,19, 25,21,19, 的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn, ,求使求使 得得Sn最大的序號(hào)最大的序號(hào)n的值的值. . 2 2：已知在等差數(shù)列：已知在等差數(shù)列 an n 中中, ,a10=23, , a25=-22 , ,Sn為其前為其前n項(xiàng)和項(xiàng)和. . （1 1）問(wèn)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)？）問(wèn)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)？ （2 2）求）求S10 （3 3）求使）求使 Sn0的最小的正整數(shù)的最小的正整數(shù)

11、n. . (4) (4) 求求| |a1 1|+|+|a2 2|+|+|a3 3|+|+|+|a20 20| |的值 的值 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 1.1.根據(jù)等差數(shù)列前根據(jù)等差數(shù)列前n n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式. . 1 1 1 2 n nn an a SSn 2 2、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求 的最值的最值. . n d an d Sn) 2 ( 2 1 2 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 3.等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差數(shù)列也在等差數(shù)列, 公差為公差為 在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中

12、,其前其前n項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為Sn,則有則有 性質(zhì)性質(zhì)2:若若Sm=p,Sp=m(mp),則則Sm+p= 性質(zhì)性質(zhì)3:若若Sm=Sp (mp),則則 Sp+m= 性質(zhì)性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則則 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1為中為中 間兩項(xiàng)間兩項(xiàng)), 此時(shí)有此時(shí)有:S偶 偶 S奇 奇= , S S 奇奇 偶偶 n2d 0 nd 1 n n a a (m+p) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 性質(zhì)性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1,則則 S2n-1=(2n 1)an (an為中間項(xiàng)為中間項(xiàng)), 此時(shí)有此時(shí)有:S偶 偶 S奇 奇= ,

13、S S 奇奇 偶偶 兩等差數(shù)列前兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系 性質(zhì)性質(zhì)6:若數(shù)列若數(shù)列an與與bn都是等差數(shù)列都是等差數(shù)列,且且 前前n項(xiàng)的和分別為項(xiàng)的和分別為Sn和和Tn,則則 n n a b 性質(zhì)性質(zhì)5: 為等差數(shù)列為等差數(shù)列. n S n an 1 n n 21 21 n n S T 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 新課5 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 倒序法求和倒序法求和 倒序相加法：倒序相加法：將數(shù)列的順序倒過(guò)來(lái)排列，與原數(shù)列兩式將數(shù)列的順序倒過(guò)來(lái)排列，與原數(shù)列兩式 相加，若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，這相加，若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，這 樣的數(shù)列

14、可用倒序相加法求和。樣的數(shù)列可用倒序相加法求和。 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 倒序法求和倒序法求和 22 1 )( x xf 23 例例1.1.若若 )6()5()4()5(ffff ，則，則 的值為的值為 。 22 1 )( x xf x x x xf 222 2 22 1 )1 ( 1x x 22 2 2 1 2 2 22 2 2 1 1 )1 ()( x x xfxf 【解析】【解析】 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 裂項(xiàng)法求和裂項(xiàng)法求和 一些常用的裂項(xiàng)公式一些常用的裂項(xiàng)公式: : 1 1 ) 1 ( nn 12) 12( 1 )2( nn )2( 1 )3( nn nn 1 1 )4( 1

15、 11 nn ) 12 1 12 1 ( nn 2 1 nn1) 2 11 ( nn 2 1 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 1111 2. 11 21 231 2 n S n 例 求的值 解解： n an 21 1 設(shè)設(shè) )1( 2 nn ) 1 11 (2 nn ) 1 11 () 1 1 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1(2 nnnn 1 2 2) 1 1 1(2 nn Sn )1( 2 )1( 2 32 2 21 2 nnnn Sn 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 利用數(shù)列周期性求和利用數(shù)列周期性求和 有的數(shù)列是周期數(shù)列，把握了數(shù)列的周期則可順利求和有的數(shù)列是周期數(shù)列，把握了數(shù)列的周

16、期則可順利求和. .關(guān)關(guān) 鍵之處是尋找周期。鍵之處是尋找周期。 n a nnn aaaaaa 12321 , 2, 3, 1 2002 S 例例3 3：在數(shù)列：在數(shù)列中，中， 求求 nnn aaaaaa 12321 , 2, 3, 1 , 2, 3, 1 654 aaa , 2, 3, 1, 2, 3, 1 121110987 aaaaaa 解：由解：由 可得可得 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 利用數(shù)列周期性求和利用數(shù)列周期性求和 2, 3, 1, 2, 3, 1 665646362616 kkkkkk aaaaaa 0 665646362616 kkkkkk aaaaaa 2002 S)()()( 66261612876321 kkk aaaaaaaaaa 2002200120001999199819941993 )(aaaaaaa 2002200120001999 aaaa 5 4321 aaaa 而而 等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用 例例4 4：求和：求和 其它方法求和其它方法求和 合合 并 并 求 求 和 和 法 法 ) 12() 1(531n n 解：設(shè)解：設(shè)) 12() 1(531nS n n 當(dāng)當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2kn=2k，則，則 ) 14()34(531 2 kkS k )14