1、周期信號的傅立葉級數表示 第3章周期信號的傅立葉級數表示 本章在討論復指數信號作為LTI系統特征函數的基礎上， 引出了時域周期信號可以看作復指數諧波信號的線性組合， 即周期信號的頻域分析傅立葉級數，給出了周期信號 的頻譜圖表示方法，它與周期信號的時域波形表示是一一 對應的。周期信號的傅立葉級數表示是后續展開對非周期 信號頻域分析的基礎。 周期信號的傅立葉級數表示 本章內容： LTI系統的特征函數與特征值； 周期信號的傅立葉級數表示； 周期性矩形脈沖信號的頻譜； 傅立葉級數的性質； LTI系統對周期信號的響應。 周期信號的傅立葉級數表示 3.1 歷史回顧 1822年,法國科學家傅立葉在研究熱傳導

2、理論時發表了”熱 的分析理論”,提出并證明了將周期函數展開為正弦級數 的原理,奠定了傅立葉級數的理論基礎. 泊松，高斯等人把這一成果應用到電學中去，得到廣泛應 用 進入世紀以后，諧振電路，濾波器，正弦振蕩器等一系 列具體問題的解決為正弦函數與傅立葉分析的進一步應用 開辟了廣闊的前景 在通信與控制系統的理論研究和工程實際應用中，傅立葉 變換法具有很多的優點 快速傅立葉變換為傅立葉分析法賦予了新的生命力 周期信號的傅立葉級數表示 3.2 LTI系統對復指數信號的響應 如果一個LTI系統的單位沖激響應或單位脈沖響應是)(nh或 )(th，當系統的輸入是復指數信號 n Z 或 st e ，則由時域卷積

3、 系統的輸出是：可得 ( )( ) st y tHs e()( ) n y nHz Z 其中：( )H s是單位沖激響應 st e 和 的積分 ( )H z 也是單位脈沖響應和特征函數的求和 周期信號的傅立葉級數表示 信號的分解 ( ) k s t K k x tA e ( ) n kK k x nA Z 根據系統的線性特性，則系統的輸出 ( )() k s t kK k y tH sA e ( )() n kKK k y nH zA Z 復指數信號是唯一能成為一切LTI系統的特征函數的信號， 與之對應的特征值。 ( )H s ( )H z 周期信號的傅立葉級數表示 對于時域的任何一個信號或者

4、，若能表示成為下列形式： 因為：利用系統的齊次性和疊加性 則： 同理： 這就是周期信號進行頻域分解的基本出發點。 周期信號的傅立葉級數表示 3.3連續時間周期信號的傅立葉級數表示 3.3.1 成諧波關系的復指數信號的線性組合 0 ( ) jt K k x tA e 0 0 2 T 該信號集中有無窮多個諧波分量，其中每個信號分量都是 以為周期的，其公共周期為且該集合中所有 信號都是彼此獨立的。 周期信號的傅立葉級數表示 上式就是的傅里葉級數，這表明用傅里葉級數可以表 示連續時間周期信號。 即：連續時間周期信號可以分解成無數多個諧波分量。 一般來說，周期信號都可以表示為： 例： 在這一信號中有四個

5、諧波分量，。 周期信號的傅立葉級數表示 在傅里葉級數中，各個信號分量（諧波分量）間的區別也 僅僅是幅度（可以是復數）和頻率不同。因此，可以用一 根線段來表示某個分量的幅度，線段的位置表示相應的頻 率。 周期信號的傅立葉級數表示 3.3.2 連續時間周期信號傅立葉級數表示的確定 當一個給定的信號能表示成級數的形式,就需要一種辦法來 確定系數. 若 0 ( ) jkt k k x ta e 0 0 0 1 ( ) jkt k T ax t edt T 系數往往稱為頻譜系數，是對信號中的每一個諧波分量的大 小作出的度量。 k a 周期信號的傅立葉級數表示 如果周期信號可以表示為傅里葉級數： 則： 兩

6、邊同時在一個周期內積分，有 周期信號的傅立葉級數表示 所以： 在確定上述積分時，只要積分區間是一個周期即可，對積分區 間的起止并無特別要求，因此可表示為： 為傅立葉級數的系數或頻譜系數，因為它是對信號中的每 一個諧波分量的大小作出的度量。 即是信號在一個周期內的平均值，也就是信號的直流分量。 周期信號的傅立葉級數表示 針對不同的信號，其不一樣，則頻譜圖不同.頻譜圖繪 出了信號的頻譜特性，如信號由那些諧波分量構成；分量 的大小，分布等信息。它與信號的時域波形表示二者是等 價的。 周期信號的傅立葉級數表示 例例 ： ),306cos(8 . 0)453cos(4 . 0 )202cos(2)10c

7、os(31)( tt tttf 試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。 解解 f(t)為周期信號，題中所給的f(t)表達式可視為f(t)的傅里葉 級數展開式。據 1 0 )cos( 2 )( n nn tnA A tf 可知，其基波頻率=(rad/s)，基本周期T=2s，=2、3、6 分別為二、三、六次諧波頻率。且有 周期信號的傅立葉級數表示 8 . 0 4 . 0 6 3 A A 30 45 6 3 其余 0 n A 2 3 2 1 A A 1 2 0 A 20 10 0 2 1 1 周期信號的傅立葉級數表示 圖圖 ：信號的頻譜：信號的頻譜 振幅譜；振幅譜； (a) (b) 相位譜相位譜 An o

8、23456 (a) 3 2 1 n o23456 (b) 15 30 45 10 20 45 30 3 2 0.4 0.8 周期信號的傅立葉級數表示 圖信號的雙 邊頻譜 (a)振幅譜； (b)相位譜 |Fn| o 23456 (a) 1 2 1.5 1 0.2 0.4 1.5 1 0.2 0.4 3 4 5 6 n o 23456 15 30 45 10 20 45 30 15 30 45 10 20 45 30 2 3 4 5 6 2 (b) 周期信號的傅立葉級數表示 3.4 傅立葉級數的收斂 若周期信號是它在一個周期內的能量有限信號，則所求到 的諸系數是有限值 k a ( )x t 也就是

9、說當在一個周期內具有有限能量就保證收斂 ( )x t 狄里赫利條件： 在任何周期內， ( )x t 必須絕對可積 在任意有限區間內，具有有限個起伏變化( )x t 在任何有限區間內，只有有限個不連續點，而且在 這些不連續點上，函數是有限值 ( )x t 周期信號的傅立葉級數表示 傅立葉級數收斂的條件： 連續周期信號的傅立葉級數表達式是一個無窮 級數，其收斂條件有兩組。 A 在一個周期內平方可積。 B 滿足狄里赫利條件。 ( )x t 周期信號的傅立葉級數表示 3.5 連續時間傅里葉級數的性質 這些性質的學習，有助于對概念的理解對信號的傅里葉級 數展開。 1、線性 若 、 都是以T為周期的信號，

10、且： 則： 周期信號的傅立葉級數表示 2、時移 3、反轉 推論：若 為偶函數，即 ，則 ； 若 為奇函數，則 ； 周期信號的傅立葉級數表示 4、尺度變換 ， 以T為周期，對 ，若 ， 則 以 為周期，若其傅里葉系數為 ，則： 令 ，當 在 變化時， 從 變化，于是： 雖然傅里葉級數的系數沒變，但基波頻率變化了。 周期信號的傅立葉級數表示 5、相乘 ， 均以T為周期, ,則： 周期信號的傅立葉級數表示 3.6離散時間周期信號的傅里葉級數表示離散時間周期信號的傅里葉級數表示 一、離散時間傅里葉級數（DFS） 成諧波關系的復指數信號集如下: 該信號集中每一個信號都以N為周期，且該集合中只有N個信號

11、是彼此獨立的。 將這N個獨立的信號線性組合起來，一定能表示一個以N為周 期的序列。即： 周期信號的傅立葉級數表示 其中k為N個相連的整數。這一表達式就稱為離散時間傅里葉級 數（DFS），其中 也稱為周期信號 的頻譜。 二、傅里葉級數系數的確定 由 兩邊同乘以 ，得 顯然 仍是以 N 為周期的，兩邊對n在一個周期內求和： 周期信號的傅立葉級數表示 而： 周期信號的傅立葉級數表示 即： 或 顯然上式滿足 ，即 也是以N為周期的，或者 說 中只有N個是獨立的。 對實信號同樣有： 。 周期信號的傅立葉級數表示 三、DFS的收斂 DFS是一個有限項的級數，確定 的關系式也是有限項的和 式，因而不存在收斂

12、問題 。 3.7DFS的性質的性質 一、相乘 若 、 都是以N為周期的信號，且： 則 周期卷積 周期信號的傅立葉級數表示 二、差分 三、Passival定理 上式表明：一個周期信號的平均功率等于它的所有的諧 波分量的平均功率之和。 周期信號的傅立葉級數表示 3.8傅里葉級數與傅里葉級數與LTI系統系統系統的頻率響應系統的頻率響應 LTI系統對復指數信號所產生的作用只是給輸入信號加權一個 相應的特征值。 對連續時間系統： 對離散時間系統： 稱 、 為系統的系統函數。 周期信號的傅立葉級數表示 如果 有 稱為連續時間LTI系統的頻率響應。 如果 則 稱為離散時間LTI系統的頻率響應。 對 而言， 以 為周期。 周期信號的傅立葉級數表示 如果一個LTI系統輸入周期性信號 或 ，由于 根據LTI系統對復指數信號的響應及系統的線性特性，則有： 周期信號的傅立葉級數表示 例：關于某一序列給出如下的條件，確定 。 、 是周期的，周期 ； 、 ； 、