1、復習復習 1、 函數函數f(x)f(x)的極限的極限 當當 x 時，時， 2 、 當當 時，函數時，函數f(x)的極限的極限 0 xx )( lim 0 xf xx axf xx )( lim 0 axf x )( lim axf xx )( lim 0 axf x )( lim )( lim xf x 問題問題1：函數：函數 你能否直接看出函數值的變化趨勢？你能否直接看出函數值的變化趨勢？ 2 32 21 ( ),1 21 xx f xx xx 當時 問題問題2：如果不能看出函數值的變化趨勢，：如果不能看出函數值的變化趨勢， 那么怎樣才能把問題轉化為已知能求的函數那么怎樣才能把問題轉化為已知

2、能求的函數 極限？轉化的數學方法與依據是什么？極限？轉化的數學方法與依據是什么？ 為了解決這些問題，我們有必要給出為了解決這些問題，我們有必要給出 函數極限的運算法則：（證明從略）函數極限的運算法則：（證明從略） 函數極限的四則運算：函數極限的四則運算： 如果如果 那么那么 bxg xx )(lim 0 ,)(lim 0 axf xx baxgxf xx )()(lim 0 )0( )( )( lim 0 b b a xg xf xx 注：注：1、上述法則可推廣到、上述法則可推廣到有限個有限個函數的加，減，乘，除。函數的加，減，乘，除。 aCxfC xx )(lim 0 )()(lim)(li

3、m 00 Nnxfxf n xx n xx 2、上述法則對、上述法則對 的情況仍然成立。的情況仍然成立。x baxgxflim xx 0 注意：使用極限注意：使用極限 運算法則的前提運算法則的前提 是各部分極限存是各部分極限存 在！在！ 00) 1 lim() 1 (lim 1 lim nn x n x n x xxx 2 11 lim 12 12 lim1 1 1 23 2 1 x x 、 xx xx 、 ： x x 求求下下列列函函數數的的極極限限。例例 12 1 lim3 2 2 1 xx x 、 x 4 16 lim 2 4 x x 、 x ) 4 tan(2tanlim5 4 xx、

4、 x 求某些函數在某一點求某些函數在某一點 x=x0處的極限值時，只處的極限值時，只 要把要把x=x0代入函數的解代入函數的解 析式中，就得到極限析式中，就得到極限 值值.這種方法叫這種方法叫代入法代入法. 當用代入法時，分子、當用代入法時，分子、 分母都為分母都為0，可對分子、，可對分子、 分母因式分解，約去公分母因式分解，約去公 因式來求極限因式來求極限.就是先要就是先要 對原來的函數進行恒等對原來的函數進行恒等 變形變形.稱稱因式分解法因式分解法. 13 42 lim. 2 23 2 xx xx x 1 32 lim. 1 2 2 x xx x )11(lim. 4 22 xxx x 1

5、00 ) 1 1(lim. 5 x x 求下列函數的極限。求下列函數的極限。例例：2 極限極限一般通過通分化簡再求一般通過通分化簡再求 型”極限的求法：型”極限的求法：“ 利利用用同同除除變變量量的的最最高高次次冪冪 分分母母型型”極極限限的的求求法法：分分子子“ , 求求解解。結結論論0 1 lim n x x 1212 .3 2 2 3 lim x x x x x . 6 x lim.6 xx xx 325 35 數列極限的四則運算：數列極限的四則運算： 如果如果 那么那么 ,limaa n n bb n n lim baba nn n )(lim baba nn n )(lim )0(l

6、im b b a b a n n n 注：注：上述法則可推廣到上述法則可推廣到有限個有限個數列的加，減，乘，除。數列的加，減，乘，除。 aCaCaC n n n n limlim 特別地，如果特別地，如果C是常數，那么是常數，那么 , 1 , 3 1 , 2 1 , 1 n 幾個基本數列的極限：幾個基本數列的極限： 觀察觀察 歸納歸納 0lim,0 1 lim n k n nn ) 1(, 32 qqqqq n n lim ) 1( 0 1)q ( 1 ) 11( q qq q n 或不存在 ,cccc ( (c c為常數為常數) ) n limc=c c=c ( (c c為常數 為常數) )

7、 （k是常數，是常數，是正整數）是正整數） 例例1 、 求下列極限求下列極限 ) 21 (lim (1) 2 n nn 23 2 lim (3) 2 2 n n nn n n23 lim (2) n 24 3 n 2 3 lim (4) nn nn 一般地，當分子分母是關于一般地，當分子分母是關于n的的多項式時，的的多項式時， 若分子分母的次數相同，這個分式在若分子分母的次數相同，這個分式在 的極限是的極限是分子與分母中最高次項的系數之分子與分母中最高次項的系數之 比比;若分母的次數高于分子的次數，若分母的次數高于分子的次數，這個這個 分式在分式在 的極限是的極限是0 n n 變式練習：變式練

8、習： （1）已知）已知 =2 , 求求a的值的值 ( ) （2）求）求 的極限（的極限（ ） bn nan 2 2 n 3 lim 23 2 lim 2 2 x x xx 6 3 2 注：注： 求 求 的函數極限問題轉化為求的函數極限問題轉化為求 的數的數 列極限問題列極限問題 xn (3) 若若 ,則則 a=_b=_ 2 22 lim(2)1 x axx x bx -42 例題例題2、求下列極限、求下列極限 （1 1） （2 2） n lim 1 2 5( 3) 52 3 nn nn 方法：分子，分母同除以方法：分子，分母同除以 最大的最大的 底數的底數的n次方次方 絕對值絕對值 nn nn

9、 n n 325 35 n lim 例例3 、 2 321 lim n n n 求 2 1 2 1 lim ) 1( 2 1 lim 321 lim 2 2 n n n nn n n n n n 注：注：極限的運算法則只能推廣到有限多項，極限的運算法則只能推廣到有限多項， 當項數當項數 無限時，要先求和（或積）再求極限無限時，要先求和（或積）再求極限 0 000 lim 2 lim 1 lim 321 lim 222 2 n n nn n n nnn n 思考思考:對比解對比解1、解、解2,判斷哪種解法正確判斷哪種解法正確,并分析原因并分析原因 小結與反思：小結與反思： 1、本節知識結構、本節知識結構 2、思想方法反思、思想方法反思 函數的極限函數的極限 數列的極限數列的極限 函數極限的四則運函數極限的四則運 算法則算法則 數列極限的四則運數列極限的四則運 算法則算法則 求分式的極限求分式的極限 求無限項和的極限求無限項和的極限 應用應用 (1) 一般地，當分子分母是關于一般地，當分子分母是關于n的的多項式時，若分子分母的的的多項式時，若分子分母的 次數相同，這個分式在次數相同，這個分式在 的極限是的極限是分子與分母中最高次項的系數之分子與分母中最高次項的系數之 比比;若